本文建立了均以5为个位数的两整数相乘的简化算法,特别方便口算、速算,在实际社会生活中具有一定的应用价值。 This paper establishes a simplified algorithm that multiplies two integers with a single digit of 5, which is especially convenient for oral calculation and quick calculation. It has practical application value in social life.
胡文祥1,2,3*,杨萱平1,4,胡曌玺1,4
1北京神剑天军医学科学院京东祥鹄微波化学联合实验室,北京
2武汉工程大学化工与制药学院,湖北 武汉
3中国人民解放军战略支援部队航天系统部,北京
4北京祥鹄科技发展有限公司,北京
收稿日期:2019年2月25日;录用日期:2019年3月12日;发布日期:2019年3月19日
本文建立了均以5为个位数的两整数相乘的简化算法,特别方便口算、速算,在实际社会生活中具有一定的应用价值。
关键词 :整数,乘积,个位数5,简化算法,推广应用
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建立一些简化算法,方便于学生和人们口算、速算,在教学研究领域及教学实践中均具有较重要的实际意义。
均以5为个位数的两个相同整数之积(即该整数的平方)是可以按照已有简化算法速算的,并受到普通百姓的普遍欢迎 [
但是如果两个整数不相同,如15 × 35,65 × 85等,那应该怎样简化计算呢?
要寻求均以5为尾数的两个不相同整数乘积的简化算法,可先从两个相同整数之积进行分析:
n 5 × n 5 = [ n ( n + 1 ) ] 25 = [ n × n + n + n 2 ] 25
那么n5 × (n + 1) 5就可以表示为:
n 5 × ( n + 1 ) 5 = [ n ( n + 1 ) + n ] 75 = [ n × ( n + 1 ) + n + ( n + 1 ) − 1 2 ] 75
同样:
n 5 × ( n + 2 ) 5 = [ n × ( n + 2 ) + n + ( n + 2 ) 2 ] 25
n 5 × ( n + 3 ) 5 = [ n × ( n + 3 ) + n + ( n + 3 ) − 1 2 ] 75
n 5 × ( n + 4 ) 5 = [ n × ( n + 4 ) + n + ( n + 4 ) 2 ] 25
n 5 × ( n + 5 ) 5 = [ n × ( n + 5 ) + n + ( n + 4 ) − 1 2 ] 75
……
这样,我们就可以得到一个通式:
n 5 × m 5 = [ n × m + n + m 2 ] 25 (1)
n 5 × m 5 = [ n × m + n + m − 1 2 ] 75 当m, n只有一个为奇数 (2)
或者用另外一种表达方式:
n 5 × m 5 = [ n × ( m + 1 ) + m − n 2 ] 25 (3)
n 5 × m 5 = [ n × ( m + 1 ) + m − n − 1 2 ] 75 当m, n只有一个为奇数 (4)
(3) (4)与(1) (2)完全等价。
(1) (2)式用文字可以表述为: n 5 × m 5 等于m与n的积再加上m + n的平均数,尾跟25,或当m, n
有一个为奇数时,尾跟75,而且平均数是两个数之和减1后的平均数: n + m − 1 2 。
当m, n为0时,5 × 5 = 25,公式(1)或(3)均成立。
当m, n相同时, n 5 × n 5 = [ ( n × n + n ) ] 25 = [ n ( n + 1 ) ] 25 ,还原成老百姓常用的简化算法了。
对于均以5为尾数的任意两整数之积,上述公式均是适用的,这一点可用数字归纳法证明(略)。
例如,对于45 × 85,应用公式(1),其积为:
45 × 85 = [ 4 × 8 + 4 + 8 2 ] 25 = 3825
又如,对于65 × 75,应用公式(2),其积为:
65 × 75 = [ 6 × 7 + 6 + 7 − 1 2 ] 75 = 4875
此处上述公式还可推广应用不是以5为尾数的两整数相乘。
例如, 55 × 43 = 55 × 45 − 55 × 2 = 2475 − 110 = 2365
又如: 35 × 88 = 35 × ( 85 + 3 ) = 35 × 85 + 35 × 3 = 2975 + 105 = 3080
这样的例子还可以举出很多,这样十分方便口算、速算,不仅适用于学生,也适用于社会普通老百姓。
另外一种算法,就是将两数之积变为2个相同数的平方,再加上剩余部分,如:
35 × 45 = 35 × ( 35 + 10 ) = 35 × 35 + 35 × 10 = 1575
但是对于m与n相差较大时,该方法不如上述公式(1) (2)或(3) (4)来得方便,如:
35 × 95 = 35 × ( 35 + 60 ) = 35 × 35 + 35 × 60 = 1225 + 2100 = 3325
这不如应用公式(1)来得方便。
35 × 95 = [ 3 × 9 + 3 + 9 2 ] 25 = 3325
由上述可见,公式(1)和(2)是适用于均以5为尾数的任意两个整数之间相乘积的简化计算的,对于尾数非5的整数之计算,也可作适当变换,再利用公式(1)或(2)来加快计算速度,便于口算,具有一定的实用价值。
这里想借用英国伟大的哲学家、实验科学的创始人弗兰西斯·培根的话作为本文的结束语:读史使人明智,读诗使人巧慧,数学使人精明,博物使人深沉,伦理之学使人庄重,逻辑与修辞使人善辩 [
胡文祥,杨萱平,胡曌玺. 均以5为尾数的两整数之积的简化算法A Simplified Algorithm for the Product of Two Integers with a Mantissa of 5[J]. 交叉科学快报, 2019, 03(01): 11-14. https://doi.org/10.12677/ISL.2019.31003