PM Pure Mathematics 2160-7583 Scientific Research Publishing 10.12677/PM.2017.73016 PM-20482 PM20170300000_85934167.pdf 数学与物理
一类函数方程的周期性
Periodicity of a Class of Functional Equations
周 小利 1 * 周 铁军 3 1 2 湖南农业大学理学院,湖南 长沙;湖南农业大学东方科技学院,湖南 长沙 湖南农业大学理学院,湖南 长沙 null * E-mail:hntjzhou@126.com(周小) ; 10 05 2017 07 03 137 140 © Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
本文针对函数方程f(x+T)f(x) =af(x+T)+bf(x)+c分别获得f(x)是周期为2T、3T、4T函数的充分条件,推广了已有结论。 The sufficient conditions are obtained that the f(x) is a periodic function with period 2T, 3T or 4T for the functional equation f(x+T)f(x) =af(x+T)+bf(x)+c. The results generalize the existing conclusions.
函数方程,周期, Functional Equation Period 一类函数方程的周期性 周小利1 ,周铁军1,2
1 湖南农业大学理学院,湖南 长沙
2 湖南农业大学东方科技学院,湖南 长沙
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收稿日期:2017年4月22日;录用日期:2017年5月6日;发布日期:2017年5月10日
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摘 要 本文针对函数方程 分别获得 是周期为2T、3T、4T函数的充分条件,推广了已有结论。
关键词 :函数方程,周期
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Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言 对于函数方程的解,我们经常要讨论它的周期性,并确定它的周期 [1 ] [2 ] [3 ] [4 ] [5 ] 。文献 [1 ] 中讨论了8种特殊形式的函数方程并给出了它们的周期。本文将该文相关结果推广到如下一般形式的函数方程:
(1) ![]()
显然,当 时,方程(1)存在平凡周期解:
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不难验证,当 时,方程(1)有常数解 或 ,这是平凡周期解。那么对于 不为常数的情形,方程(1)是否存在周期解?如果存在周期解,它的周期是多少?这是本文要解决的问题。
2. 主要定理 对于方程(1)是否存在非常数周期解的问题,我们有如下结论:
定理 设f(x)不为常数,
(i) 如果 ,那么 是周期为2T的函数。
(ii) 如果 ,那么 是周期为3T的函数。
(iii) 如果 ,那么 是周期为4T的函数。
证明:由于 不为常数,则由(1)式可得:
(2) ![]()
于是有 。将(2)式代入并整理得:
(3) ![]()
(i) 如果 ,则由(3)式可得 ,即 是周期为2T的函数。
(ii) 由(2)式得
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将(3)式代入上式并整理得
(4) ![]()
如果 ,那么有 ,即 是周期为3T的函数。
(iii) 由(3)式得
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再将(3)式代入上式并整理得
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当 时,有 ,于是得
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从而 ,故有
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所以 是周期为4T的函数。
3. 几个实例 下面举例说明上述定理的应用。
例1. 若函数 满足 ,其中 ,则 是周期为 的函数(文献 [3 ] 定理3)。
证明:令 ,则有 ,对应方程(1)中, , ,故由定理中(i)知, 是周期为 的函数。
注:文献 [1 ] 中第7点结论是本例在 时的特殊情形,文献 [2 ] 中定理1的两个方程是本例在 时的情形。
例2. 若函数 满足 ,则 是以3T为周期的函数。
证明:由条件可得
,
因此在方程(1)中, ,由定理中(ii)知道, 是以3T为周期的函数。
注:若a = 1,则得到文献 [1 ] 中第8点结论。
例3. 若函数 满足 ,则 是以2T为周期的函数。
证明:由条件可得
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因此在方程(1)中 ,由定理1中(i)知道, 是以2T为周期的函数。
注:若 , ,则得到文献 [1 ] 中第9点结论及文献 [2 ] 定理2的推论;若 , ,则得到文献 [1 ] 中第11点结论及文献 [2 ] 中的定理2。
例4. 若函数 满足 ,则 是以4T为周期的函数。
证明:由条件可得
,
因此在方程(1)中 ,显然 ,故由定理1中(iii)知道, 是以4T 为周期的函数。
注:如果 ,就得到文献 [1 ] 中第10点结论及文献 [2 ] 中定理3的推论;如果 ,就得到文献 [2 ] 中定理3的结论。
4. 结论 我们的研究表明,抽象函数方程(1)除了在系数满足条件 或 时存在常数形式的平凡周期解外,还可能在不同条件下分别存在周期为2T、3T和4T的非常数的周期解。
文章引用 周小利,周铁军. 一类函数方程的周期性Periodicity of a Class of Functional Equations[J]. 理论数学, 2017, 07(03): 137-140. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.73016
参考文献 (References) References 1 陈维华, 强海萍. 抽象函数的周期性研究[J]. 中学数学杂志, 2011(5): 41. 2 周继军. 由一类函数方程确定的周期函数[J]. 数学教学通讯, 1991(5): 19-20. 3 王良成. 也谈由函数方程确定的周期函数[J]. 数学教学通讯. 1992(5): 14-15. 4 宋泽熙, 周铁军. 一类函数方程周期解周期的确定[J]. 大学数学, 2016(6): 87-90. 5 Mickens, R.E. (2016) Periodic Solutions of the Functional Equation . Journal of Difference Equations and Applications, 22, 67-74. <br>https://doi.org/10.1080/10236198.2015.1075520