本文首先证明了非负Hamilton矩阵可逆的充分必要条件。其次研究了一类Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的问题,并给出了特征值的代数指标为1的充分条件。 In this paper, the sufficient and necessary conditions of nonnegative Hamilton matrix are proved. Secondly, the problem of when the algebraic index of the eigenvalue of a class of Hamilton matrix is one is studied and the sufficient conditions are given.
吴永霞*,吴德玉*,王媋瑗,董瑞婷,沈易,向民
内蒙古大学,数学科学学院,内蒙古 呼和浩特
收稿日期:2018年2月22日;录用日期:2018年3月7日;发布日期:2018年3月14日
本文首先证明了非负Hamilton矩阵可逆的充分必要条件。其次研究了一类Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的问题,并给出了特征值的代数指标为1的充分条件。
关键词 :Hamilton矩阵,特征值,特征向量,代数指标
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英国数学家W. R. Hamilton根据光学与力学之间的深刻联系,对经典力学进行了创造性的研究得到了与Newton力学、Lagrange力学等价的又一种力学表述——Hamilton力学。Hamilton力学以其严谨、对称的数学框架成为经典力学史上的美妙理论,并最终成为量子力学等许多学科的理论基础。量子力学创始人薛定谔曾说“Hamilton原理已成为现代物理的基石,如果想要用现代理论解决任何物理问题,首先得把它表示成Hamilton形式” [
H = [ A B C − A ∗ ] ,
其中 B , C 是Hermite矩阵, A * 是
据我们所知,矩阵特征值的代数重数与几何重数在研究矩阵若当标准型、对角化以及在可修复系统,向量型Sturm-Liouville问题,迁移理论等领域也具有重要应用。一般情况下,矩阵的代数重数与几何重数不一定相等。但是,当特征值的代数指标为1的时候,代数重数与几何重数相等,此时不存在广义特征向量。因此本文研究了Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的问题,给出了Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的一些充分条件。
为了证明主要结论首先给出下列定义及引理。
定义1:设 D ∈ C n × n 为Hermite矩阵,如果对任意的 0 ≠ x ∈ C n 都有
x * D x > 0 ( x * D x ≥ 0 ) ,
则称 D 为Hermite正定矩阵(半正定矩阵) [
定义2:分块矩阵 H = [ A B C − A * ] ,则其中 B , C 是Hermite矩阵, A * 是 A 的共轭转置,此时称 H 为Hamilton矩阵。如果
定义3:设 λ ∈ C ,使得
N K ( D , λ ) = N K + 1 ( D , λ ) ,
成立的最小的非负整数 K 称为 λ 的代数指标,记为 P λ ( D ) ,其中
N K ( D , λ ) = { u | ( D − λ I ) K u = 0 } .
引理1:设 D 是复数域上的 C n × n 的矩阵,如果对任意的 u ∈ N ( D , λ ) 存在 v ∈ N K ( D * , λ ¯ ) 使得
证明:假定 P λ ( D ) = K + 1 ,则存在 u 0 ∈ N K + 1 ( D , λ ) 使得
( D − λ I ) K + 1 u 0 = 0 , ( D − λ I ) K u 0 ≠ 0 ,
即 ( D − λ I ) K u 0 ∈ N ( D , λ I ) 。根据给定条件,存在 v ∈ N K ( D * , λ ¯ ) 使得
v * ( D − λ I ) K u 0 ≠ 0 ,
两边取共轭转置得
u 0 ∗ ( D * − λ ¯ I ) K v ≠ 0 ,
这与 v ∈ N K ( D * , λ ¯ ) 矛盾。从而 P λ ( D ) ≤ K 。
引理2: D ∈ C n × n 是Hermite半正定矩阵,如果存在向量 x 0 使得 x 0 * D x 0 = 0 ,则 D x 0 = 0 。
证明:
x 0 * D x 0 = x 0 * P * P x 0 = ( P x 0 ) * P x 0 = 0 ,
故
P x 0 = 0 ,
两边同乘矩阵 P * 得
P * P x 0 = D x 0 = 0.
定理1:设 H = [ A B C − A * ] ∈ C 2 n × 2 n 是非负Hamilton矩阵,则 H 可逆当且仅当
N ( A ) ∩ N ( C ) = { 0 }
且 N ( A * ) ∩ N ( B ) = { 0 } 。
证明:必要性。当 H 可逆时,假设 N ( A ) ∩ N ( C ) ≠ { 0 } ,则存在 x 0 ∈ N ( A ) ∩ N ( B ) 使得
A x 0 = 0 , C x 0 = 0.
令 u = [ x 0 0 ] T ,则有
[ A B C − A * ] [ x 0 0 ] = [ A x 0 C x 0 ] = 0.
这与 H 可逆矛盾,假设不成立。
同理可证 N ( A * ) ∩ N ( B ) ≠ { 0 } 时与条件矛盾。由此可得 H 可逆时
N ( A ) ∩ N ( C ) = { 0 } 且 N ( A * ) ∩ N ( B ) = { 0 } .
