本文中给出了一些等级相同并满足一定条件的M角数数字关系式。得到了与毕达哥拉斯三角数相关的特殊M角数数字关系式。讨论了一些特殊情况,并得到了一些有趣的结果。 In this paper, we present some arithmetic relationships among same-level M-Gonal numbers in a specific situation. We also illustrate some arithmetic relations on M-Gonal numbers who are related with Pythagorean Triangles Number. A few special cases are discussed to obtain some interesting results.
—从M角数谈起
郭铭浩1,郭志成2
1上海交通大学生物医学工程学院,上海
2北方设计研究院,河北 石家庄
收稿日期:2017年6月17日;录用日期:2017年6月30日;发布日期:2017年7月6日
本文中给出了一些等级相同并满足一定条件的M角数数字关系式。得到了与毕达哥拉斯三角数相关的特殊M角数数字关系式。讨论了一些特殊情况,并得到了一些有趣的结果。
关键词 :M角数,Pythagorean方程,分拆
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Fermat在Diophtantus的《数论》的空白处写下了第18条评注是下面的命题 [
命题1:当m ≥ 3时,所有的自然数可表为不超过m个m角数1 (m-gonal number)之和。
命题1中4角数部分抽出来就是下面的命题。
命题2:对任意的自然数n,不定方程
有解。
Euler在知道了Fermat的命题1时颇为激动,然而对命题2的证明颇费周章却不得其解。1772年Lagrange在Euler研究的基础上,利用Euler的四平方恒等式 [
证明了命题2,并于1812年证明了命题1。
无论Fermat还是Euler,都对命题1情有独钟。Fermat在所记命题1的空白处,写到了命题1是关系到数论的许多神秘之处,并说关于这一点他自己有写一本书的打算。Euler推导出的四平方恒等式也不是简单的,它使得只需要证明命题2对素数成立。
命题1没有要求自然数表为m个m角数之和。对命题2,就是没有要求
更准确的说,我们利用关系式
和命题2推出下面的结论 [
对于n ≥ 169的自然数,都可以表为5个正整数平方之和。
直接验证n < 169的自然数知道:除去下面的12个数,其它的自然数都可以表示为5个正整数平方之和。
结论中的5是不能改进的。
前面结论的逆命题是:
命题3:如果存在一个4角数,可以分别表示为2,3,4,5个相异四角数之和,那么大于这个4角数的所有自然数都可以表示为不超过4个4角数之和 [
命题3中4个4角数也是不能改进的。逆命题中最重要的一部分条件是:一个4角数拆成了两个相异4角数之和。即勾股定理
我们称“第几个正整数的平方”为“第几项4角数”,那么勾股定理可以解释为:
第13项4角数等于第12项4角数与第5项4角数之和。
当把勾股定理推广到任意m角数的时候,发现了如下的结论:
命题4:第
在平方数定义为4角数的情况下,上述结论做为勾股定理的一个推广是合格的2,它实际上是洛伦兹(Lorentz)变换的对偶定理3。顺便说,它也是数学上的质能公式。
我们用
代入上述的结论,很容易推出方程
也就是说,如果方程成立,就证明了上述的结论。然而,讲明白这个方程的符号和数字的物理意义并不是容易的事情 [
我们可以用哥德尔数简单解释质能公式如下:第
我们逐渐的会明白,上述结论在形式上是对质能公式
我们得到这些物理上的结论并不奇怪,因为质能公式和它的三次方程在数学上称为自守形式(Automorphic form),它应用到物理上就是各种守恒定律。需要说明的是:守恒定律的个数是有限的,它的最多个数是由自守形式确定的。
一般的,第s项的m角数记为
也就是说,4角数(平方数)169拆成4个4角数及5角数852拆成5个5角数的相异分拆种数是2。
它可以推出命题5。
命题5:当
这个命题的正确性是毋庸置疑的,因为我们只需要重复命题1的证明过程并用哥德尔数解释方程
的意义。这种方法略显拙笨,且简化证明过程不属本文的内容。故不再赘述。
由命题5可以推出:所有的自然数都可以表示为不超过m个允许重复的m角数之和。下面给出5角数和6角数的相异分拆。
当
在很多文献中,定义多项式幂
的展开式中,项xt的系数为rs(t)。函数rs(t)表示的是拆数t为s个(注:不一定相异)平方数(4角数)的种数。
拆数t为2,3,4个4角数之和的分拆种数(或者相异种数)人们已经研究的很清楚了。对拆数t为偶数个4角数之和的分拆种数r2k(t)的定量研究,目前多使用椭圆模函数理论,它涉及艰深的算数函数。对于t为奇数r2k+1(t)的定量研究,涉及Legendre符号和广义Jacobi符号
的一个有限和。这些结果许多都是大部头专著 [
由此可以看出,求解
郭铭浩,郭志成. M角数恒等式及其应用—从M角数谈起The Identities of M-Gonal Number with Its Application—M-Gonal Numbers Revisited[J]. 理论数学, 2017, 07(04): 250-254. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.74032