骆毅

云南大学数学与统计学院，云南 昆明

收稿日期：2017年10月14日；录用日期：2017年10月28日；发布日期：2017年11月2日

通过将MB-矩阵分裂成一个非奇异M-矩阵和一个秩1非负矩阵之和，获得MB-矩阵的子直和仍为MB-矩阵的一些充要条件和充分条件，最后用数值例子对所给结论进行了说明和解释。

关键词 :Z-矩阵，非奇异M-矩阵，MB-矩阵，子直和

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1999年Fallat和Johnson首先在文献 [1] 中提出矩阵的子直和的概念，由于其在诸如马可夫链的递增许瓦兹迭代及分裂和重叠的递增许瓦兹迭代等研究中的重要性，引起了学者的关注和研究，并取得了一些重要研究成果，如文献 [2] [3] [4] 分别对非奇异M-矩阵及其逆的子直和、H-矩阵和双对角占优矩阵的子直和等进行了研究。本文在文献 [2] 和 [5] 的基础上对MB-矩阵的子直和进行研究，试图得到MB-矩阵的子直和仍为MB-矩阵的一些新的条件。

本节先给出一些基本概念、定理与符号，以备后用。

设 A = ( a i j ) ∈ R m × n ，如果对于所有的 i = 1 , ⋯ , m ; j = 1 , ⋯ , n 都有 a i j > 0   ( a i j ≥ 0 ) ，则称 A 为正(非负)矩阵，记为 A > O   ( A ≥ O ) 。

定义2.1. [6] 设 A = ( a i j ) ∈ R n × n ，如果对于所有的 1 ≤ i , j ≤ n ， i ≠ j 都有 a i j ≤ 0 ，则 A 称为Z-矩阵。如果 A 是Z-矩阵且 A − 1 ≥ O ，则称 A 为M-矩阵。

定义2.2. [7] 设 A = ( a i j ) ∈ R n × n ，将 A 分裂为 A = A z + A r ，其中

A z = [ a 11 − β 1 A a 12 − β 1 A ⋯ a 1 n − β 1 A a 21 − β 2 A a 22 − β 2 A ⋯ a 2 n − β 2 A ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 − β n A a n 2 − β n A ⋯ a n n − β n A ] ， A r = [ β 1 A β 1 A ⋯ β 1 A β 2 A β 2 A ⋯ β 2 A ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ β n A β n A ⋯ β n A ] (1)

β i A = max { 0 , a i j | ∀ j ≠ i } 。显然 A z 是Z-矩阵， A r 是秩1非负矩阵。若 A z 为M-矩阵，则称 A 为MB-矩阵。

定义2.3. [2] 设 A ∈ R n 1 × n 1 ,   B ∈ R n 2 × n 2 ， k 是整数且 1 ≤ k ≤ min { n 1 , n 2 } ， n = n 1 + n 2 − k ， A , B 分块如下：

A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] ， B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] (2)

其中 A 22 ， B 11 都是 k 阶方阵。定义矩阵

M = [ A 11 A 12 O A 21 A 22 + B 11 B 12 O B 21 B 22 ] ∈ R n × n (3)

称其为 A 和 B 的 n ( n = n 1 + n 2 − k ) 阶k-子直和，记为 M = A ⊕ k B 。

将 A = ( a i j ) ∈ R n 1 × n 1 ,   B = ( b i j ) ∈ R n 2 × n 2 和 M = ( m i j ) ∈ R n × n 按定义2.2中的(1)式分别分裂为：

A = A z + A r ， B = B z + B r ， M = A ⊕ k B = M z + M r

将 A z , A r , B z , B r 按(2)式分块为：

A z = [ A 11 z A 12 z A 21 z A 22 z ] ， A r = [ A 11 r A 12 r A 21 r A 22 r ] ， B z = [ B 11 z B 12 z B 21 z B 22 z ] ， B r = [ B 11 r B 12 r B 21 r B 22 r ]

定义矩阵

M ¯ = [ A 11 z A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r A 22 z + B 11 z B 12 z − A 23 r − B 23 r B 21 z B 22 z ] ∈ R n × n (4)

