通过应用改进的Kolokolniov引理,考虑Gol'dberg-Grinshtein型对数导数估计,将现有结果中的常数改进为4.5206。特别地,对零点和极点都是实数的亚纯函数,将相应的常数改进为3.8018。 By applying the improved Kolokolniov lemma to investigate the Gol’dberg-Grinshtein type logarithmic derivative estimation, the constant in the existing results are improved to 4.5206. In particularly, for the case that all zeros and poles of the meromorphic function are real numbers, the constant is improved to 3.8018.
李升,陈宝琴
广东海洋大学数学与计算机学院,广东 湛江
收稿日期:2017年10月27日;录用日期:2017年11月10日;发布日期:2017年11月14日
通过应用改进的Kolokolniov引理,考虑Gol'dberg-Grinshtein型对数导数估计,将现有结果中的常数改进为4.5206。特别地,对零点和极点都是实数的亚纯函数,将相应的常数改进为3.8018。
关键词 :亚纯函数,Nevanlinna理论,对数导数
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在下文中,将使用Nevanlinna理论 [
m ( r , f ′ f ) ≤ log + ( T ( ρ , f ) r ρ ρ − r ) + 5.8501 (1)
其中 ρ > r , f ( z ) 是一个亚纯函数且满足 f ( 0 ) = 1 。
形如式(1)的不等式称为Gol’dberg-Grinshtein型对数导数估计。其应用及如何改进常数5.8501,一直受到国内外专家学者的关注。Benbourenane和Korhonen [
我们首先证明如下的一般性结果:
定理1:设 f ( z ) 在 { z ∈ C : | z | < R } 内亚纯且 f ( 0 ) = 1 ,其中 0 < R ≤ ∞ ,则对所有满足 0 < r < ρ < R 的 r 和 ρ 有
m ( r , f ′ f ) ≤ log + ( T ( ρ , f ) r ρ ρ − r ) + 4.5206
对于零点和极点都是实数的亚纯函数,我们将常数4.5206进一步缩小为3.8018,也就是如下定理:
定理2:设 f ( z ) 在 { z ∈ C : | z | < R } 内亚纯且 f ( 0 ) = 1 ,其中 0 < R ≤ ∞ 。如果 f ( z ) 的所有零点和极点都是实数,那么对所有满足 0 < r < ρ < R 的 r 和 ρ 有
m ( r , f ′ f ) ≤ log + ( T ( ρ , f ) r ρ ρ − r ) + 3.8018
引理1: [
C 1 ( 1 − d ) α + C 2 d α ≤ ( C 1 1 1 − α + C 2 1 1 − α ) 1 − α
引理2: [
u ( θ ) : = lim inf z → R e i θ , | z | < R | F ( z ) | 1 − α
如果 Re ( F ( z ) ) 或 Im ( F ( z ) ) 不变号,那么对任意满足 0 < α < 1 的 α 有
1 2π ∫ 0 2π u ( θ ) α d θ ≤ sec ( α π 2 ) | F ( 0 ) | α
以下引理是Kolokolniov引理(见 [
引理3: [
H ( z ) : = ∑ k δ k z − c k
则对任意满足 0 < α < 1 的 α , 0 < r < R 有
1 2π ∫ 0 2π | H ( r e i θ ) | α d θ ≤ ( 2 1 1 − α + 2 2 1 − α ) 1 − α sec ( α π 2 ) ( n ( R , H ) r ) α
注意到,如果对每个 k , c k 为实数,那么 φ k = arg ( c k ) ∈ [ 0 , π ] , q k = δ k sin ( φ k ) = 0 ,参考引理3的证明,可以得到以下结果。
引理4:假设 { c k } 为有限实数列。对每个 k ,假设 δ k = ± 1 并定义
H ( z ) : = ∑ k δ k z − c k
