本文研究了食饵具有防御机制的一类捕食系统。通过计算Lyapunov系数证明内部平衡点为一阶细焦点, 并给出了Hopf分岔的参数条件。 In this paper, we studied a class of predator-prey system with a defense mechanism of the prey. By calculating the Lyapunov coefficient, the internal equilibrium point is proved to be a first order weak focus, and the parameter conditions of Hopf bifurcation are given.
李自尊
百色学院,广西 百色
收稿日期:2018年5月24日;录用日期:2018年6月12日;发布日期:2018年6月19日
本文研究了食饵具有防御机制的一类捕食系统。通过计算Lyapunov系数证明内部平衡点为一阶细焦点, 并给出了Hopf分岔的参数条件。
关键词 :捕食系统,Lyapunov系数,Hopf分岔
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Ajraldi [
d x d t = r x ( 1 − x n ) − α x y 1 + t h α x , d y d t = − s y + c α x y 1 + t h α x .
Braza [
d x d t = x ( 1 − x ) − x y , d y d t = − s y + c x y ,
给出了内部平衡定的稳定性分析,在给出Hopf分岔分析时,并未计算Lyapunov系数,所以并不清楚在Hopf临界值时细焦点的阶数。
本文在上述研究成果的基础上,研究了一类食饵具有三次根号防御机制的函数反应
d x d t = x ( 1 − x ) − x 3 y , d y d t = − s y + c x 3 y . (1)
给出了内部平衡点的稳定性分析,并在判断Hopf分岔时给出了Lyapunov系数的值,计算出平衡点的类型为一阶稳定细焦点,改变参数后系统会发生Hopf分岔,平衡点的稳定性改变,分岔出一个稳定的极限环(参考 [
方程(1)的内部平衡点为 E ( x * , y * ) = ( ( s c ) 3 , s 2 c 2 ( 1 − s 3 c 3 ) ) ,其Jacobian矩阵为
J ( x , y ) = [ 1 − 2 x − 1 3 x − 2 3 y − x 1 3 1 3 c x − 2 3 y − s + c x 1 3 ] . (2)
定理2.1 假设 s < s 0 = ( 2 5 ) 1 3 c ,即为 x * < 1 3 ,则系统(1)在 R + 2 有一个从平衡点E经过
Hopf分岔出的稳定的极限环。
证明 由(2),可得
J ( E ( x * , y * ) ) = [ 2 c 3 − 5 s 3 3 c 3 − s c c 3 − s 3 3 c 2 0 ] . (3)
令 σ ( s ) = t r J ( E ( x * , y * ) ) , Δ ( s ) = det J ( E ( x * , y * ) ) , μ ( s ) = 1 2 σ ( s ) , ω ( s ) = 1 2 4 Δ ( s ) − σ 2 ( s ) 。
由(3),可得
μ ( s ) = 1 2 σ ( s ) = 2 c 3 − 5 s 3 6 c 3 ,
当 s 0 = ( 2 5 ) 1 3 c 时, μ ( s 0 ) = 0 ,可得
ω ( s 0 ) = c 5 × ( 2 5 ) 1 3 > 0.
我们可以检验如下横截条件
μ ′ ( s 0 ) = − 5 2 c × ( 2 5 ) 2 3 < 0.
在 s = s 0 时,平衡点 E ( x * , y * ) 的坐标为
E ( x * , y * ) = ( 2 5 , 3 5 × ( 2 5 ) 2 3 ) .
为了把平衡点坐标移到原点 ( 0 , 0 ) ,我们作平移变换
x = 2 5 + ξ 1 , y = 3 5 × ( 2 5 ) 2 3 + ξ 2 .
