图像分割是目标识别,资源分类等研究的基础。在医学临床诊断,视频监控计算机视觉等多个林谷都有重要的应用。水平集方法以一种紧凑的方式来表达集合主动轮廓曲线的演化,并且为之提供稳定的数值计算。Chan和Vese提出的基于简化的Mumford-Shan模型的主动轮廓模型(C-V方法),能够很的检查出带有空洞的目标的内部区域,但只能处理两相图片的分割。基于C-V模型,Vese Chan推广到实用多个水平集函数来分割多相图像,即Vese-Chan变分多水平模型。该方法有以下优点:可以自动的避免水平集函数覆盖区域的“重叠”和“真空”问题。本文中,我们基于C-V模型以及Vese-Chan变分水平集模型,实现了如何利用单个水平集函数以及两个水平集函数来进行医学图像分割;讨论了这两种方法的优缺点。我们的图像分割数值实验结果验证了理论结果。 Image segmentation is the basic of object detection and resource classification, and it has an im-portant application in the field of medical diagnosis, video monitoring and computer vision. Level set method describes the evolution of geometric active contour in a compact way and provides a stable numerical algorithm. Chan and Vese first introduced the active contour model based sim-plified Mumford-Shah model, which could well detect the vacuum of object, but could represent only two phases or segments in the image. Vese-Chan variational level set model was proposed by Vese-Chan as the generalization of C-V model, which needed multiple level set functions for n phases image segmentation; it can represent boundaries with complex topologies. In this paper, based on the C-V model and Vese-Chan variational level set model, we show how to do medical image segmentation through one level set function and two-level set functions respectively. We discuss the advantages and disadvantages of both methods. Our numerical results validate our theoretical predication.
马秀,张浩然,王汉权
云南财经大学统计与数学学院,云南 昆明
收稿日期:2016年2月4日;录用日期:2016年2月23日;发布日期:2016年2月26日
图像分割是目标识别,资源分类等研究的基础。在医学临床诊断,视频监控计算机视觉等多个林谷都有重要的应用。水平集方法以一种紧凑的方式来表达集合主动轮廓曲线的演化,并且为之提供稳定的数值计算。Chan和Vese提出的基于简化的Mumford-Shan模型的主动轮廓模型(C-V方法),能够很的检查出带有空洞的目标的内部区域,但只能处理两相图片的分割。基于C-V模型,Vese Chan推广到实用多个水平集函数来分割多相图像,即Vese-Chan变分多水平模型。该方法有以下优点:可以自动的避免水平集函数覆盖区域的“重叠”和“真空”问题。本文中,我们基于C-V模型以及Vese-Chan变分水平集模型,实现了如何利用单个水平集函数以及两个水平集函数来进行医学图像分割;讨论了这两种方法的优缺点。我们的图像分割数值实验结果验证了理论结果。
关键词 :Vese-Chan模型,变分水平集法,多相图像分割
图像分割是计算机图像识别与理解领域非常活跃的一个分支,是图像处理,图像分析等领域最重要的研究领域[
今年来,活动轮廓模型在图像分割中得到广泛的研究与应用 [
2000年,Chan和Vese提出了梯度无关活动轮廓模型(C-V方法) [
本文将C-V方法以及Vese-Chan多相水平集法分别应用于多相医学图像的分割,通过对比数值试验结果,显示出多个水平集函数(本文取2个水平集函数)在图像分割中所具有的明显优势。本文主要研究以下几个方面:概述了水平集方法的基本原理及其应用;介绍了简化的C-V模型的基本原理,并且由单水平集函数推广到两个水平集函数,引入了改进的Vese-Chan变分多水平集模型。最后通过一系列的实验,表明两个水平集函数在处理多相图像时的明显优于单水平函数。本文是按照如下方式安排的。第2节主要介绍了水平集方法的基本原理以及C-V模型。第3节在研究多相图像分割的需求上介绍了Vese-Chan变分水平集模型。第4节通过一系列的实验,分别展示了C-V模型以及Vese-Chan变分水平集法处理图像的结果,并且对比了图像分割处理结果的优异。第5节展望了以后研究重点以及多相分割算法。
