利用冯∙卡门薄膜大挠度理论,结合达朗贝尔原理,建立正交异性张拉平面膜结构非线性自由振动的控制方程。然后利用伽辽金法对其进行简化,并采用同伦摄动法进行求解,得到振动频率的近似解析解。通过算例,计算了结构的非线性振动频率,并将本文结果与精确解进行比较分析。分析表明:本文所求得的近似解析解与精确解之间的最大误差小于4%。因此本文的近似解析解与精确解非常接近,且本文所得解形式更为简单,计算也更方便,有利于在工程中进行推广应用。 The nonlinear free vibration governing differential equations for the orthotropic tensioned plane membrane structure are established by Von Kármán’s membrane large deflection theory and D’Alembert’s principle. Then the governing differential equations are simplified by Bubnov-Ga- lerkin method and solved by the homotopy perturbation method (HPM), and obtained the ap-proximate analytical solution of the vibration frequency. In the computational example, the non-linear vibration frequency of the structure is computed, and the results of this paper are analyzed and compared with the exact solution. The analysis shows that the approximate analytical solution obtained in this paper is very close to the exact solution (the maximum error is less than 4%), and the approximate analytical solution obtained in this paper is more simple and convenient. This is favorable for the popularization and application in engineering.
黄从兵1,宦洪彬1,刘衍华2,王琦3
1国内贸易工程设计研究院,北京
2中国建筑第二工程局有限公司西南分公司,重庆
3基准方中建筑设计有限公司,四川 成都
Email: jggc2001@126.com
收稿日期:2015年7月24日;录用日期:2015年8月9日;发布日期:2015年8月12日
利用冯∙卡门薄膜大挠度理论,结合达朗贝尔原理,建立正交异性张拉平面膜结构非线性自由振动的控制方程。然后利用伽辽金法对其进行简化,并采用同伦摄动法进行求解,得到振动频率的近似解析解。通过算例,计算了结构的非线性振动频率,并将本文结果与精确解进行比较分析。分析表明:本文所求得的近似解析解与精确解之间的最大误差小于4%。因此本文的近似解析解与精确解非常接近,且本文所得解形式更为简单,计算也更方便,有利于在工程中进行推广应用。
关键词 :膜结构,非线性振动,正交异性,摄动法
张拉平面膜结构主要用于会展中心、停车场和体育馆等公共设施的平面型屋盖结构中[
目前,国内外学者对薄膜结构自由振动作了一定的研究。1999年,Vega等对带有内部斜撑的矩形薄膜的自由振动进行了研究,得到了其振动频率的解析解 [
以上的这些研究都是针对均匀的膜结构进行的研究,且得到的结果比较复杂而不利于工程应用。本文将采用近似解析方法同伦摄动法对正交异性的平面张拉建筑膜结构的振动问题进行研究,以得到简便有效,且适于工程应用的非线性振动频率计算公式。
正交异性膜结构正交两个方向为受力的主方向,且正交两个方向的材料特性不一样。简化后的张拉平面膜结构模型如图1所示,正交的两个方向为x、y方向,其尺寸分别为a、b;x、y方向预张力分别为N0x和N0y。
则相应的位移边界条件如下:
根据冯∙卡门薄膜大挠度理论和达朗贝尔原理 [
图1. 四边简支的矩形平面膜结构
式中
满足边界条件(1)和(2)的挠度函数和应力函数可以表示成如下形式:
其中
根据薄膜振动理论,满足边界条件(1)的振型函数为:
其中m和n为整数,表示x和y方向上的正弦半波数。
将(5)和(6)代入(4)得:
将(7)和(8)得:
分析方程(9)的解的结构, 设方程(9)的解为:
将(10)代入(9)得:
比较方程(11)两边的系数得:
将(10)代入边界条件(2)得:
将
将(5),(6)和(12)代入(3)中,然后根据伽辽金法得:
很明显,方程(13)是一个关于
其中:
将
令:
在(15)式中,
方程(15)和它的初始条件可以表示成如下形式:
其中
根据同伦摄动法 [
其中
设方程(17)的解具有如下形式:
其中
将(18)代入(17)得:
令
方程(21)是一个线性微分方程,其解为:
为了消除可能在下次迭代计算中出现的永久项,可以令
在(23)中,因为
因此控制方程的振动频率为:
振动频率的精确解为 [
其中
通过L-P摄动法求解得到的频率为 [
选用工程中常用的膜材作为算例进行计算。
将以上的材料参数代入式(25),(26)和(27)计算膜材振动的频率,计算结果如下表1和图2~4。对计算结果进行比较分析可得:
