在介绍高阶线性矩原理的基础上,选取陕北交口河、张家山、赵石窖、绥德、刘家河、张村驿、林家村及神木8个水文站的洪峰流量资料进行广义极值分布高阶线性矩的参数估计,评价拟合效果和设计值的计算偏差,并与普通线性矩法拟合结果进行比较分析。利用高阶线性矩和普通线性矩对陕北8个水文站洪水频率进行的分析表明:随着阶数η的增大,设计值的相对偏差值越小,说明高阶线性矩法对洪峰序列的大洪水值拟合效果更好,提高了设计值估算精度。因此,高阶线性矩法是一种合理有效的洪水频率分析参数估计方法,可为大重现期设计洪水值的计算提供依据。 In order to provide an efficient and reliable theoretical basis for design floods in the northern Shaanxi province, the higher-order L-Moments are applied in flood frequency analysis based on the principles of higher-order L-Moments. The annual maximum flood series of 8 hydrological stations at Jiaokou, Zhangjiashan, Zhaoshiyao, Sudie, Liujia, Zhangcunyi, Linjiacun and Shenmu Rivers are selected for case study. The parameters of Generalized Extreme Value (GEV) distribution and the design floods are estimated. The flood frequency curves are fitted, and the cumulative of squares error is regard as an indicator to evaluate the effect, and compared with the traditional Method of moments. The results show that higher-order L-Moments possess good statistical performance, which can describe the data series much better than lower-order L-Moments in flood analysis. Consequently, this method is reasonable and feasible, and would be provided the basis for the flood quantile calculation.
王俊珍1,赵克宇2
1贵州省大坝安全监测中心,贵州 贵阳
2中国电建集团贵阳勘测设计研究院有限公司,贵州 贵阳
收稿日期:2018年7月8日;录用日期:2018年7月24日;发布日期:2018年7月31日
在介绍高阶线性矩原理的基础上,选取陕北交口河、张家山、赵石窖、绥德、刘家河、张村驿、林家村及神木8个水文站的洪峰流量资料进行广义极值分布高阶线性矩的参数估计,评价拟合效果和设计值的计算偏差,并与普通线性矩法拟合结果进行比较分析。利用高阶线性矩和普通线性矩对陕北8个水文站洪水频率进行的分析表明:随着阶数η的增大,设计值的相对偏差值越小,说明高阶线性矩法对洪峰序列的大洪水值拟合效果更好,提高了设计值估算精度。因此,高阶线性矩法是一种合理有效的洪水频率分析参数估计方法,可为大重现期设计洪水值的计算提供依据。
关键词 :设计洪水,参数估计,洪水设计值,高阶线性矩,广义极值分布
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洪水是我国最频繁和严重的自然灾害之一。洪水因暴雨形成,具有突发性,破坏性和危险性,可以使村镇、城市及人民生命财产毁于一旦 [
本文选用陕北地区8个水文站洪峰流量序列为例,以高阶线性矩法进行洪水频率曲线拟合,进而评价所得洪水频率曲线对序列拟合效果及设计值误差。
高阶线性矩是高阶概率权重矩 [
E [ X i , n ] = n ! ( i − 1 ) ! ( n − i ) ! ∫ 0 1 x ( F ) F i − 1 ( 1 − F ) n − i d F (1)
高阶线性矩定义为
λ 1 η = E [ X ( η + 1 ) ( η + 1 ) ] (2)
λ 3 η = 1 3 E [ X ( η + 3 ) ( η + 3 ) − 2 X ( η + 2 ) ( η + 3 ) + X ( η + 1 ) ( η + 3 ) ] (4)
λ 4 η = 1 4 E [ X ( η + 4 ) ( η + 4 ) − 3 X ( η + 3 ) ( η + 4 ) + 3 X ( η + 2 ) ( η + 4 ) − X ( η + 1 ) ( η + 4 ) ] (5)
式中: λ 1 η 表示样本容量为 η + 1 中最大变量的数学期望, λ 2 η 表示样本容量为 η + 2 中最大变量的数学期望,
当 η = 0 时,高阶线性矩转化为普通线性矩(Hosking, 1990)。随着 η 增高,高阶线性矩对随机变量的较大值更为依赖。高阶线性矩的变差系数 τ 2 η ,偏态系数 τ 3 η 和峰态系数 τ 4 η 分别为
