潘江敏教授等人在文章[Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabilizers and valency seven, arXiv:1707.09785v1, 2017]中构造了交错群A62上的一个7度弧传递非正规Cayley图。在本文中,我们将证明该图的全自同构群同构于A63。 Pan et al. in [Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabi-lizers and valency seven, arXiv:1707.09785v1, 2017] constructed an example of a nonnormal arc-transitive 7-valent Cayley graph on the alternating group A62. In this paper, we will prove that the full automorphism group of this graph is isomorphic to A63.
凌波
云南民族大学数学与计算机科学学院,云南 昆明
收稿日期:2018年5月9日;录用日期:2018年5月22日;发布日期:2018年5月29日
潘江敏教授等人在文章[Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabilizers and valency seven, arXiv:1707.09785v1, 2017]中构造了交错群A62上的一个7度弧传递非正规Cayley图。在本文中,我们将证明该图的全自同构群同构于A63。
关键词 :弧传递图,单群,自同构群,非正规Cayley图
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设Г是一个图。其顶点集,图的全自同构群分别记为 V ( Γ ) , A u t ( Γ ) 。我们称图Г为弧传递图,如果 A u t ( Γ ) 在其弧集合上传递。
设G是一个有限群。取 S ⊆ G − { 1 } ,称它为G的Cayley子集。设S满足 S = S − 1 : = { s − 1 | s ∈ S } 。定义群G关于S的Cayley无向图 Γ : = C a y ( G , S ) ,其中:
V ( Γ ) : = G , E ( Γ ) : = { { g , s g } } g ∈ G , s ∈ S } .
由定义可知,Г的度为 | S | 。Г连通当且仅当 。G的右正则表示 R ( G ) ≤ A u t ( Γ ) 且作用在 V ( Γ ) 上正则,即Cayley图是点传递图。为了方便,我们仍记这个正则子群为G。我们称Cayley图 Γ = C a y ( G , S ) 关于G是正规的,如果 G ⊲ A u t ( Γ ) ,否则称Г为非正规的。
单群上Cayely图的正规性问题一直都受到国内外学者们的极大关注。例如,李才恒教授在 [
本文证明了如下定理:
定理1.1:设Г是T上7度S-弧传递Cayely图,其中S同构于A63,T同构于A62,则 A u t ( Γ ) = S ≅ A 63 。
设G是有限群,H是G的子群, C G ( H ) 是H在G中的中心化子,
引理2.1:设 H ≤ G ,则 N G ( H ) / C G ( H ) 同构于 A u t ( H ) 的一个子群。■
下面的引理给出了7度弧传递图的点稳定子群的结构,参考文献( [
引理2.2:设Г是一个7度 ( G , s ) —传递图,其中 G ≤ A u t ( Γ ) 且 s ≥ 1 。设 α ∈ V ( Γ ) 。则下列之一成立:
a) 如果 G α 可解,则 s ≤ 3 且 | G α | | 252 。此外, ( s , G α ) 为下表之一(表1)。
s | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
G α | Z 7 , D 14 , D 14 × Z 2 , F 21 × Z 3 | F 42 , F 42 × Z 2 , F 42 × Z 3 | F 42 × Z 6 |
表1. 可解情形的点稳定子
s | 2 | 3 |
---|---|---|
G α | P S L ( 3 , 2 ) , A S L ( 3 , 2 ) , A S L ( 3 , 2 ) × Z 2 , A 7 , S 7 | P S L ( 3 , 2 ) × S 4 , A 7 × A 6 , S 7 × S 6 A 7 × A 6 : Z 2 , Z 2 6 : ( S L ( 2 , 2 ) × S L ( 3 , 2 ) ) , [ 2 20 ] : ( S L ( 2 , 2 ) × S L ( 3 , 2 ) ) |
完成率 | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 7 , 2 6 ⋅ 3 ⋅ 7 , 2 7 ⋅ 3 ⋅ 7 , 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 , 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 | 2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 7 , 2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 , 2 8 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 , 2 7 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 , 2 7 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 , 2 10 ⋅ 3 2 ⋅ 7 , 2 24 ⋅ 3 2 ⋅ 7 |
