本文研究分数阶Bagley-Torvik方程不确定边值条件下的解。基于Caputo分数阶导数定义和广义的Hukuhara可微性,引进模糊Laplace变换,不确定边界条件为模糊数,给出了问题的级数解。数值结果分析了解的性态。 This paper investigates the problem of the fractional Bagley-Torvik equation with uncertainty boundary-value conditions. Under the Caputo’s H-differentiability, the fuzzy Laplace transform is introduced. The uncertainty boundary-value conditions are assumed to be fuzzy numbers. The se-ries solution of fractional Bagley-Torvik equation is given. Numerical results are shown to illustrate the obtained solution.
刘雪铃,廖珊莉,吴远波,钟献词
广西大学数学与信息科学学院,广西 南宁
收稿日期:2017年12月19日;录用日期:2018年1月17日;发布日期:2018年1月24日
本文研究分数阶Bagley-Torvik方程不确定边值条件下的解。基于Caputo分数阶导数定义和广义的Hukuhara可微性,引进模糊Laplace变换,不确定边界条件为模糊数,给出了问题的级数解。数值结果分析了解的性态。
关键词 :分数阶Bagley-Torvik方程,不确定性,模糊Laplace变换,模糊数,Caputo分数阶微积分
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模糊微分方程的理论近年来引起了人们广泛的关注,这一理论为模拟实际物理、力学、工程中的不确定性问题提供了新的方法,吸引了众多学者研究和探索 [
其次,分数阶微积分是整数阶微积分理论的一般化,其理论与应用研究也吸引了众多学者的兴趣,比如著名的分数阶Bagley-Torvik方程 [
A φ ″ ( x ) + B D β φ ( x ) + C φ ( x ) = f ( x ) , 0 < β < 1 , x ∈ [ 0 , b ] (1)
φ ( 0 ) = α 0 , φ ( b ) = γ 0
这里 A , B , C 是常数, φ ( x ) 是未知的, α 0 , γ 0 是模糊数,分数阶导数定义如下:
D C x β φ ( x ) = 1 Γ ( n − β ) ∫ a x φ n ( s ) ( x − s ) β − n + 1 d s , n − 1 < β < n
Γ ( v ) = ∫ 0 ∞ e − x x v − 1 d x , v > 0
其中 Γ ( v ) 是 Γ 函数。将采用模糊Laplace变换方法给出问题的级数解,并通过数值实例分析解的性态。
下面介绍一些模糊数学和分数阶模糊微积分的一些概念。
定义1: [
1) u 是正规的模糊集,既存在 x 0 ∈ R n 使得 u ( x 0 ) = 1 ;
2) u 是凸函数集,即
u ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) > min { u ( x 1 ) , u ( x 2 ) } , ∀ x 1 , x 2 ∈ R , ∀ λ ∈ [ 0 , 1 ] ;
3) u 是上半连续函数;
4) [ u ] 0 = c l { x ∈ R n | u ( x ) > 0 } 是紧集;
此外,如果 u ∈ E 且 0 ≤ α ≤ 1 ,则 u 的 α 阶截集被定义为:
[ u ] α = { r ∈ R | u ( r ) ≥ α , 0 < α ≤ 1 c l ( s u p p u ) , α = 0
很容易发现 u 的 α 截集是闭集和有界的,为此我们用区间 [ u _ ( α ) , u ¯ ( α ) ] 来表示, u _ ( α ) 即 [ u ] α 的左端点, u ¯ ( α ) 是 [ α ] α 右端点。
定义2: [
u _ ( α ) 单调非降左连续;
u ¯ ( α ) 单调非增连续;
u _ ( α ) ≤ u ¯ ( α ) ;
u _ ( α ) , u ¯ ( α ) 在 r = 0 处连续;
记 [ u ] α = c l { x ∈ R | u ( x ) ≥ α } ( 0 < α ≤ 1 ) ,
u _ ( α ) = min [ u ] α , u ¯ ( α ) = max [ u ] α , α ∈ [ 0 , 1 ] ,
则 u _ ( α ) 和 u ¯ ( α ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续。
基于Zadeh扩张原理的和、差及乘运算将分别记为 ⊕ , ⊖ , ⊗ 。则有:
u ⊕ v = ( u _ + v _ , u ¯ + v ¯ )
u ⊖ v = ( u _ − v ¯ , u ¯ − v _ )
k ⊗ u = { ( k u _ , k u ¯ ) , k ≥ 0 ( k u ¯ , k u _ ) , k < 0
定义3: [
