在大梯度和边界层等问题数值计算中,均匀网格往往会导致计算量很大或计算误差较大,而非均匀网格在不增加计算量的同时,会将计算误差大大减小。非均匀网格上的非均匀程度可由伸缩系数进行控制,该系数不同,计算精度也不相同。本文针对一维对流扩散方程在非均匀网格上的紧致差分格式,分析了伸缩系数对计算结果的影响,并通过2个数值算例进行了验证。数值结果表明,伸缩系数存在最优值。合理选择最优伸缩系数,可以减小计算量,并能提高计算精度。另外,本文对紧致差格式在非均匀网格和均匀网格上的计算结果以及Crank-Nicolson格式进行了比较分析,表明非均匀网格上的紧致差分方法可以很好地解决大梯度和边界层问题的数值计算。 In the numerical simulation of problems with large gradient and boundary layer, large amount of calculation or large calculation error will occur if uniform grids are used. Non-uniform grids can decrease calculation error greatly while keep the same computational expense. The non- uniformity of the non-uniform grids can be controlled by an expansion coefficient, which affects the accuracy of a scheme. In this paper, analysis has been presented for the effect of the expan-sion coefficient to the numerical results of one dimensional convective-diffusion equation by using compact difference scheme under non-uniform grids. Two numerical examples are given and it is indicated that optimal value of the expansion coefficient may exist. The computation accuracy can be increased greatly by choosing reasonable expansion coefficient. Moreover, comparisons among compact difference scheme on both non-uniform grids and uniform grids and Crank-Nicolson schemes show that the compact difference on non-uniform grids can be used to solve the problem of large gradient and boundary layer with high accuracy.
徐晓芳1,景何仿2*,蔡银娟1
1北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏 银川
2北方民族大学数值计算与工程应用研究所,宁夏 银川
收稿日期:2016年7月6日;录用日期:2016年7月23日;发布日期:2016年7月28日
在大梯度和边界层等问题数值计算中,均匀网格往往会导致计算量很大或计算误差较大,而非均匀网格在不增加计算量的同时,会将计算误差大大减小。非均匀网格上的非均匀程度可由伸缩系数进行控制,该系数不同,计算精度也不相同。本文针对一维对流扩散方程在非均匀网格上的紧致差分格式,分析了伸缩系数对计算结果的影响,并通过2个数值算例进行了验证。数值结果表明,伸缩系数存在最优值。合理选择最优伸缩系数,可以减小计算量,并能提高计算精度。另外,本文对紧致差格式在非均匀网格和均匀网格上的计算结果以及Crank-Nicolson格式进行了比较分析,表明非均匀网格上的紧致差分方法可以很好地解决大梯度和边界层问题的数值计算。
关键词 :对流扩散方程,紧致差分格式,非均匀网格,最优值
河流中污染物的扩散与输移、流体流动、热传导等问题,均可用对流扩散方程来描述。但由于实际问题的复杂性,精确解不易求出。因此,需要我们利用数值方法近似求解,有必要去寻求精度高和稳定性强的数值格式,尤其是高精度、高分辨率格式。紧致差分格式由少数的节点模板可构造出精度较高的差分格式,并且稳定性好,边界条件易处理,因此受到学者们的关注,文献 [
求解大梯度问题、边界层问题等特殊物理性的问题时,利用均匀网格剖分进行求解,往往会出现两种情况:如果网格较大,则计算结果精度不高;反之,如果网格较小,则计算成本成倍增加,计算量和存储量均较大。解决这一问题较为合理的做法是,大梯度或边界层所在区域多分布些网格节点,而小梯度或物理变化平缓的区域少一些网格节点,这样可使计算精确性较高,同时减少了计算量 [