则对任意满足 0 < α < 1 的 α , 0 < r < R 有
1 2π ∫ 0 2π | H ( r e i θ ) | α d θ ≤ 2 2 − α sec ( α π 2 ) ( n ( R , H ) r ) α
下面的引理是Jensen不等式的推论,证明见Kondratyuk [
引理5:如果在 [ 0 , T ] , u ( t ) ≥ 0 且 I = 1 T ∫ 0 T u ( t ) d t 存在,那么
1 T ∫ 0 T log + u ( t ) d t ≤ max { 1 , log I }
设 s = β r + ( 1 − β ) ρ ,其中 0 < β < 1 。则 ρ − s = β ( ρ − r ) 且 s − r = ( 1 − β ) ) ( ρ − r ) 。将 f ( z ) 在 { z : | z | < s } 内的所有零点、极点分别记为 a 1 , ⋯ , a p 和 b 1 , ⋯ , b q ,计算重数。由Poision-Jensen引理可得
f ′ ( z ) f ( z ) = ∫ 0 2π 2 s e i φ ( s e i φ − z ) 2 log | f ( s e i φ ) | d φ 2 π + ∑ j = 1 p ( a ¯ j s 2 − a ¯ j z + 1 z − a j ) − ∑ j = 1 q ( b ¯ j s 2 − b ¯ j z + 1 z − b j )
对在圆周 | z | = s 上的零点和极点的细节处理,见文 [
对上式取模可得
| f ′ ( z ) f ( z ) | ≤ ∫ 0 2π 2 s | s e i φ − z | 2 | log | f ( s e i φ ) | | d φ 2 π + | ∑ j = 1 p a ¯ j s 2 − a ¯ j z − ∑ j = 1 q b ¯ j s 2 − b ¯ j z | + | ∑ j = 1 p 1 z − a j − ∑ j = 1 q 1 z − b j |
注意到 0 < α < 1 和 d j ,有
( ∑ j d j ) α ≤ ∑ j d j α (2)
故由上述两个不等式可得
| f ′ ( z ) f ( z ) | α ≤ ( ∫ 0 2 π 2 s | s e i φ − z | 2 | logg | f ( s e i φ ) | | d φ 2 π ) α + | ∑ j = 1 p a ¯ j s 2 − a ¯ j z − ∑ j = 1 q b ¯ j s 2 − b ¯ j z | α + | ∑ j = 1 p 1 z − a j − ∑ j = 1 q 1 z − b j | α
记 z = r e i θ 并在上式左右两边分别对 θ 积分,有
∫ 0 2π | f ′ ( r e i θ ) f ( r e i θ ) | α d θ 2π ≤ ∫ 0 2π ( ∫ 0 2π 2 s | s e i φ − r e i θ | 2 | log | f ( s e i φ ) | | d φ 2π ) α d θ 2π + ∫ 0 2π | ∑ j = 1 p 1 r e i θ − a j − ∑ j = 1 q 1 r e i θ − b j | α d θ 2π + ∫ 0 2π | ∑ j = 1 p a ¯ j s 2 − a ¯ j r e i θ − ∑ j = 1 q b ¯ j s 2 − b ¯ j r e i θ | α d θ 2π = : I 1 + I 2 + I 3 (3)
对 I 1 应用HÖlder不等式并改变积分顺序可得
I 1 1 α ≤ ∫ 0 2π ( ∫ 0 2π 2 s | s e i φ − r e i θ | 2 | log | f ( s e i φ ) | | d φ 2π ) d θ 2π = 2 s ∫ 0 2π ( ∫ 0 2π 1 | s e i φ − r e i θ | 2 d θ 2π ) | log | f ( s e i φ ) | | d φ 2π
对常数函数1应用Poisson引理,得到
∫ 0 2π 1 | s e i φ − r e i θ | 2 d θ 2π = 1 s 2 − r 2
注意到 s − r = ( 1 − β ) ( ρ − r ) 且
∫ 0 2π | log | f ( s e i φ ) | | d φ 2π = m ( s , f ) + m ( s , 1 f )
即可进一步得到