表2. 非可解情形的点稳定子
b) 如果 G α 非可解,则 2 ≤ s ≤ 3 | G α | | 2 24 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 。此外, ( s , G α ) 为下表之一(表2)。
定理1.1的证明:设Г是T上的S-弧传递Cayley图, A = A u t ( Γ ) , V = V ( Γ ) , S ≅ A 62 , T ≅ A 63 。设 v ∈ V ,则由引理2.1, | A v | | 2 24 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 。首先我们假设A在顶点集V上非拟本原。设 N ≠ 1 是A的一个在V上非传递的极小正规子群。则 N ∩ S ⊲ S 。因为S同构于 A 63 ,所以 N ∩ S = 1 或者 S 。若 N ∩ S = S ,则 S ≤ N ⊲ A 。这意味着N在V上作用传递,这与N的选取矛盾。若 N ∩ S = 1 ,则 | N | 整除 | A | / | S | 。注意到 S v ≅ Z 3 × F 20 。由引理2.2,得 | | A v | / | S v | 2 24 ⋅ 3 2 ⋅ 5 。因为 | A | / | S | = | A v | / | S v | ,所以 | N | 整除 。
假设N非可解。因为 | N | 整除 2 24 ⋅ 3 2 ⋅ 5 且 A 5 , A 6 和 P S U ( 4 , 2 ) 是仅有的3个 { 2 , 3 , 5 } − 单群,所以N只能同构于下列群之一: A 5 , A 5 2 , A 6 。令 F = N S 。则 F = N : S 。因为 | N | | A 63 | = | N | | S | = | F | = | V | | F v | ,所以 | F v | = 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 , 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 或者 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 。然而由引理2.1,不存在7度弧传递图的点稳定子具有这3种情况的阶,矛盾。
假设N可解,则 N ≅ Z 2 r , Z 3 l 或者 Z 5 k ,其中 1 ≤ r ≤ 24 , 1 ≤ l ≤ 2 , 1 ≤ k ≤ 2 。由引理2.1,得 F / C F ( N ) ≤ A u t ( N ) ≅ G L ( r , 2 ) , G L ( l , 3 ) 或者 G L ( k , 5 ) 。注意到 N ≤ C F ( N ) 。如果 N = C F ( N ) ,那么 F / C F ( N ) = F / N ≅ S ≤ G L ( r , 2 ) , G L ( l , 3 ) 或者 G L ( k , 5 ) 。而 G L ( r , 2 ) , G L ( l , 3 ) 或者 G L ( k , 5 ) 中不包含同构于A63的子群,其中 1 ≤ r ≤ 24 , 1 ≤ l ≤ 2 , 1 ≤ k ≤ 2 。所以, N < C F ( N ) , 1 ≠ C F ( N ) / N ⊲ F / N ≅ S 。进而得, S = C F ( N ) / N ,即,S中心化N。所以 F = N × S 。因此, F v / S v ≅ F / S ≅ N 。这意味着 F v = S v ⋅ N ,由引理2.2, F v ≅ F 42 × Z 3 或者 F 42 × Z 6 。由Magma的计算,不存在具有这两种点稳定子的F-弧传递的7度Cayley图,矛盾。
因此A在顶点集V上作用是拟本原的。因为 | V | = | G | 不是一个素数的方幂,所以A不是 H A 型的。设M是A的基柱。则因为A在V上是拟本原的,得M在V上作用传递。又因为 A = T A v ,所以 | T | | | M | | 2 24 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ | T | 。因为 T ≅ A 62 ,所以必存在一个素数p,使得p恰好整除 | M | 。进而得,M不同构于 D d ,其中 d ≥ 2 ,D为一个非交换单群。这可以推出A不是 H S , H C , C D , , T W 或者
国家自然科学基金项目(11701503);云南省教育厅科学研究基金项目(2017ZZX086)。
凌 波. 交错群A62上的7度弧传递非正规Cayley图的全自同构群 The Full Automorphism Group of a Nonnormal Arc-Transitive 7-Valent Cayley Graph on the Alternating Group A62[J]. 理论数学, 2018, 08(03): 304-307. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83040