利用韦达定理(根与系数关系)引入一般二次曲线的α-割函数,α-定义域,以及α-判别式,并且利用它们给出了一般二次曲线分类新准则。与传统方法不同,此方法不依赖于旋转变换,矩阵,不变量和半不变量等概念,只依赖于α-割函数的简单性质。 By virtue of Vieta theorem (or relationship between root and coefficient), we introduce the α-cut function, α-domain and α-discriminant of the quadratic curve, and then use them to give a new criterion to make the classification of general quadratic curves. Different from the classical method, this method does not depend on the concepts of rotation transformation, matrix, invariant, and the semi invariant. It only relies on the primary properties of α-cut function.
关丽娜,曹丽华
深圳大学数学与统计学院,广东 深圳
收稿日期:2017年8月12日;录用日期:2017年8月27日;发布日期:2017年9月1日
利用韦达定理(根与系数关系)引入一般二次曲线的a-割函数,a-定义域,以及a-判别式,并且利用它们给出了一般二次曲线分类新准则。与传统方法不同,此方法不依赖于旋转变换,矩阵,不变量和半不变量等概念,只依赖于a-割函数的简单性质。
关键词 :二次曲线,a-割函数,a-定义域,a-判别式
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设二次曲线
记
定理A [
接下来我们将给出曲线
定理1 设直线
证明 设
消去
因此
评注:由于
为了得到曲线
显然,
对于
其中
以上分析的情形是对于
总结以上的分析,我们有以下的定理2:
定理2 设
1):若
2):若
以下我们证明定理2与定理A是等价的,从而证明了定理2。但是从上述分析可知,我们得到的定理所用到的工具都很初等,只需要到高中数学的韦达定理和二次函数的性质即可。刚上大一的新生对韦达定理的应用是比较熟悉的,因为高考中的圆锥曲线对韦达定理是作要求的。因此,定理2的方法是在大一新生所具有的基础上所建立的,所以大一新生接受它们比较容易和自然。
证明 若
恒成立。这有两种情况:
若
另外
若
若
若
接着我们证明
最后我们证明
情形1:若
情形2:若
情形3:若
关丽娜,曹丽华. 二次曲线分类新准则New Criterion for Classification of Quadratic Curves[J]. 理论数学, 2017, 07(05): 373-377. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.75048