I 1 ≤ ( 1 1 − β ) α ( ρ r ( ρ − r ) ) α ( m ( ρ , f ) + m ( ρ , 1 f ) ) α (4)
下面考虑 I 2 。记 ξ 1 j = Re ( a j ) , ξ 2 j = Im ( a j ) , η 1 j = Re ( b j ) , η 2 j = Im ( b j ) ,则有
∑ j = 1 p a ¯ j s 2 − a ¯ j z − ∑ j = 1 q b ¯ j s 2 − b ¯ j z = ( ∑ ξ 1 j > 0 ξ 1 j s 2 − a ¯ j z − ∑ η 1 j < 0 η 1 j s 2 − b ¯ j z ) − ( ∑ ξ 1 j ≤ 0 − ξ 1 j s 2 − a ¯ j z − ∑ η 1 j ≥ 0 − η 1 j s 2 − b ¯ j z ) − i ( ∑ ξ 2 j > 0 ξ 2 j s 2 − a ¯ j z − ∑ η 2 j < 0 η 2 j s 2 − b ¯ j z ) + i ( ∑ ξ 2 j ≤ 0 − ξ 2 j s 2 − a ¯ j z − ∑ η 2 j ≥ 0 − η 2 j s 2 − b ¯ j z ) = : h 1 ( z ) − h 2 ( z ) − i h 3 ( z ) + i h 4 (z)
由(2),可得
I 2 ≤ ∑ j = 1 4 ( ∫ 0 2π | h j ( r e i θ ) | α d θ 2π )
由于 s > r ,故 Re ( s 2 − a ¯ j r e i θ ) > 0 且 Re ( s 2 − b ¯ j r e i θ ) > 0 。因此我们可以应用引理3,得到
I 2 ≤ sec ( α π 2 ) ∑ j = 1 4 | h j ( 0 ) | α ≤ sec ( α π 2 ) s 2 α ∑ k = 1 2 [ ( ∑ ξ k j > 0 | ξ k j | + ∑ η k j < 0 | η k j | ) α + ( ∑ ξ k j ≤ 0 | ξ k j | + ∑ η k j ≥ 0 | η k j | ) α ] ≤ sec ( α π 2 ) s α ∑ k = 1 2 [ ( ∑ ξ k j > 0 1 + ∑ η k j < 0 1 ) α + ( ∑ ξ k j ≤ 0 1 + ∑ η k j ≥ 0 1 ) α ] = sec ( α π 2 ) s α ∑ k = 1 2 ( γ k α + ( 1 − γ k ) α ) ( n ( s , f ) + n ( s , 1 f ) ) α
其中
γ k = ∑ ξ k j > 0 1 + ∑ η k j < 0 1 n ( s , f ) + n ( s , 1 f ) ∈ [ 0 , 1 ]
由引理1,得
I 2 ≤ 2 2 − α sec ( α π 2 ) s α ( n ( s , f ) + n ( s , 1 f ) ) α ≤ 2 2 − α sec ( α π 2 ) ( n ( s , f ) + n ( s , 1 f ) r ) α
由
n ( s , f ) + n ( s , 1 f ) = ρ ρ − s ∫ s ρ d t ρ ( n ( s , f ) + n ( s , 1 f ) ) ≤ ρ ρ − s ∫ s ρ ( n ( t , f ) + n ( t , 1 f ) ) d t t ≤ ρ ρ − s ( N ( ρ , f ) + N ( ρ , 1 f ) ) (5)
和 ρ − s = β ( ρ − r ) ,得到
I 2 ≤ 2 2 − α β α sec ( α π 2 ) ( ρ r ( ρ − r ) ) α ( N ( ρ , f ) + N ( ρ , 1 f ) ) α (6)
类似地,由(5)和引理3可得
I 3 ≤ ( 2 1 1 − α + 2 2 1 − α ) 1 − α sec ( α π 2 ) ( n ( s , f ) + n ( s , 1 f ) r ) α ≤ ( 2 1 1 − α + 2 2 1 − α ) 1 − α β α sec ( α π 2 ) ( ρ r ( ρ − r ) ) α ( N ( ρ , f ) + N ( ρ , 1 f ) ) α (7)
由定理条件 f ( 0 ) = 1 和Nevanlinna第一基本定理,可知 T ( ρ , f ) = T ( ρ , 1 / f ) 。结合(3),(4),(6)和(7),有