τ 2 η = λ 2 η λ 1 η (6)
τ 4 η = λ 4 η λ 2 η (8)
给定一个排序样本 x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n ,高阶线性矩的估计量分别为
λ ^ 1 η = 1 C n η + 1 ∑ i = 1 n C i − 1 η x ( i ) (9)
λ ^ 2 η = 1 2 1 C n η + 2 ∑ i = 1 n ( C i − 1 η + 1 − C i − 1 η C n − i 1 ) x ( i ) (10)
λ ^ 3 η = 1 3 1 C n η + 3 ∑ i = 1 n ( C i − 1 η + 2 − 2 C i − 1 η + 1 C n − i 1 + C i − 1 η C n − i 2 ) x ( i ) (11)
λ ^ 4 η = 1 4 1 C n η + 4 ∑ i = 1 n ( C i − 1 η + 3 − 3 C i − 1 η + 2 C n − i 1 + 3 C i − 1 η + 1 C n − i 2 − C i − 1 η C n − i 3 ) x ( i ) (12)
C n i = n ! i ! ( n − i ) ! (13)
广义极值分布(Generalized extreme value distribution, GEV)的分布函数为
F ( x ) = { exp { − [ 1 − k α ( x − ξ ) ] 1 k } ; k ≠ 0 exp { − exp [ − 1 α ( x − ξ ) ] } ; k = 0 (14)
其逆函数形式为
x ( F ) = { ξ + α k [ 1 − ( − ln F ) k ] ; k ≠ 0 ξ − α ln ( − ln F ) ; k = 0 (15)
式中:k为形状参数, α 为尺度参数, ξ 为位置参数。
当 k ≠ 0 时,即为Hosking (1985) [
β r = ∫ 0 1 x ( F ) F r d F (16)
把式(14)和式(15)代入式(16),可推出
当
( r + 1 ) β r = ξ + α [ ε + ln ( r + 1 ) ] (18)
式中, ε = 0.5772156649 ⋯ 为欧拉常数。
将式(17)代入式(1)~式(5),可推出 k ≠ 0 时,前4阶线性矩分别为
λ 1 η = ξ + α k [ 1 − Γ ( 1 + k ) ( η + 1 ) − k ] (19)
λ 2 η = ( η + 2 ) α Γ ( 1 + k ) 2 ! k [ − ( η + 2 ) − k + ( η + 1 ) − k ] (20)
λ 3 η = ( η + 3 ) α Γ ( 1 + k ) 3 ! k [ − ( η + 4 ) ( η + 3 ) − k + 2 ( η + 3 ) ( η + 2 ) − k − ( η + 2 ) ( η + 1 ) − k ] (21)
λ 4 η = ( η + 4 ) α Γ ( 1 + k ) 4 ! k [ − ( η + 6 ) ( η + 5 ) ( η + 4 ) − k + 3 ( η + 5 ) ( η + 4 ) ( η + 3 ) − k − 3 ( η + 4 ) ( η + 3 ) ( η + 2 ) − k + ( η + 3 ) ( η + 2 ) ( η + 1 ) − k ] (22)
同样,将式(18)代入式(1)~式(5),可推出k = 0时,前4阶线性矩分别为
λ 1 η = ξ + α [ ε + ln ( η + 1 ) ] (23)
λ 2 η = ( η + 2 ) α 2 ! [ ln ( η + 2 ) − ln ( η + 1 ) ] (24)
λ 3 η = ( η + 3 ) α 3 ! [ ( η + 4 ) ln ( η + 3 ) − 2 ( η + 3 ) ln ( η + 2 ) + ( η + 2 ) ln ( η + 1 ) ] (25)
λ 4 η = ( η + 4 ) α 4 ! [ ( η + 6 ) ( η + 5 ) ln ( η + 4 ) − 3 ( η + 5 ) ( η + 4 ) ln ( η + 3 ) + 3 ( η + 4 ) ( η + 3 ) ln ( η + 2 ) − ( η + 3 ) ( η + 2 ) ln ( η + 1 ) ] (26)
给定一个样本,由式(21),式(20),式(24),式(25)和式(7)可推出
k = a 0 + a 1 [ τ 3 η ] + a 2 [ τ 3 η ] 2 + a 3 [ τ 3 η ] 3 a 4 [ τ 3 η ] 4 (27)
取k为 − 0.5 ≤ k ≤ 0.5 ,分别令 η = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,计算各阶取值对应的 τ 3 η 值,按照(27)拟合曲线,求得式(27)的系数,如表1所示。
应用式(10)和式(11)计算 τ 3 η ,根据表1系数,由式(27)计算参数k的估计值 k ^ 。利用式(20)计算参数 α 的估计值 α ^ ( k ^ ≠ 0 )为
α ^ = λ 2 η × k ^ × 2 ! Γ ( 1 + k ^ ) ( η + 2 ) ( − ( η + 2 ) − k ^ + ( 1 + η ) − k ^ ) (28)