lim h → 0 f ( x 0 + h ) ⊖ f ( x 0 ) h = lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 − h ) h = f ′ ( x 0 ) (2)
或
lim h → 0 f ( x 0 + h ) ⊖ f ( x 0 ) h = lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 − h ) − h = f ′ ( x 0 ) (3)
或
lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 + h ) − h = lim h → 0 f ( x 0 − h ) ⊖ f ( x 0 ) − h = f ′ ( x 0 ) (4)
或
lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 + h ) − h = lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 − h ) h = f ′ ( x 0 ) (5)
定理1: [
∫ a ∞ f ( x ) d x = ( ∫ a ∞ f _ ( x , α ) d x , ∫ a ∞ f ¯ ( x , α ) d x ) (6)
注释:如果 f ( t ) = ( f _ ( t , α ) , f ¯ ( t , α ) ) , f _ ( t , α ) 和 f ¯ ( t , α ) 都可微,则有:
f ′ ( t ) = ( f _ ( t , α ) , f ¯ ( t , α ) ) ,
f ′ ( t ) = ( f ¯ ( t , α ) , f _ ( t , α ) ) ,
分别称为情况(i)和情况(ii)。
定理2:(模糊卷积定理)假设函数 f ( t ) 和 g ( t ) 是定义在 [ 0 , ∞ ) 上的分段连续函数,并且带有模糊边值,则
L { f ( t ) ∗ g ( t ) } = L { g ( t ) ∗ f ( t ) } = L { f ( t ) } ⋅ L { g ( t ) } (7)
注意到函数的经典模糊Laplace变换表示为:
F ^ ( P ; α ) = L { f ( t ; α ) } = [ L ( f _ ( t ; α ) ) , L ( f ¯ ( t ; α ) ) ] (8)
L { f _ ( t ; α ) } = ∫ 0 ∞ e − p t ⊙ f _ ( t ; α ) d t = ∫ 0 ∞ e − p t ⊙ f _ ( t ; α ) d t ; (9)
L { f ¯ ( t ; α ) } = ∫ 0 ∞ e − p t ⊙ f ¯ ( t ; α ) d t = ∫ 0 ∞ e − p t ⊙ f ¯ ( t ; α ) d t ; (10)
定理3: [
当 f 是第(i)种的情况时有:
( D c a + β f ) ( x ; α ) = [ D c a + β f _ ( x ; α ) , D c a + β f ¯ ( x ; α ) ] ;
当 f 是第(ii)种的情况时有:
( D c a + β f ) ( x ; α ) = [ D c a + β f ¯ ( x ; α ) , D c a + β f _ ( x ; α ) ] ;
这里有:
D c a + β f _ ( t ; α ) = 1 Γ ( m − β ) ∫ 0 x f _ m ( τ ) ( x − τ ) β + 1 − m d τ , m − 1 < α < m , m ∈ N ,
D c a + β f ¯ ( t ; α ) = 1 Γ ( m − β ) ∫ 0 x f ¯ m ( τ ) ( x − τ ) β + 1 − m d τ , m − 1 < α < m , m ∈ N ,
定理4: [
当 f 和 f ′ 都是第(i)种情况:
L [ f ″ ( x ) ] = s 2 L [ f ( x ) ] ⊖ s f ( 0 ) ⊖ f ′ ( 0 ) , (11)
当 f 是第(i)种情况, f ′ 是第(ii)种情况:
L [ f ″ ( x ) ] = − f ′ ( 0 ) ⊖ ( − s 2 ) L [ f ( x ) ] − s f ( 0 ) , (12)
当 f 和 f ′ 都是第(ii)种情况:
L [ f ″ ( x ) ] = s 2 L [ f ( x ) ] ⊖ s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) , (13)
当 f 是第(ii)种情况, f ′ 是第(i)种情况:
L [ f ″ ( x ) ] = − s f ( 0 ) ⊖ ( − s 2 ) L [ f ( x ) ] ⊖ f ′ ( 0 ) (14)
这里我们假设 φ ( x ) ∈ C [ 0 , b ] , f ( x ) ∈ C [ 0 , b ] , A , B , C 均为常数, α 0 , γ 0 均为模糊数。
由Laplace变换作用(1)式等价为
A { s 2 L [ φ ( x ) ] − s φ ( 0 ) − φ ′ ( 0 ) } + B { s β L [ φ ( x ) ] − s β − 1 φ ( 0 ) } + C L [ φ ( x ) ] = L [ f ( x ) ] (15)
根据(15)式可以得到