其中

A 11 z ∈ R ( n 1 − k ) × ( n 1 − k ) ， A 12 z ∈ R ( n 1 − k ) × k ， A 21 z ∈ R k × ( n 1 − k ) ， A 22 z ∈ R k × k ，

B 11 z ∈ R k × k ， B 12 z ∈ R k × ( n − n 1 ) ， B 21 z ∈ R ( n − n 1 ) × k ， B 22 z ∈ R ( n − n 1 ) × ( n − n 1 ) ，

A 11 r ∈ R ( n 1 − k ) × ( n 1 − k ) ， A 12 r ∈ R ( n 1 − k ) × k ， A 13 r ∈ R ( n 1 − k ) ( n − n 1 ) 的第i行为 ( β i A , β i A , ⋯ , β i A ) ，

A 21 r ∈ R k × ( n 1 − k ) ， A 22 r ∈ R k × k ， A 23 r ∈ R k × ( n − n 1 ) 的第i行为 ( β i A , β i A , ⋯ , β i A ) ，

B 11 r ∈ R k × k ， B 12 r ∈ R k × ( n − n 1 ) ， B 13 r ∈ R k × ( n 1 − k ) 的第i行为 ( β i B , β i B , ⋯ , β i B ) ，

B 21 r ∈ R ( n − n 1 ) × k ， B 22 r ∈ R ( n − n 1 ) × ( n − n 1 ) ， B 23 r ∈ R ( n − n 1 ) × ( n 1 − k ) 的第i行为 ( β i B , β i B , ⋯ , β i B ) 。

容易验证这里的 M ¯ 就是 [5] 中的 M ¯ ，于是由文献 [5] 知 M z ≥ M ¯ ，且都为Z-矩阵。

当 A z , B z 为非奇异矩阵时，将 ( A z ) − 1 , ( B z ) − 1 按(2)分块为：

( A z ) − 1 = [ A 11 z ^ A 12 z ^ A 21 z ^ A 22 z ^ ] ， ( B z ) − 1 = [ B 11 z ^ B 12 z ^ B 21 z ^ B 22 z ^ ] (*)

其中 A 11 z ^ ∈ R ( n 1 − k ) × ( n 1 − k ) ， A 12 z ^ ∈ R ( n 1 − k ) × k ， A 21 z ^ ∈ R k × ( n 1 − k ) ， A 22 z ^ ∈ R k × k ， B 11 z ^ ∈ R k × k ， B 12 z ^ ∈ R k × ( n − n 1 ) ， B 21 z ^ ∈ R ( n − n 1 ) × k ， B 22 z ^ ∈ R ( n − n 1 ) × ( n − n 1 ) 。

定理2.1. [2] 设 A = [ a i j ] ∈ R n × n ，则如下3款成立：

1) 当 A 为非奇异M-矩阵时，其主对角元为正。

2) 当 A 为非奇异M-矩阵， B = [ b i j ] 为Z-矩阵且 B ≥ A 时， B 为非奇异M-矩阵。

3) A 为非奇异M-矩阵的充要条件为 A 的每一个主子矩阵为非奇异M-矩阵。

引理2.1. [8] 设 A = [ D E F G ] 非奇异，其中 D ∈ R ( n − k ) × ( n − k ) ， G ∈ R k × k ， E ∈ R ( n − k ) × k ， F ∈ R k × ( m − k ) 。则

1) 若 D 非奇异且 D − 1 ≥ 0 ， − E ≥ 0 ， − F ≥ 0 ，则 A − 1 ≥ 0 当且仅当 ( A / D ) − 1 ≥ 0 ；

2) 若 G − 1 ≥ 0 ， − E ≥ 0 ， − F ≥ 0 ，则 A − 1 ≥ 0 当且仅当 ( A / G ) − 1 ≥ 0 。

这里 A / D 表示矩阵 A 内 D 的Schur补。

先给出 M ¯ 为非奇异的Z-矩阵的充要条件。

定理3.1. 设 A z , B z 为M-矩阵，

det H ^ = det { ( B 11 z ^ + A 22 z ^ ) + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ } ≠ 0

且 B 23 r = O ，则 M ¯ 为非奇异的Z-矩阵。

证明：由(*)式得

( A z ) − 1 [ I n 1 − k O B 13 r I k ] = [ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ ]

