根据四维速度与四维力的正交性,推导出了四维空间中库仑力的相对论表达式,由此推导出了相对论Lorentz力,并详细讨论它与Maxwell方程组的关系;本文指出这些推导形成了一种分析Maxwell方程组的新方法。在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。 According to the orthogonality of 4-vector velocity and 4-vector force, the Coulomb force between two charged particles is expressed in terms of relativistic 4-vectors, from which the relativistic Lorentz force is derived, and Maxwell equations are discussed in detail; it was pointed out that these derivations form a new method for analyzing the Maxwell equations. In the teaching of elec-tromagnetics and electrodynamics, the orthogonality of 4-vector velocity and 4-vector force pro-vides useful insights into the relationship of the relativity and the Maxwell equations.
崔怀洋
北京航空航天大学物理系,北京
收稿日期:2018年5月3日;录用日期:2018年5月21日;发布日期:2018年5月28日
根据四维速度与四维力的正交性,推导出了四维空间中库仑力的相对论表达式,由此推导出了相对论Lorentz力,并详细讨论它与Maxwell方程组的关系;本文指出这些推导形成了一种分析Maxwell方程组的新方法。在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。
关键词 :四维力,正交性,Lorentz力
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在相对论中,一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f之间具有正交性 [
f μ u μ = 0 (1)
这里下标 μ = 1 , 2 , 3 , 4 ,重复的下标代表求和(爱因斯坦求和约定)。这个正交性是由于四维速度的模 | u | 是一个常量所致,即
u μ u μ = − c 2 or | u | = i c (2)
任何力都不能改变四维速度的模 | u | 而只能改变四维速度的方向 [
一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f正交,那么在电磁学和电动力学中这个粒子的经典速度矢量 v 与它受到的经典力 矢量是否会正交或垂直?那么,从相对论四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间, ( u , f ) ⇒ ( v , f ) ,力的方向是如何变换的呢?这些问题没有一个简单的答案,也没有文献专门讨论这个问题。所以,本文有必要详细讨论四维空间中力的方向问题。
在相对论四维空间 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = i c t ) 中,考虑两个带电粒子q和 q ′ ,它们之间的电磁相互作用四维力为f;这两个粒子的位置在x和 x ′ ,它们的四维速度为u和 u ′ ,用m代表粒子q的质量。显然,粒子q是在粒子 q ′ 产生的电场 E 和磁场 B 中运动。如图1所示,注意,图中用欧几里得矢量垂直表示了四维空间 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = i c t ) 的矢量正交,以显示正交的直观性。
在四维力f在R和 u ′ 构成的平面内,我们假定可以把四维力f的表达式写成
f = C R + D u ′ (3)
R和 u ′ 是我们选择的两个基矢,如图1所示,要求 R ⋅ u ′ = 0 是为了后面讨论的方便,并且定义 r = | R | 。C和D是相对于这两个基矢的展开系数。使用四维速度u与四维力f的正交性,我们有
u ⋅ f = C ( u ⋅ R ) + D ( u ⋅ u ′ ) = 0 (4)
消去系数C,方程(3)变成
f = D ( u ⋅ R ) [ − ( u ⋅ u ′ ) R + ( u ⋅ R ) u ′ ] (5)
这样,四维速度u与四维力f的正交性就决定了四维力f的方向。四维力f方向的单位矢量 f 0 是
图1. 四维空间中的两个粒子的相对位置,四维速度与四维力正交(图中用“垂直”来代表“正交”)
f 0 = 1 c 2 r [ − ( u ⋅ u ′ ) R + ( u ⋅ R ) u ′ ] (6)
设四维速度u与 u ′ 之间的夹角为 α ,很容易验算如下:
f 0 = 1 c 2 r [ − ( | u | | u ′ | cosh α ) R + ( | u | | R | sinh α ) u ′ ] (7)
f 0 ⋅ f 0 = cosh 2 α + sinh 2 α = 1 (8)
知道了四维力f方向的单位矢量,那么这两个粒子之间的电磁相互作用的四维力f的一般表达式为
f = | f | f 0 = | f | 1 c 2 r [ − ( u ⋅ u ′ ) R + ( u ⋅ R ) u ′ ] (9)
现在具体讨论这两个粒子之间的库仑力,假设库仑力的大小就是四维力f的模
| f | = k q q ′ r 2 (10)
那么,四维空间中库仑力的表达式为
f = | f | f 0 = k q q ′ c 2 r 3 [ − ( u ⋅ u ′ ) R + ( u ⋅ R ) u ′ ] = q [ − ( u ⋅ k q ′ u ′ c 2 r 3 ) R + ( u ⋅ k q ′ R c 2 r 3 ) u ′ ] (11)
f μ = q [ − ( u ν k q ′ u ′ ν c 2 r 3 ) R μ + ( u ν k q ′ R ν c 2 r 3 ) u ′ μ ] (12)
利用电动力学中的一个常用公式
∂ ∂ x μ ( 1 r ) = − R μ r 3 (13)
方程(12)可以写成