充分性。假设矩阵 H 不可逆,则存在 u = [ x 0 y 0 ] T ≠ 0 ,使得
A x 0 + B y 0 = 0 , C x 0 − A * y 0 = 0. (3.1.1)
第一式两边与 y 0 作内积, x 0 与第二式两边作内积后两式相加得
x 0 ∗ C x 0 + y 0 ∗ B y 0 = 0 ,
由于 B , C 是Hermite半正定矩阵,从而
x 0 ∗ C x 0 = 0 , y 0 ∗ B y 0 = 0 ,
由引理2可知
C x 0 = 0 , B y 0 = 0 ,
进而代入式(3.1.1)得
A x 0 = 0 , − A * y 0 = 0.
则得出
C x 0 = 0 , A x 0 = 0
这与条件矛盾。结论证毕。
定理2:设 H = [ A B C − A * ] ∈ C 2 n × 2 n Hamilton矩阵,如果 B 是Hermite正定矩阵且 B − 1 A 是Hermite矩阵,则对任意 0 ≠ λ ∈ σ ( H ) 有 P λ ( H ) = 1 。其中 σ ( H ) 表示 H 的特征值集合。
证明:对任意 u = [ x y ] T ∈ N ( H , λ ) ,考虑到
A x + B y = λ x , C x − A * y = λ y ,
以及 B 是Hermite正定矩阵,有
λ 2 ( x * B − 1 x ) + λ ( x * A * B − 1 x ) − λ ( x * B − 1 A x ) − ( x * C x ) − ( x * A * B − 1 A x ) = 0.
由于 ( x * B − 1 A x ) ∈ R ,于是
λ ( x * A * B − 1 x ) − λ ( x * B − 1 A x ) = 0 ,
且 σ ( H ) ⊂ R ∪ i R 。
当 σ ( H ) ⊂ R 时,取 v = [ − λ B − 1 x − B − 1 A x − x ] ,则
( H * − λ ¯ ) v = ( H * − λ ) v = J ( H + λ ) J v = 0 ,
其中 J 表示辛矩阵 J = [ 0 I n − I n 0 ] , I n 是单位矩阵。此时有
v u * = ( [ x λ B − 1 x − B − 1 A x ] , [ − λ B − 1 x − B − 1 A x − x ] ) = − 2 λ ( x * B − 1 x ) ≠ 0 ,
由引理1可知, P λ ( H ) = 1 。
当 λ ∈ i R 时,取 v = [ − λ B − 1 x + B − 1 A x x ] ,则
( H * − λ ¯ ) v = ( H * + λ ) v = J ( H − λ ) J v = 0 ,
并且
v * u = ( [ x λ B − 1 x − B − 1 A x ] , [ − λ B − 1 x + B − 1 A x x ] ) = 2 λ ( x * B − 1 x ) ≠ 0 ,
由引理1可知, P λ ( H ) = 1 。结论证毕。
注:若把定理2的条件改成 C 是Hermite正定矩阵且 C − 1 A * 是Hermite矩阵,则同理可证定理2的结论仍成立。
定理2的条件是对 0 ≠ λ ∈ σ ( H ) 来说的,而 0 = λ ∈ σ ( H ) 时定理2的结论不一定成立。下面给出具体例子说明这一点。
例1:令 H = [ A B C − A * ] = [ 0 I n 0 0 ] 是Hamilton矩阵,则 B 是Hermite正定矩阵且 B − 1 A 是Hermite矩阵,满足定理2的条件。然而,经计算易得
λ 1 = λ 2 = 0
并且
H 2 = [ 0 I n 0 0 ] [ 0 I n 0 0 ] = [ 0 0 0 0 ]
取 u = [ 0 x ] T ≠ 0 ,其中 x 是 n 维非零向量,则
H u = [ x 0 ] T ≠ 0 ,
但
H 2 u = 0.
从而得矩阵 H 的 λ = 0 的代数指标为2。
那么,当 λ = 0 是Hamilton矩阵 H 的特征值时,代数指标何时为1呢?下面的定理将回答这个问题。
定理3:设 H = [ A B C − A * ] ∈ C 2 n × 2 n Hamilton矩阵,如果 B 是可逆矩阵且Hermite矩阵 i ( B − 1 A − A * B − 1 ) 或 − i ( B − 1 A − A * B − 1 ) 为正定矩阵时,当 λ = 0 是Hamilton矩阵
证明:对任意 u = [ x y ] T ∈ N ( H ) ,有
A x + B y = 0 , C x − A * y = 0 ,
得
u = [ x − B − 1 A x ] T ,
从而
J u = [ 0 I n − I n 0 ] [ x − B − 1 A x ] = [ − B − 1 A x − x ] T ∈ N ( H * ) ,
并且
( J u ) * u = ( [ x − B − 1 A x ] , [ − B − 1 A x − x ] ) = x * ( B − 1 A − A * B − 1 ) x ≠ 0 ,
由引理1可知, P λ ( H ) = 1 。结论证毕。
注:若把定理3的条件改成 C 是可逆矩阵且 i ( B − 1 A − A * B − 1 ) 或 − i ( B − 1 A − A * B − 1 ) 为正定矩阵,则同理可证定理3的结论仍成立。
内蒙古大学创新创业基金项目(批准号:201711204),国家自然科学基金(批准号:11561048)。
吴永霞,吴德玉,王媋瑗,董瑞婷,沈 易,向 民. 一类Hamilton矩阵特征值的代数指标Algebraic Index of Eigenvalue of a Class of Hamilton Matrix[J]. 应用数学进展, 2018, 07(03): 243-248. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.73030