本文将多元函数的求导法则进行了归纳总结,通过画树形图得到求导的计算公式,并举例说明树形图法在求多元抽象函数偏导时的应用。 This article has carried on the induction summary of multivariate function derivative method, the derivation of the formula is obtained by drawing tree diagram, and illustrates tree diagram method in multivariate function abstract application of partial derivatives.
韩丽,郭秀娟
河西学院数学与统计学院,甘肃 张掖
收稿日期:2017年6月5日;录用日期:2017年6月24日;发布日期:2017年6月27日
本文将多元函数的求导法则进行了归纳总结,通过画树形图得到求导的计算公式,并举例说明树形图法在求多元抽象函数偏导时的应用。
关键词 :多元函数,求导法则,树形图,抽象函数
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高等数学教学中多元函数微分学的内容是微积分的重要组成部分,尤其是多元复合函数偏导的求法是多元函数微分法及其应用这一章的重点和难点,它是微分学应用的基础。然而多元函数由于其情况比较复杂,自变量和中间变量不止一个,还会出现有些变量既是中间变量又是自变量的情形,因此学生在学习这节内容时仅靠死记硬背公式很难正确的解决这类问题。本文主要是结合教学,介绍一种在求多元复合函数的偏导数时非常实用的一种方法——画树形图的方法,并且这种方法在求多元抽象函数的偏导数时也是非常实用的。
定理1 [
证明设
由于
则
因为
所以
分析:此公式可通过画树形图(如图1所示)帮助记忆,分段用乘,分叉用加。
这里是
从树形图中可看到从
图1. 树型图
推广:假设下面所涉及的函数均可微。
1) 中间变量多于两个的情形(图2所示)。
注:
2) 中间变量是多元函数的情形(图3所示)。
3) 中间变量同时又是自变量的情形(图4所示)。
注:
求复合函数的偏导数是本节的难点和重点,特别是抽象复合函数的高阶偏导,一般采用链式法则 [
图2. 树型图
图3. 树型图
数的偏导数在教学中是一个难点,尤其是多元抽象函数的高阶偏导数,学生不容易掌握,但是通过画树形图 [
例设
解
图5中的1,2分别表示
计算时要分清复合结构 [
图4. 树型图
图5. 树型图
多元复合函数求偏导时可参照本文所列各种情形,先画出多元函数复合的树形图,再根据图形列出相应的公式,最后进行计算即可。
2016年度河西学院教学改革基金项目“工科类高等数学教学改革研究”(项目编号:HXXYJY-2016-027)。
韩 丽,郭秀娟. 多元复合函数求导法则的教学思考 Teaching Thinking of Seeking Rule of Multiple Compound Function[J]. 理论数学, 2017, 07(04): 225-229. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.74028