PM Pure Mathematics 2160-7583 Scientific Research Publishing 10.12677/PM.2016.66062 PM-19003 PM20160600000_89602615.pdf 数学与物理
关于R-半拓扑空间的一些探究
Some Research on R-Semi-Topology Space
靳 敏倩 1 * 朱 培勇 1 2 电子科技大学数学科学学院,四川 成都 null * E-mail:812747388@qq.com(靳敏) ; 22 11 2016 06 06 459 463 © Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
本文首先对R-半拓扑空间中点集的性质进行研究,然后对R-半拓扑的比较进行讨论,最后研究R-半拓扑空间的分离性质,并且在上述三个方面都分别获得了一些理论结果。 Firstly, we explore the properties of point set on R-semi-topology space and then discuss the comparative theory of R-semi-topology. Finally separation properties of the R-semi-topology space are studied. Some theoretical results are obtained respectively in the above three aspects.
R-半拓扑,R-半拓扑基,R-半拓扑的比较, R-Semi-Topology R-Semi-Topology Base Comparison of R-Semi-Topology 关于R-半拓扑空间的一些探究 靳敏倩,朱培勇
电子科技大学数学科学学院,四川 成都
![]()
收稿日期:2016年10月30日;录用日期:2016年11月14日;发布日期:2016年11月23日
![]()
摘 要 本文首先对R-半拓扑空间中点集的性质进行研究,然后对R-半拓扑的比较进行讨论,最后研究R-半拓扑空间的分离性质,并且在上述三个方面都分别获得了一些理论结果。
关键词 :R-半拓扑,R-半拓扑基,R-半拓扑的比较
![]()
1. 引言与预备知识 2002年,匈牙利数学家A. Csaszar在文献 [1 ] 中引入了广义拓扑概念,他定义:集合 的一个子集族 称为是一个广义拓扑,如果空集 并且对于任何族 有 。不难看出:广义拓扑实际上是一个半拓扑。2015年,文献 [2 ] 把广义拓扑称为上半拓扑,进而引入下半拓扑的概念,使得点集拓扑的一些性质得到了很好的推广。最近,文献 [3 ] 和文献 [4 ] 利用文献 [2 ] 的研究方法,将任意一个拓扑进行重新剖分为两个半拓扑,即左半拓扑与右半拓扑,并且分别记这两个半拓扑为L-半拓扑与R-半拓扑。同时,这两文献又从另一个角度推广了拓扑的概念,分别得到了L-半拓扑空间和R-半拓扑空间的一些研究结果。本文主要在文献 [4 ] 的基础上,对R-半拓扑空间进行研究,主要讨论R-半拓扑空间的点集性质、R-半拓扑基与R-半拓扑的比较。
定义1.1 [4 ] :设 是一个非空集合, 是 的一些子集构成的集族,如果下列条件被满足:
(O1) ;(O2) 若 ,则 。
则称 为集合 上的一个R-半拓扑,并且称有序偶 为一个R-半拓扑空间, 中的每一个集合都称为R-半拓扑空间 的R-开集。本文在不混淆的情况下,通常用 简记 。
定义1.2 [4 ] :设 为R-半拓扑空间, , ,如果 ,使得 ,则称 为点 的一个R-邻域。点 的邻域全体称为点 的R-邻域系,记作 ,并称 为由拓扑 导出的 的R-邻域系。
定义1.3 [4 ] :设 为R-半拓扑空间, , ,如果 使得 ,则称点 为点集 的R-内点。点集 的R-内点的全体称为 的R-内部,记为 或 。
此外,本文中所有没定义的关于R-半拓扑空间的相关概念(例如子空间等)、术语和记号,如果没有特殊声明,都来自于文献 [5 ] 。
2. 关于R-半拓扑空间的一些性质 根据文献 [5 ] 在一般拓扑空间中,有结论: 为开集的充要条件是 。但在R-半拓扑空间中该结论不成立。
命题2.1:设 是R-半拓扑空间, ,若 为开集,则 。反之,结论不成立。
证明:(1) 因为 为开集,对 , ,使得 ,由R-内点的定义可知 ,所以 ;又显然有 ,故 。
(2) 反之,可取 , ,则 是R-半拓扑空间。又取 ,则对 , ,使得 。由R-内点的定义,有 。因此 ;又 ,所以有 。但 ,因此 不是开集。
下面是与拓扑空间类似的两个结果:
命题2.2:设 是R-半拓扑空间, ,如果 是 的开子集,则 开于 当且仅当 开于 。
证明:(必要性) 设 开于 ,存在 中开集 使得 ,又因 是 的开子集,则 ,因此 是 中开集。
(充分性) 设 开于 ,则 开于 。而 ,因此, 开于 。
命题2.3:设 是一个R-半拓扑空间, ,则 。
证明:对于 ,因 使得 并且 ,则 使得 ,故 。又因 且 ,则 。所以, 。
反过来,对于 ,则存在 使得 并且存在 使得 。对于 ,又存在 使得 ,则存在 使得 。因此, 。
从而, 。
3. 关于R-半拓扑的比较 定义3.1:设 , 是 上的两个R-半拓扑,如果 ,则称 是比 更粗的R-半拓扑,或称 是比 更细的R-半拓扑。
命题3.1:设 , 是 上的两个R-半拓扑, 和 分别是关于 与 的全体闭集构成的集族,则 是比 更粗的R-半拓扑当且仅当 。