∫ 0 2π | f ′ ( r e i θ ) f ( r e i θ ) | α d θ 2 π ≤ I 1 + I 2 + I 3 ≤ ( 1 1 − β ) α ( ρ r ( ρ − r ) ) α ( m ( ρ , f ) + m ( ρ , 1 f ) ) α + 2 2 − α + ( 2 1 1 − α + 2 2 1 − α ) 1 − α β α sec ( α π 2 ) ( ρ r ( ρ − r ) ) α ( N ( ρ , f ) + N ( ρ , 1 f ) ) α = ( T ( ρ , f ) r ρ ρ − r ) α [ C 1 ( α , β ) ( 1 − d ρ ) α + C 2 ( α , β ) d ρ α ]
其中
C 1 ( α , β ) = ( 2 1 − β ) α , C 2 ( α , β ) = 4 + ( 2 1 + α 1 − α + 2 2 + α 1 − α ) 1 − α β α sec ( α π 2 ) , d ρ = N ( ρ , f ) + N ( ρ , 1 f ) 2 T ( ρ , f ) ∈ [ 0 , 1 ]
再次应用引理1,得
∫ 0 2π | f ′ ( r e i θ ) f ( r e i θ ) | α d θ 2π ≤ C ( α , β ) ( T ( ρ , f ) r ρ ρ − r ) α (8)
其中
C ( α , β ) = ( C 1 ( α , β ) 1 1 − α + C 2 ( α , β ) 1 1 − α ) 1 − α
对不等式(8)应用引理5,有
m ( f ′ f ) ≤ log + ( T ( ρ , f ) r ρ ρ − r ) + log C ( α , β ) α
这个不等式的所有的 α , β ∈ ( 0 , 1 ) 成立。经数学软件Lingo运算可知, ( log C ( α , β ) ) / α 的最小值为4.5206,在 α ≈ 0.7813 和 β ≈ 0.9497 处取得。定理1证明完毕。
仿照定理1的证明,可知不等式(4)仍然成立。由于 a j , b j 均为实数,故对 I 2 的估计式中的 ξ 2 j = Im ( a j ) = η 2 j = Im ( b j ) = 0 ,从而 h 3 ( z ) = h 4 ( z ) ≡ 0 。这就给出
I 2 ≤ 2 1 − α β α sec ( α π 2 ) ( ρ r ( ρ − r ) ) α ( N ( ρ , f ) + N ( ρ , 1 f ) ) α (9)
对 I 3 应用引理4,可得
I 3 ≤ 2 2 − α sec ( α π 2 ) ( n ( s , f ) + n ( s , 1 f ) r ) α ≤ 2 2 − α β α sec ( α π 2 ) ( ρ r ( ρ − r ) ) α ( N ( ρ , f ) + N ( ρ , 1 f ) ) α (10)
再次应用引理1,结合(4),(9)和(10),可以推出
m ( f ′ f ) ≤ log + ( T ( ρ , f ) r ρ ρ − r ) + log C ( α , β ) α (11)
其中
C ( α , β ) = ( C 1 ( α , β ) 1 1 − α + C 2 ( α , β ) 1 1 − α ) 1 − α , C 1 ( α , β ) = ( 2 1 − β ) α , C 2 ( α , β ) = 6 β α sec ( α π 2 )
不等式(11)对所有的 α , β ∈ ( 0 , 1 ) 成立。经数学软件Lingo运算可知, ( log C ( α , β ) ) / α 的最小值为3.8018,在 α ≈ 0.7679 , β ≈ 0.9081 处取得。定理2证明完毕。
本论文得到广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目(YQ2015089),广东自然科学基金项目(2015A030313620),广东海洋大学优秀青年教师培养计划项目(2014007,HDYQ2015006),广东海洋大学创新强校工程项目(gdou2016050209,gdou2016050206)的资助。
李 升,陈宝琴. Gol’dberg-Grinshtein型对数导数估计 Gol’dberg-Grinshtein Type Logarithmic Derivative Estimation[J]. 理论数学, 2017, 07(06): 454-460. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.76059