再由 det ( A z ) − 1 det [ I n 1 − k O B 13 r I k ] ≠ 0 得

det [ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ ] ≠ 0

于是由 A z ( A z ) − 1 = I n 1 ，得

A 11 z A 11 z ^ + A 12 z A 12 z ^ = I n 1 − k = I n − n 2 ， A 11 z A 12 z ^ + A 12 z A 22 z ^ = 0 ，

A 21 z A 11 z ^ + A 22 z A 21 z ^ = 0 ， A 21 z A 12 z ^ + A 22 z A 22 z ^ = I k

由 ( A z ) − 1 A z = I n 1 ，得

A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ A 12 z = I n − n 2 ， A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z = 0

A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ A 21 z = 0 ， A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z = I k

由 B z ( B z ) − 1 = I n 2 ，得

B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ = I k ， B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ = 0 ，

B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^ = 0 ， B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ = I n − n 1

由 ( B z ) − 1 B z = I n 2 ，得

B 11 z ^ B 11 z + B 12 z ^ B 21 z = I k ， B 11 z ^ B 12 z + B 12 z ^ B 22 z = 0 ，

B 21 z ^ B 11 z + B 22 z ^ B 21 z = 0 ， B 21 z ^ B 12 z + B 22 z ^ B 22 z = I n − n 1

故有

[ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n − n 1 ] M ¯ [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ]

= [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n − n 1 ] [ A 11 z A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r A 22 z + B 11 z B 12 z − A 23 r − B 23 r B 21 z B 22 z ] [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] = [ ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 12 z ^ ( A 21 z − B 13 r ) ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 22 z ^ ( A 21 z − B 13 r ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) − B 23 r B 21 z       − ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) − ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) B 22 z ] [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ]

= [ ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 12 z ^ ( A 21 z − B 13 r ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 22 z ^ ( A 21 z − B 13 r ) − B 23 r         ( ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 11 z ^ + ( − ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) ) B 21 z ^ ( ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 11 z ^ + ( − ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) ) B 21 z ^ B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^             ( ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 12 z ^ + ( − ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) ) B 22 z ^ ( ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 12 z ^ + ( − ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) ) B 22 z ^ B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ ]

= [ A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 11 z + A 12 z ^ A 21 z − A 12 z ^ B 13 r A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ B 13 r A 11 z + A 22 z A 21 z − A 22 z ^ B 13 r ^ − B 23 z           A 11 z ^ A 12 z B 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z B 11 z ^ + A 12 z ^ A 22 z B 11 z ^ + A 12 z ^ B 11 z B 11 z ^ − A 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ − A 12 z ^ B 13 r A 13 r B 21 z ^ + A 12 z ^ B 12 z B 21 z ^ − A 12 z ^ A 23 r B 21 z ^ A 21 z ^ A 12 z B 11 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 12 z B 11 z ^ + A 22 z ^ A 22 z B 11 z ^ + A 22 z ^ B 11 z B 11 z ^ − A 21 z ^ A 13 r B 21 z ^ − A 22 z ^ B 13 r A 13 r B 21 z ^ + A 22 z ^ B 12 z B 21 z ^ − A 22 z ^ A 23 r B 21 z ^ B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^       A 11 z ^ A 12 z B 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z B 12 z ^ + A 12 z ^ A 22 z B 12 z ^ + A 12 z ^ B 11 z B 12 z ^ − A 11 z ^ A 13 r B 22 z ^ − A 12 z ^ B 13 r A 13 r B 22 z ^ + A 12 z ^ B 12 z B 22 z ^ − A 12 z ^ A 23 r B 22 z ^ A 21 z ^ A 12 z B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 12 z B 12 z ^ + A 22 z ^ A 22 z B 12 z ^ + A 22 z ^ B 11 z B 12 z ^ − A 21 z ^ A 13 r B 22 z ^ − A 22 z ^ B 13 r A 13 r B 22 z ^ + A 22 z ^ B 12 z B 22 z ^ − A 22 z ^ A 23 r B 22 z ^ B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ ]

