基于自由电子气体模型和无规相近似下的线性响应理论,我们研究了方柱形原子团簇中的等离激元。结果发现,横向等离激元随柱长的增加而发生蓝移,而纵向等离激元随柱长的增加而发生红移。 Based on the linear response theory in the random-phase approximation and the free-electron gas model, we study the plasmon excitations in square cylinder. Results show: when the length of square cylinder is increased, the frequency of longitudinal plasmon displays redshift, but the frequency of transverse plasmon shows blue shift.
薛红杰*,邬华春,姚志,王小梅
西安航空学院理学院,陕西 西安
收稿日期:2018年8月27日;录用日期:2018年9月10日;发布日期:2018年9月17日
基于自由电子气体模型和无规相近似下的线性响应理论,我们研究了方柱形原子团簇中的等离激元。结果发现,横向等离激元随柱长的增加而发生蓝移,而纵向等离激元随柱长的增加而发生红移。
关键词 :原子团簇,纵向等离激元,横向等离激元,自由电子气体模型
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表面等离激元是光与金属表面的电子相互作用,形成的一种表面电磁模式,其横向可以实现对电磁场亚波长尺度的束缚,从根本上突破了衍射极限的限制。表面等离激元激发所引起的诸多奇异效应,如透射增强效应 [
Nie发现,Ag纳米颗粒上等离激元激发可使单分子拉曼散射信号的增强因子高达1014,是探测和分析单分子特性的有效工具 [
最近,基于自由电子气体模型和无规相近似下的线性响应理论,在二维矩形原子团簇中,我们提出了研究等离激元的新方法 [
在自由电子气体模型下,方柱(长 L x × a ,宽 L y × a ,高 L z × a )内电子的本征函数和相应的本征能量分别为
ψ n x n y n z ( x , y , z ) = C sin n x π x L x a sin n y π y L y a sin n z π z L z a (1)
E n x n y n z = π 2 ℏ 2 2 m e a 2 ( n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2 + n z 2 L z 2 ) (2)
这里 8 L x L y L z a 3 。当给方柱一个扰动时,方柱内产生的诱导电荷密度 ρ i n d 可以写成
ρ i n d ( r , ω ) = ∫ ∏ ( r , r ′ , ω ) V ( r ′ , ω ) d r ′ (3)
这里 ∏ ( r , r ′ , ω ) 是密度–密度响应函数,V为作用于系统的总扰动势,其可看做由外加电势 V e x t 和诱导电势 V i n d 两部分组成,即 V = V e x t + V i n d 。在无规则相近似下,密度–密度响应函数 ∏ ( r , r ′ , ω ) 可写为
∏ ( r , r ′ , ω ) = 2 e 2 ∑ n m f ( E n ) − f ( E m ) E n − E m − ω − i γ ψ n ∗ ( r ) ψ m ( r ) ψ m ∗ ( r ′ ) ψ n ( r ′ ) (4)
其中, f ( E n ) 是费米分布函数。 ψ n = ψ n x n n y z 和 E n = E n x n y n z 分别代表系统未受外界扰动时的本征函数和本征能量。
由库伦定律知,诱导电荷 ρ i n d 在空间产生的电势为
V i n d ( r , ω ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ i n d ( r ′ , ω ) | r − r ′ | d r ′ (5)
将电荷密度(1)式代入(5)式,可得
V i n d ( r , ω ) = 2 e 2 ∑ n m f ( E n ) − f ( E m ) E n − E m − ω − i γ × 1 4 π ε 0 ∫ ψ n ∗ ( r ′ ) ψ m ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ [ V n m e x t ( ω ) + V n m i n d ( ω ) ] (6)