本文针对一维非定常对流扩散方程在非均匀网格上的一种紧致差分格式,通过求解数值算例分析在进行网格剖分时,伸缩系数对计算结果的影响,并将数值结果与其他格式及均匀网格上的数值结果进行比较分析。
一维非定常对流扩散方程如下:
其中,
将求解区域
对应系数
其构造过程为首先将非定常对流扩散方程转化为定常对流扩散方程,空间上利用泰勒展式离散,时间上采用二阶向后欧拉差分离散。该格式的时间上的精度为2阶,当
一般情况下,我们采用如下变换函数剖分求解区域:
其中,
算例1 [
边界条件为
在这里,令
从图1中可以看出,C-N格式与均匀网格格式的计算结果不随
该问题在
为了说明这一点,图2~图4给出了当Re = 100,N = 16,
从图2~图4可以看出,
图1. 当Re = 100,N = 16,λ取不同值时,不同格式的平均误差
图2. λ = −0.95时几种差分格式的计算结果比较
图3. λ = −0.69时几种差分格式的计算结果比较
变化,但此时紧致格式在非均匀网格上的计算精度高于其他两种计算精度;而图1、图4及图5显示当
这里,图6给出了与图2~图5对应的该问题在求解区域内的网格分布情况,即当Re = 100,N = 16,
下面我们给出当Re = 100时,在不同网格数条件下,C-N格式与紧致格式在均匀网格及非均匀网格上的计算结果。这里
由表1可以看出,当Re = 100时,在相同网格数下,非均匀网格上的计算误差小于C-N格式与均匀
图4. λ = −0.2时几种差分格式的计算结果比较
图5. λ = 0.2时几种差分格式的计算结果比较
网格上的计算误差,即如果计算精度相同,非均匀网格需要的网格数相对较少。
当Re = 1000时,
从表2中,可以看出,当Re = 1000时,在相同网格个数下,紧致格式在非均匀网格上的计算误差比C-N格式与均匀网格上的计算误差小1或2个数量级。表明紧致格式在非均匀网上的计算结果更为精确。
算例2 [
图6.当Re = 100,N = 16,λ取不同值时,网格分布情况
图7. 当Re = 1000,N = 32, λ = −0.97时,几种差分格式的计算结果比较
网格数 | C-N格式 | 均匀网格 | 非均匀网格 |
---|---|---|---|
16 | |||
32 | |||
64 | |||
96 |
表1. 当Re = 100时,不同网格数下,几种格式的平均误差
其中,初始条件为
精确解为
令
对于该问题,在
从计算结果可以知道,当
网格数 | C-N格式 | 均匀网格 | 非均匀网格 |
---|---|---|---|
32 | |||
64 | |||
96 | |||
128 |
表2. 当Re = 1000时,不同网格数下,几种格式的平均误差
均匀网格 | 非均匀网格 | |
---|---|---|
−0.65 | 0.8329 | 0.8702 |
−0.25 | 0.8525 | |
0.05 | 0.8277 | |
0.25 | 0.7987 | |
0.65 | 0.6470 | |
0.75 | 0.5540 | |
0.85 | 0.3958 | |
0.95 | 0.1225 | |
0.97 | 0.0956 | |
0.98 | 0.0952 | |
0.99 | 0.1050 |
表3. λ取不同值时,不同格式的平均误差比较
网格数 | 均匀网格 | 非均匀网格 |
---|---|---|
8 | ||
16 | ||
32 | ||
64 | ||
96 |
表4. 当Re = 100,λ = 0.98时,不同网格数下,在均匀网格和非均匀网格上的平均误差
本文针对求解一维对流扩散方程在非均匀网格上的高精度紧致差分格式,分析了在网格剖分过程中,伸缩系数对计算结果的影响,并通过2个数值算例对其进行详细的说明,从计算结果来看,控制网格分布的伸缩系数存在最优值。通过选取合适的收缩系数,可以大大减小计算误差。在网格数相同时,非均匀网格上的紧致差格式计算精度优于均匀网格上紧致差分格式和C-N格式,表明非均匀网格上的紧致差分方法可以成功的用于大梯度和边界层问题的数值计算中。
国家自然科学基金项目(11361002);北方民族大学研究生创新项目(YCX1556/YCX1682)。
徐晓芳,景何仿,蔡银娟. 非均匀网格的伸缩系数对紧致差分格式精度的影响分析 Analysis on the Influence of the Expansion Coefficient in the Non-Uniform Grids for the Accuracy of Compact Finite Difference Schemes[J]. 理论数学, 2016, 06(04): 318-326. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.64047