图像分割问题可以用多种数学方法来描述。我们下面介绍其中一种较为实用的方法(由Mumford以及Shah 1989年提出)。设一个观察到的电子图像可以用函数
题可以表述为下面一个最小值问题:我们要找到一个光滑函数
达到最小值。这里|C|表示曲线C的长度,
达到最小值。在下面2.1节讨论的C-V模型中n = 2,它是最简单的一种情形,此时图像函数的定义区域只分为两个区域;在下面2.2节讨论的Vese-Chan变分多水平集模型中我们只考虑了n = 4,此时假定图像函数的定义区域只分为四个区域。
C-V方法中,假设图像区域
其中
考虑到Heaviside函数和Dirac函数的形式为:
则能量泛函中的各项可以改写成:
从而Mumford-Shah模型中的能量泛函(2.2)用水平集函数表示可改写为:
为求出(2.9)中的能量泛函的最小值时,我们根据变分法发现函数必须满足方程
这里函数写成:
令
其中,
同样的,对Dirac函数也通常用一个函数来代替:
因为一般较难直接求解静态的偏微分方程(2.10),我们转向求出下面动态的偏微分方程的稳态解:
理论可以证明(2.16)的稳态解就是静态的偏微分方程2-(10)的解。
我们利用通常的有限差分法来离散(2.16),设空间步长为
这里的
1) 初始化:定义初始轮廓曲线
2) 根据当前的
3) 根据方程(2.17),求得该点下一时刻的
4) 检测迭代是否满足收敛条件,如果收敛,则停止计算,输出最终轮廓线。否则,重复步骤2);
本节首先介绍了C-V模型的基本理论以及数值实现方法。C-V模型将图像的分割为目标和背景两个部分,所有与目标平均灰度值接近的像素被划入目标中;而与背景平均灰度相接近的像素则被划入背景中。这样便忽略了目标或背景可能存在的内部亮度的变化,而现实中要处理的图像往往存在着复杂的亮度变化,导致分割失败。因此,接下来我们将引入Vese-Chan变分多水平集模型,该模型含有m个水平集函数,可以用来识别复杂的图像。
Vese -Chan对C-V模型进行了扩展 [
对
如图1所示 [
图1. Vese-Chan变分水平集模型区域划分原理
水平集函数
这样,Vese-Chan变分水平集模型的能量泛函用水平集函数表示可写成:
其中
给定初始条件
为求出(3.2)中的能量泛函的最小值时,我们根据变分法发现函数
为了求出上面的函数
理论可以证明偏微分方程组(3.10)以及(3.11)的稳态解就是静态的偏微分方程(3.8)以及(3.9)的解。
1) 设定初始值
2) 按照公式(3.4),(3.5),(3.6),(3.7),计算
3) 若达到稳定的状态,停止迭代;否则,转到步骤2)。
在3.2中步骤(2)计算时,采用以下有限差分格式来处理,设
则
相似的,设
对于第二个水平集函数
以上即为Vese-Chan变分多水平集模型的数值实现过程。这里我们采用标准的有限差分法,在下一节中,我们即通过数值试验分割的结果来具体的分析两种模型在分割复杂的多相图片,从而对比判别两种模型的优劣。
文中的实验平台为IBM Thinkpad T41:Intel Pentium M 1.6GHz,1GB内存,显卡为ATI 7500。运行环境为MatlAB7.0。
采用图像fourblock_gray.bmp,图像大小为
而我们再次采用改进的Vese-Chan变分多水平集模型,参数设计如上,循环500次,由图3可以看到,该方法非常有效。
采用的是图像knee1.jpg四相图片。图4为传统的C-V模型分割效果,实验参数:
观察分割效果,可以看出C-V模型分割出来了膝关节外围的大体轮廓;但是在膝关节内侧,以及关节接触点没有被分割识别出来。为此我们采用改进的Vese-Chan变分水平集模型。参数同上,同样循环200次,得到结果图5可以看出,分割效果较好。
可以看出,内侧的轮廓以及膝关节接触处轮廓都被很好的识别分割出来。
图2. C-V模型处理四相图片
图3. 两个水平集模型处理四相图片
图4. C-V模型处理四相图片
图5. 两个水平集函数模型处理四相图片
本论文针对多相图像分割的变分水平集法及其相关数学模型进行了系统的研究,并以实例说明其优势。得出如下结论:
1) 简单的C-V方法只有一个水平集函数,在处理两相图像时,效果是很好的,甚至分割精度比多个水平集函数分割效果要好得多。但是多相(大于2相)图像分割中,单个水平集函数只能识别其中的两相,而自动忽略了其他的相。多个水平集函数由于计算量大,在试验中,耗费时间要大一些。
2) 实验参数的选取对于实验的时间以及结果有着决定性的作用。C-V模型参数的选取中,初始水平集函数为一个圆,当圆心的位置为图像的正中间的那个点时,效果最优。Vese-Chan多相水平集法的初始水平集函数为两个圆,圆的大小需要依照图像的大小作相应的调整,而且当实验图像格式比较大时,异常耗时。
3) 从Vese-Chan多水平集法的表达式可以看出,尽管只是使用两个水平集函数实现四相分割,其表达式的形式已经很复杂,若要实现大于四相的图像分割,单单是推导表达式就相当繁重,因而迫切的需要找出一个通用的表达式,以清晰明了的表达分割。这也将是下一步研究的重点。
本文从选题到完成,都是在王汉权老师的指导下完成的。倾注了老师大量的心血,再次致以衷心的感谢与真挚的敬意。同时感谢支持以及给予帮助的同学和朋友们,感恩,谢谢!
本文受到云南省科技厅中青年学术带头人后备人才基金、国家自然科学基金(11261065)等资助。
马秀,张浩然,王汉权. 水平集方法在医学图像分割中的一个应用Application of Level Set Method in Medical Image Segmentation[J]. 应用数学进展, 2016, 05(01): 63-73. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.51010