其中,
V n m ( ω ) = ∫ ψ n ∗ ( r ) V ( r , ω ) ψ m ( r ) (7)
在(6)式两边,同乘以 ψ n ′ ∗ ( r ) ψ m ′ ( r ) 并对整个方柱积分,可得:
V n ′ m ′ i n d ( ω ) = 2 e 2 ∑ n m f ( E n ) − f ( E m ) E n − E m − ω − i γ × 1 4 π ε 0 ∫ ψ n ∗ ( r ′ ) ψ m ( r ′ ) ψ n ′ ∗ ( r ) ψ m ′ ( r ) | r − r ′ | [ V n m e x t ( ω ) + V n m i n d ( ω ) ] d r ′ d r (8)
令
M n ′ m ′ , n m ( ω ) = 2 e 2 4 π ε 0 ∑ n m f ( E n ) − f ( E m ) E n − E m − ω − i γ ∫ ψ n ′ ∗ ( r ) ψ m ′ ( r ) ψ n ∗ ( r ′ ) ψ m ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ d r (9)
则(6)式可写成
∑ n m [ δ n ′ m ′ , n m − M n ′ m ′ , n m ( ω ) ] V n m i n d ( ω ) = ∑ n m M n ′ m ′ , n m ( ω ) V n m e x t ( ω ) (10)
当已知外电场时,由电场和电势的关系可求得电势 V e x t ( r , ω ) ;利用(7)式可获得 V n m e x t ( ω ) ;利用(10)式可获得 V n m i n d ( ω ) ;当 V n m e x t ( ω ) 和 V n m i n d ( ω ) 都知道后,利用(3)式可获得诱导电荷密度 ρ i n d 。
等离激元是电荷的集体振荡,当其激发时会使系统的能量损耗增大,从而导致能量损耗谱中出现损耗峰。因而,我们可以认为能量损耗峰所对应的频率就是等离激元的频率。通常情况下,一个系统的能量损耗可以通过下式来计算 [
A ( ω ) = − 1 2 ω Im { ∫ ρ i n d ( r , ω ) [ V e x t ( r , ω ) ] ∗ } (11)
在下面的计算结果中,频率 ω 是以 π 2 ℏ 2 / 2 m e a 2 位单位, m e 代表电子的质量,a = 0.2857 nm代表金的晶格常数。能量吸收谱和电荷分布分别是通过(13)式和(20)式获得。此外,因本文主要讨论零温情况下金属圆盘内的等离激元激发,所以,圆盘内电子为半填充状态,在费米能级以上费米分布函数为0,在费米能级以下费米分布函数为1。
按照习惯,下面我们将平行于方柱轴的电场称为纵向电场(用 E L 表示),其所激发的等离激元称为纵向等离激元(用 ω L 表示);将垂直于方柱轴的电场称为横向电场(用 E T 表示),其所激发的等离激元称为横向等离激元(用 ω T 表示)。图1显示了纵向等离激元随方柱长度的变化。从峰的移动来看,随着方柱长度的增加,横向等离激圆的频率发生了红移。这种现象主要是因为随着柱长的增加,能级间距减小而引起的。
在图2中,我们展示了横向等离激元随方柱长度的变化。不难发现,横向等离激元有蓝移趋势。对比图1和图2,可以发现纵向等离激元的模式要多于横向等离激元。这主要是因为电子横向运动要比纵向运动更加受限而引起的。
基于自由电子气体模型和无规相近似下的线性响应理论,本文中我们研究了方柱形原子团簇中,
图1. 横向等离激元随方柱长度的变化
图2. 纵向等离激元随方柱长度的变化
等离激元随柱长的演化。利用能量吸收谱,等离激元的激发和演化被观测到。结果发现,横向等离激元随柱长的增加而发生蓝移,而纵向等离激元随柱长的增加而发生红移。
本文为陕西省科技厅科研项目(2018JQ1091),西安航空学院校级项目(2017KY0209)和西安航空学院横向项目(规则纳米器件中等离激元的模式及其激发方式研究)的资助课题。
薛红杰,邬华春,姚 志,王小梅. 方柱形原子团簇中的纵向等离激元和横向等离激元Longitudinal Plasmon and Transverse Plasmon in Square Cylinder[J]. 现代物理, 2018, 08(05): 259-263. https://doi.org/10.12677/MP.2018.85028