φ _ ( x ) = L − 1 [ L [ f ( x ) ] + A s φ _ ( 0 ) + A φ ′ _ ( 0 ) + B s β − 1 φ _ ( 0 ) A s 2 + B s β + C ]
φ ¯ ( x ) = L − 1 [ L [ f ( x ) ] + A s φ ¯ ( 0 ) + A φ ¯ ′ ( 0 ) + B s β − 1 φ ¯ ( 0 ) A s 2 + B s β + C ]
根据模糊的Laplace变换的卷积定理,上式可以得到
φ _ ( x ) = ( f ( x ) + A φ ′ _ ( 0 ) ) { 1 A ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 ( k + 1 ) − 1 E 2 − β , 2 + β k k ( − B A t 2 − β ) } + φ _ ( 0 ) { ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 k E 2 − β , 1 + β k k ( − B A t 2 − β ) } + B φ _ ( 0 ) { 1 A ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t ( 2 − 2 β k ) + 2 + β E 2 − β , 3 − β ( k − 1 ) k ( − B A t 2 − β ) } (16)
φ ¯ ( x ) = ( f ( x ) + A φ ¯ ′ ( 0 ) ) { 1 A ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 ( k + 1 ) − 1 E 2 − β , 2 + β k k ( − B A t 2 − β ) } + φ ¯ ( 0 ) { ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 k E 2 − β , 1 + β k k ( − B A t 2 − β ) } + B φ ¯ ( 0 ) { 1 A ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t ( 2 − 2 β k ) + 2 + β E 2 − β , 3 − β ( k − 1 ) k ( − B A t 2 − β ) } (17)
根据(1)式中的边值条件和方程(16),(17)我们可以得到未知的 φ ′ _ ( 0 ) , φ ¯ ′ ( 0 ) 表示为:
φ ′ _ ( 0 ) = γ 0 _ − f ( b ) { 1 A ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 ( k + 1 ) − 1 E 2 − β , 2 + β k k ( − B A t 2 − β ) } ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 ( k + 1 ) − 1 E 2 − β , 2 + β k k ( − B A t 2 − β ) − α _ 0 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k { t 2 k E 2 − β , 1 + β k k ( − B A t 2 − β ) + B t ( 2 − 2 β k ) + 2 + β E 2 − β , 3 − β ( k − 1 ) k ( − B A t 2 − β ) } ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 ( k + 1 ) E 2 − β , 2 + β k k ( − B A t 2 − β )
φ ¯ ′ ( 0 ) = γ 0 ¯ − f ( b ) { 1 A ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 ( k + 1 ) − 1 E 2 − β , 2 + β k k ( − B A t 2 − β ) } ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 ( k + 1 ) − 1 E 2 − β , 2 + β k k ( − B A t 2 − β ) − α ¯ 0 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k { t 2 k E 2 − β , 1 + β k k ( − B A t 2 − β ) + B t ( 2 − 2 β k ) + 2 + β E 2 − β , 3 − β ( k − 1 ) k ( − B A t 2 − β ) } ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( C A ) k t 2 ( k + 1 ) E 2 − β , 2 + β k k ( − B A t 2 − β )
这里有
E λ , μ k ( y ) = d k d y k E λ , μ ( y ) = ∑ j = 0 ∞ ( j + k ) ! y j j ! Γ ( λ j + λ k + μ ) , ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ )
( m k ) = m ( m − 1 ) ⋯ ( m − k + 1 ) k !
