本文运用
λ-矩阵的相关理论和常系数线性齐次递归关系的求解方法,对特殊线性群
SL(2,R) 的有限Abelian子群进行了研究,给出了其任意阶循环群的结构,即2阶矩阵方程:
蒋传华,段翠连
广西师范大学,广西 桂林
收稿日期:2017年7月8日;录用日期:2017年7月24日;发布日期:2017年7月27日
本文运用l-矩阵的相关理论和常系数线性齐次递归关系的求解方法,对特殊线性群的有限Abelian子群进行了研究,给出了其任意阶循环群的结构,即2阶矩阵方程:且,其中的全部解。进一步,我们希望通过探讨各阶循环群生成元的交换性来确定的有限Abelian子群结构。
关键词 :特殊线性群,Abelian群,齐次递归关系,l-矩阵
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
n阶一般线性群是由n阶可逆矩阵组成的群,矩阵的元素取自R群运算,为通常的矩阵乘法,记为
下面列出一些与群和矩阵相关的概念和定理(可参考文献 [
定义2.1.1 [
1) “
2) G中有元素e,使对每个元
3) 对G中每个元素A,存在元素
则G关于运算“
定义2.1.2 [
即G的代数运算满足交换律,则称G为交换群(commutative Group)或Abel群(Abelian Group)。
定义2.1.3 [
定义2.1.4 [
定义2.1.5 [
定义2.1.6 [
则称G为循环群,并称A是群G的一个生成元(Generator)。习惯上记为
定义2.1.7 [
其中
定义2.1.8 [
定义2.1.9 [
定义2.1.10 [
定理2.1.1 [
其中
定理2.1.2 [
的行列式因子等于
其中共有r − 1个1,
定理2.1.3 [
其中
其中
本节我们介绍常系数线性齐次递归关系的求解,相关内容请参考文献 [
常系数线性齐次递归关系,其形如
或
这里
就是一个常系数线性齐次递归方程。假定
这里
我们把与递归关系(2.2.1)或(2.2.2)相联系的方程
称为(2.2.1)或(2.2.2)的特征方程。方程(2.2.3)有r个根
1) 若特征方程有r个不同的特征根
定理设递归关系
是一般解。
2) 若特征方程有重根
定理设
的特征方程互异的根。
而这个递归关系的一般解是
3) 若特征方程出现复根
当特征方程的诸系数是实数,但某些特征根是复数时,齐次解则写成另一种形式。因为复数根总是成对出现的,故设
是一对共轭复根,则对应的齐次解为
其中,
注意,这里的
由群理论相关的结论我们有:有限循环群一定是有限Abelian群,故我们可以先寻找到特殊线性群
由
(此处A的特征根解集参考文献 [
特别地,就
1) 当n=1时,若要
2) 当n=2时,若要
① 考虑特征值
于是,由定理2.1.3,矩阵A的有理标准型为
② 考虑特征值
由定理2.1.3,矩阵A的有理标准型为
③ 考虑特征值
由定理2.1.3,矩阵
3) 当n = 3时,要求
由
① 当
② 当
由定理2.1.3,矩阵A的有理标准型为
下面考虑
考虑
由定理2.1.3,A的有理标准型为
证明:由于矩阵A的特征多项式为
经过观察我们发现,等式(2)中F的系数
由
因为
所以
解之得:
故
从而
由和差化积公式得:
又
所以
即
又
所以
故
从而
由前面的讨论,我们已经找到了满足
例如,当
对任意的
们可以缩小
当
面
当
综上所述,
当n = 1时,则A为单位阵;
当n = 2时,则此时无解;
当
当
特殊线性群
蒋传华,段翠连. 特殊线性群SL(2,R)的有限Abelian子群Special Linear Group SL(2,R) of Finite Abelian Subgroup[J]. 应用数学进展, 2017, 06(04): 627-636. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.64073