讨论具有学习效应和退化效应且工件的加工时间依赖于资源分配的单机排序问题。在凸资源消费函数条件下研究目标函数,所有工件有一个公共工期窗口,工件的实际加工时间依赖于分配给工件的任务量以及不可再生资源数量,同时依赖于工件的开始加工时间,分别考虑了三种情况,第一种是使带有提前,延误,公共工期开始时间,工期窗口大小,资源成本费用,最大完工时间以及总完工时间和最小的问题;第二种是资源费用受限的情况下,极小化带有提前,延误,公共工期开始时间,工期窗口大小,资源成本费用,最大完工时间以及总完工时间和问题。第三种是在带有提前,延误等总费用受限的情况下,极小化总资源量。将上述三种问题转化为匹配问题,并证明其是多项式时间可解的,分别给出三个最优算法。 We consider a single machine scheduling problem with learning effect and deterioration effect. The actual processing time of a job is a convex function of the resource amount allocated to it. All jobs have a common due-window. The actual processing time of each job is a convex function dependent on the workload of the job, its starting time and its allocation of non-renewable resource. We consider three models. For the first we aim to minimize the weighted costs of earliness, tardiness, the starting time of the common due-window, the size of the due-window, the makespan and the total completion time. For the second, we constrain the total resource amount to minimize the weighted costs of earliness, tardiness, the starting time of the common due-window, the size of the due-window, the makespan and the total completion time. For the third, we are subject to the constraint that the total cost with early and tardy cost is less than or equal to a fixed amount to minimize the total resource. We show that the problems are polynomial solvable by transforming them into matching problems. Three optimal algorithms are given.
李 石,罗成新
沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁 沈阳
收稿日期:2018年4月12日;录用日期:2018年4月21日;发布日期:2018年4月28日
摘 要
讨论具有学习效应和退化效应且工件的加工时间依赖于资源分配的单机排序问题。在凸资源消费函数条件下研究目标函数,所有工件有一个公共工期窗口,工件的实际加工时间依赖于分配给工件的任务量以及不可再生资源数量,同时依赖于工件的开始加工时间,分别考虑了三种情况,第一种是使带有提前,延误,公共工期开始时间,工期窗口大小,资源成本费用,最大完工时间以及总完工时间和最小的问题;第二种是资源费用受限的情况下,极小化带有提前,延误,公共工期开始时间,工期窗口大小,资源成本费用,最大完工时间以及总完工时间和问题。第三种是在带有提前,延误等总费用受限的情况下,极小化总资源量。将上述三种问题转化为匹配问题,并证明其是多项式时间可解的,分别给出三个最优算法。
关键词 :排序,资源分配,退化效应,学习效应,匹配问题,工期窗口
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在经典排序问题中一个公认的假设是工件的加工时间不受其他因素影响,即为一个恒定的常值,但在实际生产过程中,会经常遇到工件的实际加工时间可变的情况。影响工件的实际加工时间因素多种多样,如因机器老化而造成的退化效应或因工人反复操作提高技术而产生的学习效应,或资源分配等情况。Biskup [
题,且工件
近年来带有工期窗口和资源分配的单机排序问题逐步进入了人们的视野。文献 [
考虑如下的问题:n个独立且在零时刻到达的工件
其中
对于给定排序
问题1:目标是求出最优资源分配
其中
问题2:目标是在资源消耗总费用不大于常数
问题3:目标是在
使用文献 [
首先在最优排序下,首个工件在0时刻开始加工,工件之间无空闲时间。
引理1:对于排序
引理2:对于任何给定排序
证明
工件
工件
工期窗口开始时间费用为
工期窗口大小费用为
最大完工时间费用为
完工总时间费用为
因此,总费用可以表示为
其中,
1) 如果
2) 如果
3) 如果
4) 如果
故我们得到结论:存在一个最优排序,工期窗口的开始时间d和结束时间ω与某些工件的完工时间一致。引理2证毕。
引理3:存在一个最优排序,工期窗口的开始时间
证明:详细证明见文献 [
问题1对于公共工期排序问题,显然,k是独立于排序π与实际加工时间
其中
且
引理4:问题(1)中对于给定的工件排序
引理5:参考文献 [
将等式(9)代入到等式(6)中,得到
其中
算法1
第一步 根据引理2,计算出k与q的值;
第二步 对于
第三步 根据引理5得到,最优排序
第四步 根据等式(9)计算出最优资源分配
第五步 应用等式(5)计算出最优排序中每个工件的加工时间;
第六步 令
第七步 通过等式(10)计算
定理1:对于问题1):可以通过求解匹配问题在
证明:定理结论的正确性由上述分析保证。第一、二、四、五、六步可以在线性时间内完成,
第三步需要
问题2):在本部分中,求出问题(2)的最优解
引理6:问题2)对于给定排序
证明:对于给定排序,拉格朗日函数为
其中λ为拉格朗日乘子。分别对
利用(12)和(13)得到
由(14)和(15)我们得到(11)。证毕。
将等式(11)带入到目标函数中,得到
根据上述分析以及引理2-5,得到问题(2)的一个算法。
算法2
第一步 根据引理2,计算出k与q的值;
第二步 对于
第三步 由引理5得,最优排序
第四步 根据等式(9)计算出最优资源分配
第五步 应用等式(5)计算出最优排序中每个工件的加工时间;
第六步 令
第七步 通过等式(16)计算
定理2:对于问题(2)可以通过求解匹配问题在
证明:类似于定理1证明,从略。
问题(3) 在这个部分里,求出问题(3)的最优解。首先,与引理6类似,有
引理7:问题(3)对于给定排序
将式(17)代入
根据上述分析以及引理2-5,得到问题(3)的一个算法。
算法3
第一步 根据引理2,计算出k与q的值;
第二步 对于
第三步 根据引理5得,最优排序
第四步 根据等式(17)计算出最优资源分配
第五步 应用等式(5)计算出最优排序中每个工件的加工时间;
第六步 令
第七步 通过等式(18)计算
定理3:对于问题(3)可以通过求解匹配问题在
证明:类似于定理1证明,从略。
本文研究的是具有学习效应和退化效应且加工时间是关于资源的凸函数并且带有公共工期窗口的问题。本文列举了三种问题,第一种是使带有提前,延误,公共工期开始时间,工期窗口大小,资源成本费用,最大完工时间以及总完工时间和最小的问题;第二种是资源费用受限的情况下,极小化带有提前,延误,公共工期开始时间,工期窗口大小,资源成本费用,最大完工时间以及总完工时间和问题。第三种是在带有提前,延误等总费用受限的情况下,极小化总资源量。我们分别给出了目标函数求得最小值的最优算法,并证明问题是多项式时间可解的,并确定最优排序及最优资源分配,将问题转化为匹配问题证明问题在多项式时间內可解,并给出了相应的多项式时间算法。
国家自然科学基金资助项目(11171050)。
李 石,罗成新. 带有工期窗口和凸资源分配的单机排序问题 Single-Machine Scheduling with Due-Window Assignment and Convex Resource Allocation[J]. 应用数学进展, 2018, 07(04): 446-455. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.74055