从而得到了Bagley-Torvik方程模糊边值问题的级数解。
例1:考虑以下Bagley-Torvik方程的两点模糊边值问题:
{ φ ″ ( x ) + 3 D 1 2 φ ( x ) + 2 φ ( x ) = 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] φ ( 0 ) = ( α − 1 , 1 − α ) , φ ( 1 ) = ( α − 0.5 , 1 − α )
根据公式(16),(17)我们可以得到以下数值解。选择部分参数值进行计算,如当 k = j = m = 8 ,并 φ , φ ′ 均为第(i)种情况,我们得到表1。当 k = j = m = 8 ,并且 φ 为第(i)种情况, φ ′ 为第(ii)种情况我们得到表2。
通过表1和表2的数值结果进行分析,可以发现表1中的数值结果稳定,符合实际情形。而当 φ 为第(i)种情况, φ ′ 为第(ii)种情况时,所得表2中的数值结果不收敛,故此种情况不成立。同样的,当 φ 和 φ ′ 都是第(ii)种情况时,所得结果和表1中的数值结果的区间左右端点刚好互换;当 φ 为第(ii)种情况, φ ′
t | α = 0 | α = 0.4 | α = 0.8 |
---|---|---|---|
0.10 | [−1.1897, 1.3876] | [−0.7138, 0.8326] | [−0.2381, 0.2775] |
020 | [−1.2985, 1.6703] | [−0.7791, 1.0022] | [−0.2597, 0.3341] |
0.30 | [−1.3376, 1.8493] | [−0.8026, 1.1096] | [−0.2675, 0.3699] |
0.40 | [−1.3152, 1.9283] | [−0.7892, 1.1570] | [−0.2630, 0.3857] |
0.50 | [−1.2415, 1.9160] | [−0.7449, 1.1496] | [−0.2483, 0.3832] |
0.60 | [−1.1277, 1.8253] | [−0.6766, 1.0952] | [−0.2255, 0.3651] |
0.70 | [−0.9854, 1.6715] | [−0.5913, 1.0029] | [−0.1971, 0.3343] |
0.80 | [−0.8264, 1.4714] | [−0.4959, 0.8828] | [−0.1651, 0.2943] |
0.90 | [−0.6614, 1.2422] | [−0.3969, 0.7453] | [−0.1323, 0.2484] |
表1. Bagley-Torvik模糊边值问题的数值解
t | α = 0 | α = 0.4 | α = 0.8 |
---|---|---|---|
0.10 | [−1.7573, −0.2621] | [−1.0544,−0.157] | [−0.3515, −0.0524] |
020 | [−2.6417, 0.5487] | [−1.5850, 0.3292] | [−−0.5283, 0.1097] |
0.30 | [−3.7601, 1.5004] | [−2.2561, 0.9002] | [−0.7520, 0.3001] |
0.40 | [−5.2951, 2.7006] | [−3.1771, 1.6204] | [−1.0590, 0.5401] |
0.50 | [−7.6015, 4.3482] | [−4.5609, 2.6089] | [−1.5203, 0.8696] |
0.60 | [−11.4461, 6.8437] | [−6.8676, 4.1062] | [−2.2892, 1.3687] |
0.70 | [−18.7242,11.0797] | [−11.234, 6.6474] | [−3.7451, 2.2158] |
0.80 | [−34.9804,19.3231] | [−20.988, 11.5947] | [−6.9963, 3.8653] |
0.90 | [−80.3696,38.3823] | [−48.2213,23.0291] | [−16.074, 7.6764] |
表2. Bagley-Torvik模糊边值问题的数值解
为第(i)种情况时,所得结果和表2的数值结果的区间左右端点刚好互换。故其他另外两种情况也得出结果不符合逻辑。因此,只有第一种情形是问题的解。
本文采用模糊Laplace变换求解了分数阶Bagley-Torvik方程模糊边值条件下的解。结果表明,相同的问题可能给出不同的结果,而这些结果需要根据实际情形从理论上进行研究和分析。
广西自然科学基金(2016GXNSFAA380261),广西研究生教育创新计划项目(No. YCSW2017048)。
刘雪铃,廖珊莉,吴远波,钟献词. 不确定分数阶Bagley-Torvik方程的解Solving the Fractional Bagley-Torvik Equations with Uncertainty[J]. 应用数学进展, 2018, 07(01): 39-46. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.71006