本文引入金融行业在风险管理和绩效评估等方面所常用的指标——风险调整资本收益率(RORAC),以及单位标准差收益(MSD),在资本约束范围内与条件风险价值(CVaR)建立多目标模型。在期望保费原理下,考虑扩散逼近风险模型中基于RORAC和MSD,以及CVaR的最优比例再保险问题。利用多目标优化理论,我们得到了比例再保险的Pareto最优解。最后,通过数值举例,探讨了初始资本水平,保险年度以及风险喜恶对最优再保险策略的影响。 In this paper, based on some indexes which are always used in risk management and performance appraisals for financial industry, such as return on risk adjusted capital (RORAC) and mean-standard deviation (MSD), we construct two multi-objective optimization models together with conditional value at risk (CVaR) as well as the capital regulation. Under the expected value premium principle, by the multi-objective optimization theory, we obtain the Pareto optimal proportional reinsurance strategy for the diffusion approximation risk model. Some numerical examples are given to show the impact of some important parameters, like initial capital and insurance year as well as risk aversion, on the optimal reinsurance strategy.
杨潇潇,梁志彬*,张彩斌
南京师范大学数学科学学院,江苏 南京
收稿日期:2016年8月16日;录用日期:2016年8月27日;发布日期:2016年8月30日
本文引入金融行业在风险管理和绩效评估等方面所常用的指标——风险调整资本收益率(RORAC),以及单位标准差收益(MSD),在资本约束范围内与条件风险价值(CVaR)建立多目标模型。在期望保费原理下,考虑扩散逼近风险模型中基于RORAC和MSD,以及CVaR的最优比例再保险问题。利用多目标优化理论,我们得到了比例再保险的Pareto最优解。最后,通过数值举例,探讨了初始资本水平,保险年度以及风险喜恶对最优再保险策略的影响。
关键词 :多目标规划,风险调整资本收益率,单位标准差收益,条件风险价值,Pareto最优
保险人是经营风险的个体,风险聚合和风险分散是经营的核心所在。为了追求一个较高的投资回报,直接保险人在承保某类风险业务时,通过各种手段来进行有效的风险管理和风险控制。西方有一句谚语“不要把鸡蛋放在一个篮子里”,无疑是用分散风险的方法控制风险的最通俗说法。对于直接保险人而言,一个非常重要的分散风险手段就是发展再保险业务。再保险是一种十分常用且重要的风险转移手段,它能够有效地控制和管理保险人的风险,尤其对承保标的大且风险波动大的非寿险公司而言。因此,再保险安排在保险业务的健康发展中起着举足轻重的作用。然而,在进行再保险业务时,保险人分出业务过多会显著地降低净利润水平;分出业务过少,承担的风险过高则会导致保险人偿付不足甚至引发破产。因此,根据其承保业务的不同类型,如何选择合理的最优的自留业务量,即,最优再保险决策,成为了每一个保险决策者高度关注的问题。
由于再保险决策的重要性,最优再保险策略成为近年来风险管理理论中非常热门的研究问题,目前已经有大量成熟的研究关注这一方面。如:Cai and Tan [
目前大部分有关最大化收益或者最小化风险的最优再保险问题多是在单目标下进行研究的,尤其基于风险管理和绩效评估指标RORAC的最优再保险问题大多是针对单期模型进行讨论的。为了保障保险决策者既能获得较高收益又能把风险控制在一定范围内,同时还考虑到时间对决策的影响,本文我们利用带漂移的布朗运动来近似累积索赔过程,得到盈余过程的扩散逼近风险模型 [
文章的框架是这样安排的:第1节主要是对模型以及问题进行介绍;第2节是问题求解。我们先给出问题
在经典风险模型中,盈余过程
其中
我们利用带漂移的布朗运动来近似累计索赔额,即:
其中
即盈余过程的扩散逼近模型 [
比例再保险是保险实务中常用的再保险形式。为了更好地给出扩散逼近风险模型下对应的比例再保险的表达,我们先对单期模型下比例再保险形式给出数学定义。假设保险人某类业务的风险总额用
转移给再保险人的风险为
那么保险人经营自留风险I(X)在时间t内的总损失风险
且保险人的期望利润为:
其中
一般情况下,随机变量
如果
风险调整资本为偿付能力要求资本扣除公司的剩余保费部分,是保险人为了经营剩余风险获得期望收益而额外补入的资本金。根据巴塞尔协议III中规定,VaR是偿付能力资本要求设定的基本办法。因此,对于保险人的总损失风险
所以风险调整资本收益率的计算公式为:
风险调整资本的确定与偿付能力监管的要求有关系。采用RORAC作为衡量利润率指标的原因在于:一方面可以使得保险人获得较高的投资收益率,另一方面该指标包含了保险偿付能力监管的信息,保险人在获得最高投资收益的同时,还有效地控制了风险。
MSD表示单位标准差收益,我们采用MSD来刻画保险人的收益:
其中,
则
单位标准差收益的含义是单位风险的风险资产的收益。该指标越高,说明业绩越好,投资者能获得单位风险下更高的期望收益水平。
