本文以速度的分布为基础,推导出了在直角坐标系和球坐标系下能量和动量的分布,并计算出在两种坐标系下的最概然速率和最概然能量、平均速度、平均能量和平均动量等相关物理量。通过对计算结果的分析我们发现:在两类坐标系下,标量的计算结果是一致的,矢量的计算结果是不同的。本文还介绍了麦克斯韦分布的适用范围,以及麦克斯韦能量分布的最概然能量对应的速率与麦克斯韦速率分布的最概然速率数值不相等的原因。 In this paper, the distribution of velocity in Cartesian coordinates and spherical coordinates de-duces on the basis of the distribution of energy and momentum, and calculates the most probable speed in both coordinates and the most probable energy, average speed, average energy and av-erage momentum and other related physical quantities. Through the analysis results, we found that: in the both coordinates, the calculation result was consistent with scalar, vector calculation results were different. This paper also studied the scope of Maxwell distribution and the reason why the most probable energy Maxwell energy distribution corresponding speed and the most probable speed of Maxwell velocity distribution values were not equal.
何锦成,李小波,栾锋
成都理工大学工程技术学院,乐山
Email: 759155750@qq.com
收稿日期:2015年1月10日;录用日期:2015年1月22日;发布日期:2015年1月28日
本文以速度的分布为基础,推导出了在直角坐标系和球坐标系下能量和动量的分布,并计算出在两种坐标系下的最概然速率和最概然能量、平均速度、平均能量和平均动量等相关物理量。通过对计算结果的分析我们发现:在两类坐标系下,标量的计算结果是一致的,矢量的计算结果是不同的。本文还介绍了麦克斯韦分布的适用范围,以及麦克斯韦能量分布的最概然能量对应的速率与麦克斯韦速率分布的最概然速率数值不相等的原因。
关键词 :麦克斯韦分布,两种坐标,速度,能量,动量
任何(宏观)物理系统的温度都是组成该系统的原子和分子的微观运动的结果。这些粒子有不同速度的范围,而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而,对于大量粒子来说,如果系统处于或接近处于平衡,则处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例。它以詹姆斯·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。本文由数学理论出发推导出麦克斯韦分布函数的不同形式。麦克斯韦分布函数在分子动理论和热中子能谱分布中有广泛应用,它研究中有极其重要意义。
设系统内有一定量微观粒子处于平衡态,其总数为N,
其中,k为玻尔兹曼常数,T为平衡时介质温度。
图1. 直角坐标系
(1)式左右两端对y,z分别在
其中,
将它推广到三维空间,得任意i方向速度
已知:
将(4)式带入(1)式,得:
假设x, y, z三个方向是独立的,得i方向能量
已知:
代入(3)得动量
求在直角坐标系的物理量
i方向的最概然速度,令:
i方向的平均速度
i方向
对应
i方向最概然动量,令:
i方向动量
i方向
考察速率为
则:
将(1)式代入,得:
再将(17)式代入(16)式,得速率分布函数:
这与[
将(4)式代入,得:
将(19)式代入(18)式,得能量E的分布函数:
图2. 球坐标系
这与反应堆物理中热中子能谱所得结果是一致的[
求在球坐标系的物理量
最概然速率
平均速率
速率平方
最概然能量
平均能量
动量
动量
见表1。
分析两种坐标系下计算结果,见表1,可以得出如下结论:
1) 平均能量
2) 最概然速度
3) 麦克斯韦分布适用范围有一个发展过程。它不仅适用于理想气体的速度或速率分布,同时也适用于非理想气体和多元气体;后来又被推广到固体、液体或任何经典粒子系统;再后来讨论了相对论效应
空间直角坐标系 | 球坐标系 | ||||
---|---|---|---|---|---|
i方向最概然速度 | 0 | 三个方向最概然速度 | 0 | 最概然速度 | |
i方向平均速度 | 0 | 三个方向平均速度 | 0 | 平均速度 | |
i方向平均能量 | 三个方向平均能量 | 平均能量 | |||
i方向的方均根 | 三个方向的方均根速度 | 方均根速率 | |||
i方向最概然动量 | 0 | 三个方向最概然动量 | 0 | 最概然动量 | |
i方向平均动量 | 0 | 三个方向平均动量 | 0 | 平均动量 | |
i方向的方均根动量 | 三个方向的方均根动量 | 方均根动量 |
表1. 两种坐标系下各物理量计算结果
下的分布函数,并给出了量子统计方法的结果。详细内容见文献[
4) 最概然速率
本文研究过程中得到成都理工大学工程技术学院科研处、核能系和核工程实验中心各位老师的大力帮助,尤其是郦文忠主任、鄢泽林书记、栾锋老师的悉心指导。在此表示衷心的感谢。
何锦成,李小波,栾 锋, (2015) 两种坐标系下速度(率)、能量、动量的分布Velocity, Energy and Momentum’s Distribution Based on Two Coordinate System. 现代物理,01,23-28. doi: 10.12677/MP.2015.51003