由式(19)和式(28)可推出参数 ξ 的估计值 ( k ^ ≠ 0 )为
ξ ^ = λ ^ 1 η − α ^ k ^ ( 1 − Γ ( 1 + k ^ ) ( η + 1 ) − k ^ ) (29)
采用陕西省交口河、张家山、赵石窖、绥德、刘家河等8个水文测站的年最大洪峰资料,经分析,资料满足一致性要求,研究GEV型分布的高阶线性矩法进行洪水序列大洪水段的拟合,资料的基本概况如表2所示。
根据表2结果,由式(15)计算洪水设计值,利用期望公式(30)估计经验频率,其表达式为
P = m n + 1 × 100 (30)
式中,P为频率,m为系列样本中的第m项,n为系列样本中的总数。
根据以上计算成果,绘制各站不同阶线性矩的GEV分布理论频率曲线拟合图,详见图1。
根据拟合的频率曲线图,对各站不同阶线性矩法进行比较,分析理论频率曲线与经验点据的拟合情况。由图1可以看出,在P = 0~50%的频率区间,8个测站均随着线性矩阶数的增大,理论频率曲线和经验点据的拟合
η | a 0 | a 1 | a 2 | a 3 | a 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0.2838 | −1.7965 | 0.8200 | −0.4821 | 0.1966 |
1 | 0.4814 | −2.1433 | 0.7521 | −0.3299 | 0.1027 |
2 | 0.5910 | −2.3338 | 0.6658 | −0.2387 | 0.0632 |
3 | 0.6616 | −2.4548 | 0.5898 | −0.1798 | 0.0419 |
4 | 0.7111 | −2.5387 | 0.5266 | −0.1397 | 0.0293 |
5 | 0.7479 | −2.6002 | 0.4743 | −0.1114 | 0.0213 |
表1. 式(27)的拟合系数 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 和 a 4
站名 | 资料长度 | η | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
交口河 | 48 | 0.034 | 0.0302 | 0.0256 | 0.0216 | 0.0189 | 0.0172 |
张家山 | 53 | 0.0129 | 0.012 | 0.0097 | 0.0075 | 0.0059 | 0.005 |
赵石窖 | 50 | 0.0049 | 0.0043 | 0.0035 | 0.003 | 0.0029 | 0.0029 |
绥德 | 36 | 0.0058 | 0.0033 | 0.002 | 0.0013 | 0.001 | 0.0008 |
刘家河 | 45 | 0.0269 | 0.0236 | 0.0182 | 0.0134 | 0.01 | 0.0079 |
张村译 | 39 | 0.0102 | 0.007 | 0.0056 | 0.0052 | 0.0052 | 0.0054 |
林家村 | 48 | 0.0051 | 0.0028 | 0.002 | 0.0017 | 0.0015 | 0.0014 |
神木 | 48 | 0.0093 | 0.0041 | 0.0019 | 0.001 | 0.0007 | 0.0005 |
表2. 不同阶线性矩法的设计值偏差比较
图1. 年最大洪峰序列各阶线性矩频率曲线拟合图
效果不显著;在P = 50%~99%的频率区间,8个测站均随着线性矩阶数的增大,理论频率曲线和经验点据的拟合效果得到显著改善,说明本方法计算大重现设计洪水值的偏差小。因此,从实测序列值拟合结果可知,采用高阶线性矩法进行拟合计算时,大洪峰段取得较好的拟合效果。
应用累积相对偏差平方和 δ 分析上述不同阶线性矩法对经验点据的拟合效果。式(31)为P = 50%~98%时,对应实测值与设计值累积偏差平方和的计算公式。
δ = ∑ i = i | P = 50 % i | P = 98 % ( x i − x ^ i x i ) 2 (31)
式中: x i 为实测值; x ^ i 为设计值。计算结果如表2所示。
由表2看出,除了张村译站以外,其余7个站点的 δ 均随着线性矩阶数 η 的升高而减小,即大洪水段实测值与设计值之间的偏差逐渐减小,说明大重现期设计值在阶数较高时与实测值更为接近,这与图1中的拟合结果相一致。而张村驿站,在 η ≤ 4 时,大洪水段实测值拟合效果与其它7站变化趋势相同,但 η = 5 时,设计值估算偏差变大,说明并非 越大越好,即并非给与的权重越大越好,而是选择合适的 值,可提高设计值估算精度。所以,通过提高线性矩阶数的方式来拟合序列大洪水段是可行的,可为外延的大重现期设计值提供有利依据。
综合以上分析,在研究区大重现期设计值计算中,建议选用不超过4阶线性矩。
以陕北地区8个水文测站的年最大洪峰流量序列为例,以高阶线性矩法对洪峰序列进行参数估计,评价其拟合效果及设计值的偏差。结果表明,高阶线性矩法通过增大
王俊珍,赵克宇. 高阶线性矩法在陕北地区洪水频率分析中的应用 Using Higher-Order L-Moments for Flood Frequency Analysis in Northern Shaanxi[J]. 水资源研究, 2018, 07(04): 404-411. https://doi.org/10.12677/JWRR.2018.74045