运用有限p-群的有关知识,给出了两个判定广义四元数2-群的充要条件,进而得到结论:设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p-阶子群。 This article uses the theory of the finite p-group, giving out two sufficiency and necessity conditions for the generalized quaternion 2-groups, thus obtaining the following conclusion: let G be a finite p-group. Then every abelian subgroup of G is cyclic if and only if G has only one subgroup of order p.
陈彦恒*,贾松芳
重庆三峡学院,数学与统计学院,重庆
收稿日期:2018年5月4日;录用日期:2018年5月17日;发布日期:2018年5月25日
运用有限p-群的有关知识,给出了两个判定广义四元数2-群的充要条件,进而得到结论:设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p-阶子群。
关键词 :有限p-群,广义四元数2-群,充要条件
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本文中G表示有限群。若G为p-群, s k ( G ) 表示G的 p k 阶子群的个数,从而 s 1 ( G ) 表示G的p阶子群的个数。本文的其他数学符号都是标准的,如果有需要可参考文献 [
众所周知,广义四元数2-群 Q 2 n ,
Q 2 n = 〈 a , b | a 2 n − 1 = 1 , b 2 = a 2 n − 2 , b − 1 a b = a − 1 〉 , n ≥ 3 ,
是四元数群 Q 8
Q 8 = 〈 a , b | a 4 = 1 , b 2 = a 2 , b − 1 a b = a − 1 〉
在有限p-群上的推广。 Q 2 n 是一类十分重要的有限p-群,具有很多优良的性质。例如,
1) Q 2 n 是一类具有极大循环的子群的有限p-群;
2) Q 2 n 是一类最大类有限p-群;
3) Q 2 n 是一类仅有一个2阶元的有限p-群等等。本文讨论了广义四元数2-群另两个性质:
4) Q 2 n 的每一个交换子群都循环;
5) Q 2 n 仅有一个2阶子群,
从而得到两个判定广义四元数2-群的充要条件,进而也得到如下有趣结论:
设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环的充要条件是G仅有一个p阶子群。
为了方便主要定理的证明,下面引入几个引理。
引理1:设G是一个p-群,且G的每个交换正规子群皆循环。
1) 若 p > 2 ,则G本身是循环群;
2) 若 p = 2 ,则G有极大循环子群。
证明:可参考文献 [
引理2:设 | G | = p n ,G有 p n − 1 阶循环子群 〈 a 〉 。则G只有以下七种不同构的类型:
I) p n 阶循环群: G = 〈 a | a p n = 1 〉 , n ≥ 1 。
II) ( p n − 1 , p ) 型交换群: G = 〈 a , b | a p n − 1 = b p = 1 , a b = b a 〉 , n ≥ 1 。
III) G = 〈 a , b | a p n − 1 = b p = 1 , b − 1 a b = a 1 + p n − 2 〉 , p ≠ 2 , n ≥ 3 。
IV) 广义四元数2-群:
G = 〈 a , b | a 2 n − 1 = 1 , b 2 = a 2 n − 2 , b − 1 a b = a − 1 〉 , p = 2 , n ≥ 3 .
V) 二面体2-群:
G = 〈 a , b | a 2 n − 1 = b 2 = 1 , b − 1 a b = a − 1 〉 , p = 2 , n ≥ 3 .
VI) 半广义四元数2-群:
G = 〈 a , b | a 2 n − 1 = b 2 = 1 , b − 1 a b = a 1 + 2 n − 2 〉 , p = 2 , n ≥ 4 .
VII) G = 〈 a , b | a 2 n − 1 = b 2 = 1 , b − 1 a b = a − 1 + 2 n − 2 〉 , p = 2 , n ≥ 4 。
证明:可参考文献 [
引理3:设 | G | = p n 。若 s 1 ( G ) = 1 ,则G是循环群或广义四元数2-群。
证明:可参考文献 [
引理4:若G是一个广义四元数2-群,则G的每个交换子群皆是循环群。
证明:设G是 2 n − 1 ( n ≥ 3 ) 阶的广义四元数2-群。由参考文献 [
i) G的2阶和 2 2 阶子群都是循环的;
ii) G的 2 k 阶子群除一个循环群外,其余都是广义四元数2-群类型的群,其中 k = 3 , ⋯ , n − 1 。
因此广义四元数2-群的循环子群就是它的全部交换子群,即证。
定理1:设G是一个非循环p-群。则下列三个条件等价。
1) G是一个广义四元数2-群;
2) G的每个交换子群皆循环;
3) G仅有一个p阶子群。
证明:首先证明(1)和(2)等价。由引理4知,(1) Þ (2)显然成立。下证(2) Þ (1)。
由于G的每个交换子群皆循环,所以G的每个交换正规子群也皆循环。因而由引理1知,G要么为循环群,要么为具有循环极大子群的2-群。既然G不循环,从而G是有循环极大子群的2-群。因此G可能为引理2中七类群中 ( 2 n − 1 , 2 ) 型交换群(II)、广义四元数2-群(VI)、二面体2-群(V)、半广义四元数2-群(VI)和(VII)类型群。但由文献 [
其次证明(1)和(3)等价。
(1) Þ (3)。设G是一个广义四元数2-群 Q 2 n 。则 Q 2 n 仅有一个2阶元 〈 a 2 n − 1 〉 ,从而G仅有一个2-阶子群。
(3) Þ (1)。既然G仅有一个p阶子群,即 s 1 ( G ) = 1 。由引理3知,G要么为循环群,要么为广义四元数2-群。又由G不循环,G仅能为广义四元数2-群。
因此在命题假设下,(1),(2),(3)条是等价的,即证。
从定理1中,我们很容易得到一个有趣的推论。
推论:设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p阶子群。
证明:对于G循环的情形是显然的;对于G不循环的情形可由定理1得到,即证。
该文由重庆市教委科研项目(KJ1710254),重庆三峡学院重点项目(14ZD16)资助。
陈彦恒,贾松芳. 关于广义四元数2-群的一个注记A Note on Generalized Quaternion 2-Group[J]. 理论数学, 2018, 08(03): 265-268. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83034