= [ A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ A 21 z ( A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z ) B 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) + A 12 z ^ ( B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ A 21 z ( A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z ) B 11 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) + A 22 z ^ ( B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ − B 23 z 0       ( A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z ) B 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) + A 12 z ^ ( B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ( A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z ) B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) + A 22 z ^ ( B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n − n 1 ] = [ I n − n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ 0 H ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ − B 23 r 0 I n − n 1 ]

由此式知，当 det H ^ ≠ 0 且 B 23 r = O 时， M ¯ 为非奇异的。

现在讨论MB-矩阵的子直和为MB-矩阵的充分条件。

容易验证

[ I n − n 2 F Y 0 H ^ Q 0 0 I n − n 1 ] − 1 [ I n − n 2 C D O H ^ − 1 E O O I n − n 1 ] = [ I n − n 2 0 0 0 I k 0 0 0 I n − n 1 ]

其中

C = − [ A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ ] × H ^ − 1

D = − [ A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ]     + [ A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ ]     × H ^ − 1 × [ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ]

E = − H ^ − 1 × [ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ]

F = A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^

Y = A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^

Q = B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^

从而有

[ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n − n 1 ] M ¯ [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ]

= [ I n − n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ 0 H ^ − B 23 r 0       A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n − n 1 ]

对上式两边同时取逆得：

[ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] − 1 ( M ¯ ) − 1 [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n − n 1 ] − 1

= { [ I n − n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ 0 H ^ − B 23 r 0        

          A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n − n 1 ] } − 1

A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n − n 1 ] } − 1

进而可得：

( M ¯ ) − 1 = [ I n − n 2 O O O B 11 z ^ B 12 z ^ O B 21 z ^ B 22 z ^ ] [ I n − n 2 C D O H ^ − 1 E O O I n − n 1 ] [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ O A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ O O O I n − n 1 ]

即

( M ¯ ) − 1 = [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r + C ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z ^ + C A 22 z ^ D B 11 z ^ H ^ ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) B 11 z ^ H ^ − 1 A 22 z ^ B 11 z ^ E + B 12 z ^ B 21 z ^ H ^ − 1 ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) B 21 z ^ H ^ − 1 A 22 z ^ B 21 z ^ E + B 22 z ^ ] (5)

定理3.2. 设 A z , B z 为M-矩阵，

det H ^ = det { ( B 11 z ^ + A 22 z ^ ) + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ } ≠ 0

且 B 23 r = O ，则当(5)式中的每一个分块为非负矩阵时， M = A ⊕ k B 为MB-矩阵。

证明：当 M ¯ 满足上述条件时，由定义2.1知 M ¯ 为非奇异M-矩阵。再由 M z ≥ M ¯ 及定理2.1的性质(2)知 M z 为非奇异M-矩阵，于是由定义2.2知 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵。

下面对 B 23 r ≠ O 时的情况进行讨论。设 A = [ D E F G ] ∈ R n × n ，其中 D ∈ R k × k 且非奇异，矩阵 A 内 D 的Schur补记为 A / D ，即 A / D = G − F D − 1 E 。同样如果 G 为非奇异时， A / G = D − E G − 1 F 。

定理3.4. 设 A , B 为MB-矩阵，若

( D ˜ ) − 1 ≥ 0 ， ( G ˜ − F ˜ ( D ˜ ) − 1 E ˜ ) − 1 ≥ 0

则 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵，其中

D ˜ = A 11 z − A 13 r ( B 22 z ) − 1 B 23 r ， E ˜ = A 12 z + A 13 r ( B 22 z ) − 1 B 21 z ≤ 0 ，

F ˜ = A 21 z − B 13 r + B 12 z ( B 22 z ) − 1 B 23 r − A 23 r ( B 22 z ) − 1 B 23 r ≤ 0 ， G ˜ = A 22 z + B 11 z − B 12 z ( B 22 z ) − 1 B 21 z + A 23 r ( B 22 z ) − 1 B 21 z

证明：将 M ¯ 分块为 M ¯ = [ X Q ˜ S ˜ T ] ，其中 X = ( A 11 z A 12 z A 21 z − B 13 r A 22 z + B 11 z ) ， Q ˜ = [ − A 13 r B 12 z − A 23 r ] T ， S ˜ = [ − B 23 r B 21 z ] ， T = B 22 z 。由 A z , B z 为M-矩阵，定义2.2及定理2.1得 Q ˜ ≤ 0 ， T − 1 ≥ 0 ， S ˜ ≤ 0 。由引理2.1得 ( M ¯ ) − 1 ≥ 0 当且仅当 ( M ¯ / T ) − 1 ≥ 0 ，其中 M ¯ / T = X − Q ˜ T − 1 S ˜ ，即