前面考虑的风险调整资本收益率与单位标准差收益均是刻画收益的指标。然而在实际风险控制中,不能仅仅关注收益的大小从而忽略了风险的存在。保险人在进行再保险业务时,将业务和保费,以及利润的一部分转移给再保险人就是为了控制风险。虽然保险人在承保该业务时已经在根据一定的准则收取了足够的保费,但是市场风险具有很大的不确定性,保险人很可能发生偿付能力不足的情况。因此,我们在考虑再保险决策时,应该最小化偿付能力不足的风险。本文我们采用条件风险价值CVaR来刻画偿付能力不足情况下的条件期望损失作为衡量风险的标准。
“量力而行”在保险人承保某业务时尤为重要,否则很可能会面临破产风险。前面的讨论中我们采用VaR来确定保险人自留风险
即
另外,我们要求保险人期望利润恒为非负,引入Net Profit Condition,要求:
即
根据1.1~1.6节给出的一系列衡量利润和风险的指标,我们得到如下两种多目标最优再保险问题,即
问题
问题
根据Liang和Guo [
问题
问题
根据多目标优化理论 [
注1 此处
我们首先根据资本约束和Net Profit Condition来探讨问题
1) 对于资本约束
我们可知:
(i)
(ii)
(iii)
2) 对于Net Profit Condition:
整理得到引理2:
引理2 在扩散逼近风险模型中,考虑非便宜的比例再保险,保费按照期望保费原理收取。那么,在资本约束以及Net Profit Condition条件下,问题
1)
2)
3)
4)
注2当
接下来我们分析CVaR,RORAC以及MSD关于自留比例
1) 根据CVaR的表达式
2) 接下来分析RORAC的单调性:
(i) 当
因为
(ii) 当
此时RORAC关于
3) 最后我们分析MSD的单调性:
由于
整理得到引理3:
引理3 风险调整资本收益率(RORAC)和单位标准差收益(MSD),以及条件风险价值(CVaR)均是关于自留比例
分析
引理4 当
证明 当
由于
由引理4可知,当
令
其中
由于
Case 1:函数
Case 2:函数
Case 3:函数
Case 4:函数
Case 5:函数
此处我们只给出Case 5情形下参数
Case 5的分析:
令
由于函数
图1. Case 5中的
解不等式方程组(7)可得:当
记
定理1 在扩散逼近风险模型中,考虑非便宜的比例再保险,保费按照期望保费原理收取,同时以最
大化保险人风险资本调整收益率,最小化偿付能力不足风险为目标。那么,在资本约束条件下,若
1) 若
2) 若
3) 若
4) 若
5) 若
比较
注3 我们也可以通过比较函数
(i) 当
(ii) 当
(iii) 当
(iiii) 当
其中
令
由于函数
记
考虑
则目标函数
同2.3节,我们通过研究
定理2 在扩散逼近风险模型中,考虑非便宜的比例再保险,保费按照期望保费原理收取,同时以最大化保险人单位标准差收益,最小化偿付能力不足风险为目标。那么,在资本约束条件下,保险人进行再保险时的最优自留比例为
假设一家财产保险公司承保一份时间长度为
1) 首先,我们给出问题
由引理4知,此时问题
即
在接下来的例2)~4)中,我们将给出风险大小对直接保险人的最优自留比例的影响,保单风险大小主要通过单位时间内保险的总风险
2) 若
由引理4,在此情形下问题
即
3) 本例中,我们研究保险人的初始资本对最优自留比例的影响。
若
(i) 若保险人的初始资本为
由引理4,此情形下问题
即
ii) 若保险人的初始资本为
所以
iii) 若保险人的初始资本为
所以
由(i),(ii)和(iii)我们可以发现,自留比例的上限随着资本的增加而提高,初始资本越充裕,自留比例上限越大。当初始资本大至一定程度时,直接保险人的最优再保自留比例可以不受资本限制。
4) 若
此时问题
由例2)~4)我们可以发现:
5) 接下来,我们基于例4)的参数值若
(ii) 图3是
同4.1节,我们先考虑风险大小对直接保险人的最优自留比例的影响。
图2. 问题
图3. 问题
1) 若单位时间内该保险的总风险
2) 若
此时,
由1)和2)我们可以发现,保险人承保的风险越小,直接保险人的自留比例越高,这和经济市场实际情形仍然相符合。另外,根据引理2以及4.1节中例3)可知,问题
3) 同4.1节例5),我们基于本小节例2)的参数值
(i) 图4表示保险年度
(ii) 图5表示当风险喜厌程度
图4. 问题
图5. 问题
本文考虑期望保费原理下的最优比例再保险问题。从收益和风险以及资本约束三个角度出发,建立以风险调整资本收益率和单位标准差收益为收益目标,条件风险价值为风险目标的两个策略问题,通过相关分析得到问题的最优解,并进行数值分析,探讨了初始资本水平,时间以及风险喜厌对再保险策略的影响。经过分析发现,在可行域内,风险调整资本收益率和单位标准差收益以及偿付能力不足风险均随着自留比例的增加而增加。自留比例的上限随着资本的增加而提高,且初始资本越充裕,自留比例上限越大。当初始资本大至一定程度时,直接保险人的最优再保自留比例可以不受资本限制。另外,保险人越是看重收益,最优自留比例越大,这显然是合理的。
多目标下的最优比例再保险问题还有很大的研究空间。一方面,实际市场中还有很多刻画收益和风险的模型,比如基金行业中常常采用夏普比例来刻画收益,所以我们可以考虑采用其它模型作为收益目标和风险目标构建多目标优化问题。另一方面,除了期望保费原理和比例再保险,还有很多保费原理以及再保险形式,比如标准差保费原理以及停止损失再保险等等。所以,基于其它保费原理和再保险策略考虑多目标最优再保险都是今后可以继续研究的问题。
作者衷心感谢评审专家给予本文的指导以及提出的宝贵意见。
国家自然科学基金项目(11471165);江苏省自然科学基金项目(BK20141442);江苏省普通高校研究生科研创新计划(KYLX15_0723)。
杨潇潇,梁志彬,张彩斌. 基于RORAC和MSD的多目标最优比例再保险 Multi-Objective Optimal Proportional Reinsurance Based on RORAC and MSD[J]. 应用数学进展, 2016, 05(03): 455-471. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.53057