阶数 | 公式 | 初位移a0 (m) | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0.10 | 0.09 | 0.08 | 0.07 | 0.06 | 0.05 | 0.04 | 0.03 | 0.02 | 0.01 | w0→0 | ||
1 | (25) | 749.32 | 682.31 | 616.22 | 551.38 | 488.31 | 427.80 | 371.13 | 320.38 | 278.82 | 250.88 | 240.95 |
(26) | 725.63 | 661.75 | 598.82 | 537.18 | 477.30 | 419.93 | 366.21 | 317.97 | 278.09 | 250.82 | 240.95 | |
(27) | 1251.66 | 1059.62 | 887.80 | 736.20 | 604.80 | 493.63 | 402.66 | 331.91 | 281.38 | 251.06 | 240.95 | |
2 | (25) | 1447.47 | 1323.23 | 1201.25 | 1082.34 | 967.63 | 858.84 | 758.58 | 670.71 | 600.64 | 554.80 | 538.78 |
(26) | 1405.22 | 1286.99 | 1171.08 | 1058.21 | 949.45 | 846.33 | 751.16 | 667.32 | 599.71 | 554.73 | 538.78 | |
(27) | 2161.18 | 1852.93 | 1577.12 | 1333.76 | 1122.84 | 944.38 | 798.36 | 684.80 | 603.68 | 603.68 | 538.78 | |
3 | (25) | 1752.38 | 1594.08 | 1437.77 | 1284.18 | 1134.44 | 990.34 | 854.77 | 732.60 | 631.70 | 563.27 | 538.78 |
(26) | 1695.88 | 1544.89 | 1395.98 | 1249.87 | 1107.64 | 970.97 | 842.48 | 726.44 | 629.80 | 563.10 | 538.78 | |
(27) | 3034.62 | 2560.41 | 2136.12 | 1761.74 | 1437.28 | 1162.74 | 938.11 | 763.40 | 638.61 | 563.74 | 538.78 |
表1. 不同初始位移下的振动频率
图2. 不同初始位移下的一阶振动频率
图3. 不同初始位移下的二阶振动频率
图4. 不同初始位移下的三阶振动频率
① 按照式(25),(26)和(27)计算的所有频率值都随着初始位移的增加而增加。这是因为随着初始位移的增加,膜材的内力和横向刚度都将增加,因此膜面也将振动得更快,因此频率就高。这也反映了膜材振动的非线性特性。同时,在相同初位移下的振动频率随着阶数的增加而增加。当初位移接近零的时候,按照式(25),(26)和(27)计算的频率都相同且等于按照小挠度理论计算的频率。
② 按照式(25)计算的频率值比按照式(26)计算的频率值稍大,且它们之间的误差随着初位移的增加而逐渐增大;在表1中,最大的误差为3.3%。按照式(27)计算的频率也比按照式(26)计算的频率大,它们之间的误差随着初始位移的增加而显著增大;在表1中,最大的误差为78.9%。
③ 当初始位移较小,且阶数较低时,按照式(25),(26)和(27)计算的频率值非常接近。当a0 ≤ 0.04时,它们三者之间的最大误差为11.34%。因此,可以认为当
④ 很显然,式(25)的精度要高于(27)。式(27)只适用于薄膜的弱非线性振动,即式(27)只对小参数有效。而式(25)不仅适于弱非线性,也适于强非线性的情况,即式(27)不仅对小参数有效,而且对大参数也有效。
根据表1和图2~4的数据,进一步讨论:当初始位移为0.1 m时,按照式(25)和(26)计算的频率值的最大误差为3.3%,那么当初位移a0更大,甚至a0→∞时,为讨论式(25)的精度,构造如下极限:
因此,对于任意的初位移,按照式(25)计算的结果与精确解的最大差小于等于4%。
本文采用同伦摄动法求解了四边简支矩形正交异性膜结构非线性自由振动的控制方程,得到了非线性振动频率的近似解析解。本文所得公式(25)的精度比按照L-P摄动法求得的公式(27)的精度更高,且公式(25)不仅适于弱非线性振动,也适于强非线性振动。另外,对于任意的初始位移a0,按照公式(25)计算的结果与精确解(26)的最大误差小于4%。因此本文求解出的计算公式(25)完全能满足工程精度要求,且公式简单实用。本文的研究结果为建筑膜结构和其他膜结构的动力设计提供了理论计算依据。
本文的研究得到重庆市教委科技项目的资助,项目编号:KJ08A12。
黄从兵,宦洪彬,刘衍华,王 琦. 张拉平面膜结构非线性振动频率计算分析Computation and Analysis for the Frequency of Nonlinear Vibration of Tensioned Plane Membrane Structure[J]. 声学与振动, 2015, 03(02): 7-16. http://dx.doi.org/10.12677/OJAV.2015.32002