M ¯ / T = [ A 11 z − A 13 r ( B 22 z ) − 1 B 23 r A 12 z + A 13 r ( B 22 z ) − 1 B 21 z A 21 z − B 13 r + B 12 z ( B 22 z ) − 1 B 23 r − A 23 r ( B 22 z ) − 1 B 23 r A 22 z + B 11 z − B 12 z ( B 22 z ) − 1 B 21 z + A 23 r ( B 22 z ) − 1 B 21 z ]

令 M ¯ / T = [ D ˜ E ˜ F ˜ G ˜ ] ，则当 ( D ˜ ) − 1 ≥ 0 时，由引理2.1得 ( M ¯ / T ) − 1 ≥ 0 当且仅当

( ( M ¯ / T ) / D ˜ ) − 1 = ( G ˜ − F ˜ ( D ˜ ) − 1 E ˜ ) − 1 ≥ 0

从而当 ( G ˜ − F ˜ ( D ˜ ) − 1 E ˜ ) − 1 ≥ 0 时， ( M ¯ ) − 1 ≥ 0 。又因 M ¯ 为Z-矩阵，故 M ¯ 为M-矩阵。由 M z ≥ M ¯ 且 M z 为Z-矩阵得， M z 为M-矩阵，再由定义2.2得 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵。

下面我们将讨论 A , B 均为MB-矩阵且 A 22 z = B 11 z 的特殊情况，定理3.7给出了它们的子直和仍为MB-矩阵的充分条件。

定理3.7. 设 A , B 为MB-矩阵且 A 22 z = B 11 z ，若 C 为非奇异M-矩阵，则 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵，其中

C = [ A 11 z A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r A 22 z B 12 z − A 23 r − B 23 r B 21 z B 22 z ]

证明：构造一个Z-矩阵 T ∈ R n × n

T = [ A 11 z 2 A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r 2 A 22 z B 12 z − A 23 r − B 23 r 2 B 21 z B 22 z ]

则 T = C d i a g ( I , 2 I , I ) 且 T − 1 = d i a g ( I , ( 1 / 2 ) I , I ) C − 1 ≥ O ， T 是一个非奇异的M-矩阵。此时

M ¯ = [ A 11 z A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r 2 A 22 z B 12 z − A 23 r − B 23 r B 21 z B 22 z ]

故 M ¯ ≥ T ，于是 M ¯ 为非奇异的M-矩阵。由 M z ≥ M ¯ 得 M z 也为非奇异的M-矩阵。

故由定义2.2得 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵。

例3.3. 设矩阵 A , B 及按定义2.2分裂为

A = [ 4 . 1 1 . . . . − 1 . 11 − 3 − 1 . − 13 8 ] = A z + A r = [ 3 0 0 − 1 11 − 3 − 1 − 13 8 ] + [ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ]

B = [ 11 − 2 . − 1 − 13 8 . − 3 . . . . 1 1 . 3 ] [ 11 − 3 − 1 − 13 8 − 3 1 1 3 ] = B z + B r = [ 11 − 3 − 1 − 13 8 − 3 0 0 2 ] + [ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ]

按定理3.7取

C = [ 3 0 0 − 1 − 1 11 − 3 − 1 − 1 − 13 8 − 3 − 1 0 0 2 ]

容易验证 A , B 为MB-矩阵和 C 为非奇异M-矩阵，则 A , B 的子直和

M = A ⊕ 2 B = [ 4 1 1 0 − 1 22 − 6 − 1 − 1 − 26 16 − 3 0 1 1 3 ]

由定理3.7得 M = A ⊕ 2 B 为MB-矩阵。

由衷地感谢我的导师李耀堂教授在学习和科研上对我的指导和帮助。

骆 毅. MB-矩阵子直和仍为MB-矩阵的条件Conditions That Subdirect Sums of MB-Matrices Is Still MB-Matrices[J]. 理论数学, 2017, 07(06): 422-430. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.76055