PM Pure Mathematics 2160-7583 Scientific Research Publishing 10.12677/PM.2016.63032 PM-17575 PM20160300000_49302815.pdf 数学与物理
Fresnel积分的推广
A Generalization of the Fresnel Integral
李 佳佳 2 1 梅 雪峰 2 * 浙江外国语学院科学技术学院,浙江 杭州 null * E-mail:mxf6561@sina.com(梅雪) ; 14 04 2016 06 03 206 211 © Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
利用Jordan不等式及Cauchy积分定理,给出一类广义的Fresnel积分的值,它是通常定义下Fresnel积分的一种推广。 The present paper gives a generalization of the Fresnel integral by using of Jordan integral and Cauchy integral theorem.
围道积分,约当不等式, 函数,Cauchy积分定理, Contour Integral Jordan Inequality -Function Cauchy Integral Theorem Fresnel积分的推广 李佳佳,梅雪峰*
浙江外国语学院科学技术学院,浙江 杭州
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收稿日期:2016年4月30日;录用日期:2016年5月16日;发布日期:2016年5月19日
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摘 要 利用Jordan不等式及Cauchy积分定理,给出一类广义的Fresnel积分的值,它是通常定义下Fresnel积分的一种推广。
关键词 :围道积分,约当不等式, 函数,Cauchy积分定理
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1. 引言 广义积分 与 称为Fresnel积分 [1 ] ,它是以法国土木工程师兼物理学家Fresnel命名。Fresnel积分是物理光学衍射中常用的典型积分。它当今国际上的重大前沿基础科研领域–惯性约束聚变 [2 ] 、粒子场测试及在数字全息领域,如“形貌测量、变形测量、防伪、三维图像识别、医学诊断、数字全息显微 [3 ] 、去除数字全息零极像 [4 ] ”等方面有广泛的应用。因此对Fresnel积分进行推广是很有必要的。
定义1.1 [5 ] 设 是定义在 上的一个函数, 是一个确定的实数。若对任给的正数 ,总存在某一正数 ,使得对 的任意分割 ,以及在其上任意选取点集 ,只要 ,就有
,
则称函数 在区间 上可积(或黎曼可积);数 称为 在 上的定可积(或黎曼积分),记作
。
其中被积函数为 ,积分变量为 ,积分区间为 ,定积分下限和上限分别为 。
定义1.2 [5 ] 设定义在无穷区间 上的函数 在任何有限区间 上都可积。如果存在极限
,
那么称此极限 为函数 在 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为
,
并称 收敛。
定义1.3 [6 ] 含参量积分 称为伽马函数( 函数)。
定义1.4 [7 ] 设有曲线 :
, 。
以 为起点, 为终点, 沿 有定义。沿着 从起点 到终点 的方向在 上取分点:
。
把曲线 分成若干个弧段
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在 到 的每一段弧上任取一点 。作成和数
,
其中 。当分点无限增加时,这些弧段长度的最大值趋于0,如果和数 的极限存在且等于J,那么称 沿C (从a到b)可积,并称J为 沿C (从a到b)的积分,并用记号 来表示:
。
其中C称为积分路径。
定义1.5 [7 ] 整函数是指在整个复平面上都解析的函数。
定理1.
,
。
2. 引理 为了证明定理1,需要如下引理。
引理3.1 (约当不等式) [8 ] 当 时,有 。
引理3.2 [5 ] 若 与 都收敛, 为任何常数,则
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也收敛,且
。
引理3.3 [5 ] 若函数f在 上可积,那么 在 上也可积,且
。
引理3.4 [7 ] 设 沿曲线C连续,
,
其中C由曲线 和 衔接而成。
引理3.5 [7 ] 设(1) 在单连通区域 内连续;(2)在区域 内 沿任一围线的积分值都为0。若 为 在单连通区域 内的任一原函数,则有
。
引理3.6 (柯西积分定理) [9 ] 被积函数 在单连通区域 平面上处处解析,它沿 平面上任何闭曲线的积分为0。
引理3.7 (Gamma函数的递推公式) [6 ] , 。
引理3.8 (余元公式) [10 ] 。
特别的,
。
3. 定理的证明 证明 设辅助函数
,
它是一个整函数。并取如下图的辅助积分路径 。
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记 , 由引理1 (柯西积分定理),得
。 (1)
首先考虑 上的积分,记
,
因而
。
由引理3.3,得
。
令
,
则
。
由引理3.1和引理3.5,得
。
当 时,有
,
因而
。
因此当 时,有
。
令 ,有
。
得
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由定义1.3,得
。
令
,
则
,
有
,
当 时,(1)式变成
,
整理得
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两个代数形式相同的复数,它们的实部和虚部都要对应相等,即得
,
。
注:当 时,结论变为
,
,
这就是熟知的Fresnel积分,因此本结论Fresnel积分的一种推广。
文章引用 李佳佳,梅雪峰. Fresnel积分的推广 A Generalization of the Fresnel Integral[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 206-211. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63032
参考文献 (References) References 1 张光明. 菲涅尔积分的计算[J]. 工科数学, 1990, 6(2): 177-178. 2 邓亚红, 罗斌, 柳红英. 光束在级联非线性介质中的传输规律研究影响[C]. 中国西部青年通信学术会议: 通信与信息技术, 2006. 3 Liu, W.W., Kang, X., Dai, Y.Q. and He, X.Y. (2009) Method for Eliminating Zero-Order Image in Digital Holography. Journal of Southeast University (English Edition), 25, 113-116. 4 李纪. 菲涅尔全息图计算方法研究[D]: [硕士学位论文]. 昆明: 昆明理工大学, 2010. 5 华东师范大学数学系编. 数学分析: 下册[M]. 第4版. 北京: 高等教育出版社, 2010. 6 李超, 刘端森, 王念良. 关于 函数的一些性质[J]. 纺织高校基础科学学报, 2004, 17(2): 100-101. 7 钟玉泉. 复变函数论[M]. 第3版. 北京: 高等教育出版社, 2004. 8 何灯, 沈志军. Jordan不等式的新型拓广及应用[J]. 广东第二师范学院学报, 2011, 31(5): 23-30. 9 Brown, J.W. and Churchill, R.V. Complex Variable Function and Its Application [M]. 第3版. 北京: 机械工业出版社, 2008. 10 同济大学数学系. 高等数学: 上册[M]. 第6版. 北京: 高等教育出版社, 2002.