则系统(1)变换为
ξ ′ 1 = − ( 2 5 ) 1 3 ξ 2 − 5 6 ξ 1 2 − 1 3 × ( 2 5 ) − 2 3 ξ 1 ξ 2 − 25 108 ξ 1 3 + 1 9 ( 2 5 ) − 5 3 ξ 1 2 ξ 2 + o ( | ξ 1 , ξ 2 | 4 ) , ξ ′ 2 = c 5 ξ 1 − c 6 ξ 1 2 + c 3 × ( 2 5 ) − 2 3 ξ 1 ξ 2 + 25 c 108 ξ 1 3 − c 9 × ( 2 5 ) − 5 3 ξ 1 2 ξ 2 + o ( | ξ 1 , ξ 2 | 4 ) . (4)
我们可以把系统(4)写成如下形式
ξ ′ = A ξ + 1 2 B ( ξ , ξ ) + 1 6 C ( ξ , ξ , ξ ) ,
其中B,C为向量函数,令 ξ = ( ξ 1 , ξ 2 ) T , η = ( η 1 , η 2 ) T , δ = ( δ 1 , δ 2 ) T ,则由(4),可得
B ( ξ , η ) = ( − 5 3 ξ 1 η 1 − 1 3 ( 2 5 ) − 2 3 ( ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 ) − c 3 ξ 1 η 1 + c 3 ( 2 5 ) − 2 3 ( ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 ) ) , (5)
C ( ξ , η , δ ) = ( − 25 16 ξ 1 η 1 δ 1 + 2 9 ( 2 5 ) − 5 3 ( ξ 1 η 1 δ 2 + ξ 1 η 2 δ 1 + ξ 2 η 1 δ 1 ) − 25 16 ξ 1 η 1 δ 1 − 2 c 9 ( 2 5 ) − 5 3 ( ξ 1 η 1 δ 2 + ξ 1 η 2 δ 1 + ξ 2 η 1 δ 1 ) ) (6)
其中 A = J ( E ( s 0 ) ) ,即为
A = ( 0 − ( 2 5 ) 1 3 c 5 0 ) = ( 0 − ( 2 5 ) 1 3 ω 2 ( 5 2 ) 1 3 0 ) , (7)
其中 ω 2 = ω 2 ( s 0 ) = c 5 × ( 2 5 ) 1 3 。
方程 A q = i ω q , A T p = − i ω p 的复特征向量为
q = ( 2 1 3 − i ω 5 1 3 ) , p = 1 2 ω 5 1 3 2 1 3 ( 5 1 3 ω − i 2 1 3 ) , (8)
且 〈 p , q 〉 = 1 。由(5),(6),(8)可得
B ( q , q ) = ( − 5 3 × 2 2 3 + 5 i ω 3 × 2 2 3 − c 3 × 2 2 3 − 5 c i ω 3 × 2 2 3 ) , B ( q , q ¯ ) = ( − 5 3 × 2 2 3 − c 3 × 2 2 3 ) , (9)
且
C ( q , q , q ¯ ) = ( − 25 9 − 25 i ω 9 − 25 c 9 + 25 c i w 9 ) . (10)
由(8),(9),(10),可得
g 20 = 〈 p , B ( q , q ) 〉 = − 5 3 × 2 − 2 3 + 5 i ω 3 − i c 3 × 2 − 1 3 5 1 3 ω + 5 2 3 × 2 1 3 c 3 , g 11 = − 5 3 × 2 − 2 3 − i c 3 × 2 − 1 3 5 1 3 ω , g 21 = − 27 16 − 27 8 i ω + 9 3 c i 16 ω − 9 3 c 8 .
图1. 从平衡点 E ( x * , y * ) 分岔出的稳定的极限环相图,其中分岔参数为 s = 0.734 , c = 1
我们可以计算参数在 s = s 0 = ( 2 5 ) 1 3 c 时的平衡点E的第一Lyapunov系数为
l 1 ( s 0 ) = 1 2 ω 2 Re ( i g 20 g 11 + ω g 21 ) = − 5 2 3 c 18 ω 3 < 0 ,
则 E ( s 0 ) 为一阶细焦点,所以,当 s < s 0 时,从平衡点 E ( x * , y * ) 分岔出一个稳定的极限环,参看图1。
国家自然科学基金项目(11561019);中央高校基本科研业务费专项资金资助(2012017yjsy141)。
李自尊. 一类捕食系统中的Hopf分岔 Hopf Bifurcation in a Class of Predator-Prey Systems[J]. 应用数学进展, 2018, 07(06): 680-684. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.76081