证明:(必要性) ,有 ,因 ,则 ,故 ,从而, 。
(充分性) 对于 ,有 ,因 ,则 。故 ,因此, , 是比 更粗的R-半拓扑。
众所周知,在一般拓扑学中有定理 [5 ] :如果 , 是 上的两个拓扑,则 当且仅当 ,有 。下面证明:这定理在R-半拓扑空间中不成立:
命题3.2::设 , 是 上的两个R-半拓扑,若 ,则 ,有 。反之,结论不真。
证明:(1) 设 ,对于 , , ,使得 。因为 ,则 并且 ,故 ,所以 。
(2) 反之,可取 , , ,则 , 是 上的两个R-半拓扑,由R-邻域的定义,有
,
因此,对于 ,有 。但是, 。
4. R-半拓扑基 定义4.1:设 是R-半拓扑空间, ,如果 ,存在 ,使得 ,则称B为R-半拓扑 的一个基,也称B为 的一个R-半拓扑基。
命题4.1:设 是R-半拓扑空间,B为R-半拓扑 的一个基当且仅当 , , 使得 。
证明:(必要性) 设B为R-半拓扑 的一个基,即 ,存在 ,使得 ,故 , ,使得 。
(充分性) ,若 ,则 ,使 ;若 ,因为 , ,使得 。故 。由R-半拓扑基的定义知:B为 的一个基。
在一般拓扑空间中,有如下结论:
设 是拓扑空间,B为 的一个基,则B满足下面两个条件:(1) ;(2) , , 使得 。但在R-半拓扑空间中,上述条件(1) 不一定成立。
例如:可取 ,则 , ,但 。
5. R-半拓扑空间的分离性质 现在,类比一般拓扑空间的分离性质引入R-半拓扑空间的分离性质:
定义5.1:设 是一个R-半拓扑空间,且 中的任意一点都有包含它的邻域存在。
(1) 称 是R-T0 的,如果 , , 使得 ,或者 使得 。
(2) 称 是R-T1 的,如果 , , , 使得 并且 。
(3) 称 是R-T2 的,如果 , , , 使得 。
定理5.1:R-半拓扑空间 为R-T0 空间当且仅当任意 ,若 ,则 。
证明:(必要性) 设 为R-T0 空间,任意 , 。由 公理,不妨设存在 ,使得 ,即 闭于 ,故 ,因此 ,从而 。
(充分性) 任意 , ,因 ,则 或 。不失一般性,设 ,即存在 。下证 。从而存在 ,有 。事实上,若 ,则 ,因此 ,于是 。这与 矛盾。
定理5.2:若R-半拓扑空间 中每个单点集都是闭集,则 是R-T1 空间。
证明:任意 , 。因为 是闭集,则 为开集,并且
,
又因为 。故 为 空间。
在一般拓扑学中,定理5。2的逆命题也成立,但在R-半拓扑中却不成立,反例如下:
取 , 。容易验证 是一个R-T1 空间,但存在 中的单点集 不是闭集。
定理5.3:R-半拓扑空间 是R-T2 空间当且仅当 中每个收敛网有唯一极限。
证明:(必要性)反证。若 中存在一个收敛网 有两个极限点 与 并且 。由 的 性,存在 ,存在 ,使得 。因为 ,故存在 ,使得任意 ,有 。又因 ,故存在 ,使得任意 ,有 。再由 的定向性,存在 ,使得 且 。因此,任意 ,有 。这与 矛盾。从而 有唯一的极限点。
(充分性) 反证。若 不是 空间,即存在 ,使得任意 ,任意 ,有 。取 ,并且定义 。
又在 中定义半序“ ”: 当且仅当 且 。则 是一个定向集。 为 中的一个网。
现在证: 并且 。
事实上, ,取 ,则 。对于 ,当 时,有 。因此 。同理可证, 。
定义5.2:设 是一个R-半拓扑空间,且 中的任意一点都有包含它的邻域存在。
(1) 称 是R-半正则的,如果 , 闭于 ,若 ,则 , ,使得 。
(2) 称 是R-半正规的,如果 闭于 ,若 ,则 , 使得 。
定理5.4:R-半拓扑空间 是正则的当且仅当 , , ,使得 。
证明:(必要性)设 , ,存在开集 ,使得 。记 ,则 闭于 并且 。由 的正则性, 开集 , 开集 ,使得 。则 。因而, ,使得
(充分性) 设 , 闭于 并且 。令 ,则开集 。由假设, 使得 。令 ,则
![]()
因此 , 且 。从而 是正则的。
6. 小结 本文在文献 [4 ] 的基础上进一步探究右半拓扑即R-半拓扑空间的性质,得到了R-半拓扑空间的一些结论以及R-半拓扑的比较与R-半拓扑基的一些结果。进而,丰富了R-半拓扑空间理论。同时,给出反例说明有些在一般拓扑中成立的命题在R-半拓扑中却不成立。
文章引用 靳敏倩,朱培勇. 关于R-半拓扑空间的一些探究Some Research on R-Semi-Topology Space[J]. 理论数学, 2016, 06(06): 459-463. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.66062
参考文献 (References) References 1 Csaszar, A. (2002) Generalized Topology, Generalized Continuity. Acta Mathematica Hungarica, 96, 351-357.
http://dx.doi.org/10.1023/A:1019713018007 2 胡西超, 朱培勇. 一类新型半拓扑空间及其分离性质[J]. 理论数学, 2015, 5(4): 129-135. 3 陈道富, 钟建, 朱培勇. 关于L-半拓扑空间的一些注记[J]. 理论数学, 2015, 5(6): 272-277. 4 钟健, 陈道富, 朱培勇. 关于R-半拓扑空间的一些结果[J]. 理论数学, 2016, 6(3): 217-222. 5 朱培勇, 雷银彬. 拓扑学导论[M]. 北京: 科学出版社, 2009: 33-43.