根据电动力学中的常用书写格式,把方程(14)的四维库仑力f的公式整理成为
f μ = q F μ ν u ν ; F μ ν = ∂ A ν ∂ x μ − ∂ A μ ∂ x ν ; A μ = k q ′ u ′ μ c 2 r (15)
这样我们就对四维库仑力f有了一个熟悉而又直观的认识:A是粒子 q ′ 产生的四维电磁矢势;四维库仑力与相对论Lorentz力 f μ = q F μ ν u ν 在形式上保持一致;在四维空间中可以从库仑力推导出相对论的Lorentz力。
就这两个粒子而言,我们在选择基矢R的时候,要求 R ⋅ u ′ = 0 ,即它们正交,并且定义 r = | R | 。如图1所示,我们有
u ′ μ R μ = 0 (16)
所以
∂ A μ ∂ x μ = k q ′ u ′ μ c 2 ∂ ∂ x μ ( 1 r ) = k q ′ u ′ μ c 2 ( − R μ r 3 ) = 0 (17)
我们知道,方程(17)就是Lorentz规范条件(Lorentz gauge condition)。而我们又知道数学公式
(18)
这样,我们就计算出
∂ F μ ν ∂ x v = ∂ ∂ x ν ∂ A ν ∂ x μ − ∂ ∂ x ν ∂ A μ ∂ x ν = − ∂ ∂ x ν ∂ A μ ∂ x ν = − k q ′ u ′ μ c 2 ∂ ∂ x ν ∂ ∂ x ν ( 1 r ) = k q ′ u ′ μ c 2 4 π δ ( r ) (19)
这里定义 J ′ μ = q ′ u ′ μ δ ( r ) 作为粒子 q ′ 的电流密度矢量,也就是说
∂ F μ ν ∂ x ν = μ 0 J ′ μ (20)
把方程(15)中的 F μ ν 代入下式,交换下标并求和,就得到
方程(20)和方程(21)构成了Maxwell方程组。
把上面讨论的两个粒子模型应用到连续介质中去。如图2所示,粒子q是在附近电路产生的电场 E 和磁场 B 中运动。作用在粒子q上的四维电磁矢势A包含电路中所有载流子的贡献,它们是线性叠加的,有
图2. 一个电路在其附近产生四维电磁矢势,而Maxwell方程组仍然成立
A μ = ∑ i k q ′ u ′ i μ c 2 r i (22)
那么,在这个电路附近,使用方程(22),Maxwell方程组仍然成立
∂ F μ ν ∂ x ν = μ 0 J ′ μ (23)
∂ F μ ν ∂ x λ + ∂ F ν λ ∂ x μ + ∂ F λ μ ∂ x ν = 0 (24)
在这一小节,我们证明了,四维速度u与四维力f的正交性与Maxwell方程组之间存在内在联系。可见,四维力方向涉及到电磁场理论的全局,在确定四维力方向的时候绝对不能出错。这是一种分析Maxwell方程组的新方法。
从Maxwell方程组我们知道,在图1中的两个粒子之间,电磁相互作用从粒子 q ′ 传播到粒子q需要一个延迟时间 Δ t ,我们把两个粒子的模型重新画在图3中。
在图3中,这个延迟时间 Δ t ,对应着从 u ′ 与R相交点出发沿R方向到达q点的距离,图3中上边的那段虚线指示这段距离,这段距离通过下式计算出
r = c Δ t (25)
这个延迟时间 Δ t ,也对应着从 q ′ 出发沿 u ′ 方向到达与R相交之点的距离,图3中左边的那段虚线指示这段距离。把 ( x ′ ν − x ν ) 投影到 u ′ 的模 | u | = i c 方向上(注意,这个模是虚数),通过下式计算出这段距离
i c Δ t = ( u ′ i c ) ⋅ ( x ′ − x ) = 1 i c u ′ ν ( x ′ ν − x ν ) (26)
所以,把式(26)代入式(25),我们有
r = c Δ t = 1 c u ′ ν ( x ′ ν − x ν ) (27)
A是粒子 q ′ 产生的四维电磁矢势,从新写成
图3. 四维空间中的两个粒子的相对位置
A μ = k q ′ u ′ μ c 2 r = k q ′ u ′ μ c u ′ ν ( x ′ ν − x ν ) (28)
这就Lienard-Wiechert势,它包含了延迟时间 Δ t (retardation time)。当初我们在选定基矢R的时候要求 R ⋅ u ′ = 0 ,显然是考虑到这里的延迟时间 Δ t 机制,说明我们选择的基矢是合理的和自洽的。
从相对论四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间,力的方向是如何变换的呢?我们下面给出的变换步骤可以帮助看清这一点。
第一步,四维电磁矢势A要用电场E和磁场B表示。
F μ ν = [ 0 B 3 − B 2 − i E 1 − B 3 0 B 1 − i E 2 B 2 − B 1 0 − i E 3 i E 1 i E 2 i E 3 0 ] (29)
第二步,这样,力就可以写成Lorentz力的形式。
f = q E + q v × B ; f 4 = q E ⋅ u (30)
四维力的第四分量表示电场对粒子q做功的功率。可见,一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f正交,并不意味着在电磁学和电动力学中这个粒子的经典速度矢量v与它受到的经典力f矢量正交或垂直。但是四维速度与四维力的正交性具有丰富的内涵,这是本文讨论的重点。
第三步,Maxwell方程组,即方程(20)和方程(21),要用电场E和磁场B表示,参见教材 [
∇ × B = μ 0 ( ρ v + ε 0 ∂ E ∂ t ) , ∇ ⋅ E = ρ ε 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t , ∇ ⋅ B = 0 (31)
总之,在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。
本文详细讨论四维空间中力的方向问题。根据四维速度与四维力的正交性,推导出了四维空间中库仑力的相对论表达式,由此推导出了相对论Lorentz力,并详细讨论它与Maxwell方程组的关系;本文指出这些推导形成了一种分析Maxwell方程组的新方法。在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。
崔怀洋. 四维速度与四维力的正交性及其在教学中的应用The Orthogonality of 4-Vector Velocity and 4-Vector Force and Its Applications in Teaching[J]. 现代物理, 2018, 08(03): 132-138. https://doi.org/10.12677/MP.2018.83016