本文考虑了一类具有非线性非局部边界条件的非散度型退化抛物方程的定性分析问题。在广义指数项条件下,应用上下解方法,讨论了在各种条件下方程解的整体存在性和爆破性质。 In this paper, we consider the qualitative analysis of a class of degenerate parabolic equation of non-divergence type with non-linear and non-local boundary conditions. Under the condition of generalized exponential terms, the global existence and blow-up properties of solutions of the equation under various conditions are discussed by using the upper and lower solutions method.
徐树旺,李壮壮,邱金忠,李萌
山东师范大学数学与统计学院,山东 济南
收稿日期:2019年2月20日;录用日期:2019年3月6日;发布日期:2019年3月13日
本文考虑了一类具有非线性非局部边界条件的非散度型退化抛物方程的定性分析问题。在广义指数项条件下,应用上下解方法,讨论了在各种条件下方程解的整体存在性和爆破性质。
关键词 :比较原理,上下解,非散度型退化抛物方程
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本文我们讨论具有非局部边界条件的非散度型退化抛物方程
{ u t = f ( u ) ( Δ u + a ∫ Ω u γ ( x , t ) d x ) , x ∈ Ω , t > 0 , u ( x , t ) = ∫ Ω g ( x , y ) u l ( y , t ) d y , x ∈ ∂ Ω , t > 0 , u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , x ∈ Ω , (1.1)
其中 a , l , γ > 0 , Ω 是 R N ( N ≥ 1 ) 中具有光滑边界 ∂ Ω 的有界区域,并作如下假设:
(H1) u 0 ( x ) ∈ C 2 + α ( Ω ) ∩ C ( Ω ¯ ) , α ∈ ( 0 , 1 ) , u 0 ( x ) > 0 , x ∈ Ω ,且
u 0 ( x ) = ∫ Ω g ( x , y ) u 0 l ( y ) d y , x ∈ ∂ Ω ;
(H2) 当 x ∈ ∂ Ω , y ∈ Ω ¯ 时, g ( x , y ) 是连续非负函数,且 g ( x , y ) ≡ 0 ;
(H3) f ( s ) ∈ C ( 0 , ∞ ) ∩ C 1 ( 0 , ∞ ) , f ( s ) > 0 , f ′ ( s ) ≥ 0 , s ∈ ( 0 , ∞ ) 。
对具有齐次Dirichlet边界条件的非线性抛物方程解的研究已经有很多结果。例如,在文献 [
u t = f ( u ) ( Δ u + a ∫ Ω u d x ) , (1.2)
证明了问题(1.2)没有整体解当且仅当 ∫ t 0 ∞ 1 / ( s f ( s ) ) d s < ∞ 且 ∫ Ω φ ( x ) d x < 1 / a ,这里
φ ( x ) 是如下线性椭圆问题的唯一正解
− Δ φ = 1 , x ∈ Ω ; φ ( x ) = 0 , x ∈ ∂ Ω . (1.3)
然而,有一些重要的物理现象可以用非局部数学模型来解释,例如热弹性力学中的一些现象。在这种情况下,解 u ( x , t ) 描述了每体积材料的熵。自Friedman [
{ u t = Δ u + g ( x , u ) , x ∈ Ω , t > 0 , u ( x , t ) = ∫ Ω f ( x , y ) u ( y , t ) d y , x ∈ ∂ Ω , t > 0 , (1.4)
作者建立了问题(1.4)作者建立了局部解的存在性、整体存在性和不存在性及爆破性质的讨论解决办法。再者,作者导出了 g ( s ) = s p ( p > 1 ) 时的统一爆破估计。
