在这篇文章中,我们提出了黎曼流形上的一种新的梯度法,来解决多指标最优化问题。当目标函数是拟凸时,由梯度法产生的迭代序列收敛到临界的Pareto点,若目标函数是伪凸的,则由新的梯度算法产生的迭代序列收敛到最优的Pareto点。 In this paper, we present a new gradient method in the Riemannian context to solve multicriteria optimization. If the objective function is quasiconvex, the sequence generated by this method converges to a critical Pareto point. If the objective function is pseudo-convex, then the sequence will converge to optimal Pareto point.
唐凤梅
上海大学理学院数学系,上海
收稿日期:2015年11月22日;录用日期:2016年1月17日;发布日期:2016年1月20日
在这篇文章中,我们提出了黎曼流形上的一种新的梯度法,来解决多指标最优化问题。当目标函数是拟凸时,由梯度法产生的迭代序列收敛到临界的Pareto点,若目标函数是伪凸的,则由新的梯度算法产生的迭代序列收敛到最优的Pareto点。
关键词 :多指标最优化,伪凸,拟凸,Pareto最优,黎曼流形
梯度法在最优化问题的研究中有重要作用,特别地,对于无限制最优化问题经常与经典的最速下降法联系起来(见[
对于将欧式空间中的算法与概念推广到黎曼流形上是理论和实际的推动,已经有很多相关方面知识的推广。在欧式空间中多数情况研究的目标函数是凸函数。在非凸的条件下,情况比较复杂。所以将欧式空间推广到黎曼流形上主要的优点在于可以将经典意义下的非凸问题可以转化成凸问题。只要定义恰当的黎曼度量,可以将欧式空间上有限制的最优化问题转化为黎曼流形上的无限制最优化问题,这方面可以参照[
Para Quiroz在[
本篇文章的第二部分主要介绍了文章中涉及到的关于黎曼几何的一些概念和结果。第三部分给出了多指标最优化问题的定义,以及一些基本的概念。第四部分,我们给出了全局收敛结果。
这一部分,我们将介绍黎曼流形的一些基本性质和概念。这些概念可以在如下黎曼流形的书中找到,如[
令
令
一个黎曼流形是完备的,意思是说按照上述方式定义的距离,流形
我们用
其中
其中
一个
(余弦定理)设
证明见[
令
给定一个连续可微的向量函数
其中
令
若
若
我们称
我们称
我们称
注:向量函数
我们称
在得到收敛性之前我们需要做如下假设:
假设一:
由假设一可得如下假设二:
假设二:
为了求解这个多目标最优化问题,我们任取
算法迭代如下:
初始化:任取
终止条件:若迭代方向
迭代步长:计算出迭代方向
令
返回终止条件。
注:这个迭代具有良好的性质:
对
引理4.1 无限制最优化问题(6)有唯一的最优解,并且解的形式如下:
证明 令
由于
引理4.2 若
证明 因为
因为
由
引理4.3
证明 因为
对
得证。伪凸的情况类似可得。
引理4.4
证明 见[
引理4.5
证明 见[
引理4.6 设
证明 类似于[
引理4.7
证明 任取
注意到
由引理4.1得
据引理4.5可得:
由假设二:
对
故
引理4.8
证明 由于
从迭代算法中可知
现在证明
即:
在上式令
注意到
定理4.1
证明 由引理4.3,引理4.4可知
这篇文章主要给出了流形上的一种梯度法,并且当目标函数是拟凸时,得出了由这种梯度法产生的迭代序列收敛到临界的Pareto点。当目标函数是伪凸时,收敛到最优的Pareto点。在具有非负曲率的完备黎曼流形上已经有很多算法的提出来解决多指标最优化问题。在今后的研究中我们不仅可以对算法做进一步的改进,也可以将问题研究的范围推广到其它空间,如函数空间,锥空间等。
本研究获得“上海高校一流学科(B类)”经费资助。
唐凤梅. 梯度法求解黎曼流行上的多指标最优化A Gradient Method to Solve Multicriteria Optimization on Riemannian Manifolds[J]. 理论数学, 2016, 06(01): 10-16. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.61002