具有局部化源项的非线性抛物方程出现在研究流体通过具有内部局部源的多孔介质的流动以及研究种群动力学等问题中。例如,Chen等人在 [
{ u t = f ( u ) ( Δ u + a u ( x 0 , t ) ) , x ∈ Ω , t > 0 , u ( x , t ) = ∫ Ω g ( x , y ) u ( y , t ) d y , x ∈ ∂ Ω , t > 0 , u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , x ∈ Ω , (1.5)
在适当的条件下,作者得到了问题(1.5)的爆破准则。当 f ( u ) 取特殊情形时,他们还得到了一致爆破估计。
钟光胜在 [
本篇文章在 [
我们讨论了上述问题的解的性质,本文的主要结果如下:
定理1.1:假设 0 < l ≤ 1 ,且 ∫ Ω g ( x , y ) d y < 1 , x ∈ ∂ Ω ,
1) 如果 a 充分小,那么问题(1.1)的解整体存在;
2) 如果 a 充分大,且存在某个正数 δ 使得 ∫ δ + ∞ 1 / ( s f ( s ) ) d s = + ∞ ,那么问题(1.1)的解整体存在。
定理1.2:假设 l > 1 , γ ≥ 1 且 ∫ Ω g ( x , y ) d y < 1 , x ∈ ∂ Ω ,如果 a 及 u 0 ( x ) 足够小,那么问题(1.1)的解整体存在;而如果 a 及 u 0 ( x ) 足够大,且存在某正数 δ ,使得对关于 f ( x ) 积分 ∫ δ + ∞ 1 / ( s f ( s ) ) d s < + ∞ ,那么问题(1.1)的解在有限时刻爆破。
定理1.3:假设 l > 1 , γ ≥ 1 且 ∫ Ω g ( x , y ) d y ≥ 1 , x ∈ ∂ Ω ,如果对某常数 δ > 0 ,有 ∫ δ + ∞ 1 / ( s f ( s ) ) d s < + ∞ ,那么对大初值 u 0 ( x ) ,问题(1.1)的解在有限时刻爆破。
假设
的解。那么有
定理1.4:如果对某常数
下面是关于问题(1.1)上下解的定义,其中
定义2.1:称
类似的,通过改变上式中不等号的方向,可以得到问题(1.1)的上解
为了建立问题的比较原理。我们先给一个相应的最大值原理 [
引理2.1:假设
这里
证明:由于(2.2)式是非局部非退化方程,故我们以完备性给出证明。假设
且有
另一方面,注意到
引理2.2:考虑
证明:若
设
若
显然
从而易知
引理2.3:假设
证明:由于
以及
那么在
这里
令
因为
定理1.1的证明
1) 设
的唯一正解,这里
定义函数
这里
另一方面,对于
选取
2) 考虑常微分方程
这里
定义
对于
对于
令
对于
令
另一方面,对于
这里使用了条件
而对于
这说明
定理1.2的证明
关于解整体存在的证明类似于定理5.1.1中第一种情形。对于任意给定的正数
下面我们证明解的爆破结果。为此,先引入椭圆问题
在假设(H2)及
记
考虑常微分方程
则其解
如果
定义函数
对于
对于
而对于
不等式(3.11)~(3.13)表明
定理1.3的证明
设
的解,其中
令
对于
而对于
不等式(3.14)~(3.17)表明
在给出定理1.4的证明之前,我们先介绍如下的引理。
先引入椭圆问题
令
引理3.1:
定义
证明:令
则
由于
考虑上述线性椭圆方程问题在域
显然
定理1.4的证明
考虑如下问题:
由引理(3.1)及
令
则
令
对
其中
这蕴含着(因为
由
记
由(3.19)和
另有
由此,积分(3.20)式从0至
因此
这表明
山东师范大学本科生科研基金。
徐树旺,李壮壮,邱金忠,李 萌. 具有非线性非局部边界条件的非散度型退化抛物方程的定性分析 Qualitative Analysis of Nondivergent Degraded Parabolic Equations with Nonlinear Nonlocal Boundary Condition[J]. 理论数学, 2019, 09(02): 164-173. https://doi.org/10.12677/PM.2019.92021