令G是一个边数不小于1的图。我们称图G的线图L(G)的补图为跳图,记作J(G)。图G的Wiener指标是图G中所有点对的距离之和。在本文中,我们确定了图J(G)的Wiener指标,其中图J(G)是连通的。 Let G be a graph of size q ≥ 1. The jump graph J(G) of G is the complement of the line graph L(G) of G. The Wiener index W(G) of G is the sum of the distances between all pairs of vertices in G. In this paper, we determine the Wiener index of J(G), where J(G) is connected.
陈小红,李中华,安新慧
新疆大学,数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐
收稿日期:2019年3月5日;录用日期:2019年3月20日;发布日期:2019年3月27日
令G是一个边数不小于1的图。我们称图G的线图L(G)的补图为跳图,记作J(G)。图G的Wiener指标是图G中所有点对的距离之和。在本文中,我们确定了图J(G)的Wiener指标,其中图J(G)是连通的。
关键词 :线图,跳图,Wiener指标
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本篇文章中所有的图都限定为无向的简单图。相关的术语和符号可以参考文献 [
G = ( V ( G ) , E ( G ) ) 是一个简单图,其中 V ( G ) 是图G的顶点集, E ( G ) 是图G的边集,我们分别用 v ( G ) 和 e ( G ) 记作 | V ( G ) | 和 | E ( G ) | 的阶。通常我们用 P n 表示阶为n的路。对于 V ( G ) 中的每一个点v,用 N G ( v ) 表示与点v相邻的所有顶点的集合,称为v的邻点集。 d G ( v ) = | N G ( v ) | 称为点v的度数。一般地,我们用 H ⊆ G 表示H是图G的一个子图或者表示H同构于G中的一个子图。
在一个连通图G中,记 d G ( u , v ) 为G中任意两个点 u 和v之间的距离(两点之间最短路的长度), W ( G ) 为图G的Wiener指标,定义为 W ( G ) = 1 2 ∑ u , v ∈ V ( G ) d G ( u , v ) 。
这个概念最初是由Harry Wiener在文献 [
L ( G ) 为图G的线图,其中 V ( L ( G ) ) = E ( G ) 并且对于任意两个点在 L ( G ) 中相邻当且仅当这两个点对应的边在G中相邻。 G ¯ 为图G的补图,其中 V ( G ¯ ) = V ( G ) 并且对于任意两个点u和v在 G ¯ 中相邻当且仅当u和v在G中不相邻。在文献 [
一些跳图是哈密顿的充分条件。吴和孟在文献 [
在文献 [
在文献 [
定理2.1.1 [
在文献 [
定理2.1.2 [
1) d i a m ( J ( G ) ) = 1 当且仅当 Δ ( J ( G ) ) = 1 ;
2) d i a m ( J ( G ) ) = 4 当且仅当:
a) G包含一个子图 C 4 + , C 4 + 是由给 C 4 ( V ( C 4 ) = { u , v , w , x } ) 中的点u加一个新的邻点,
b) 如果G中存在一条边关联v或x,则这条边必须是vx。此外,如果 u , w ∈ E ( G ) ,则 v x ∈ E ( G ) ,
c) G中任意一条除 C 4 以外的边都与u关联;
3) d i a m ( J ( G ) ) = 3 当且仅当:
a) G包含 P 5 ,
b) 对于G中任意一条不在 P 5 上的边必有一个端点在 P 5 的2度顶点上,
c) 同时G不满足(2)中的情况;
4) d i a m ( J ( G ) ) = 2 ,其他。
在本文,我们主要根据上面对线图的补图的刻画来计算线图的补图的Wiener指标。
引理2.2.1 如果 d i a m ( J ( G ) ) ≤ 2 , e ( G ) = m , v ( G ) = n ,则 W ( G ) = n ( n − 1 ) − m 。
证明:因为 d i a m ( J ( G ) ) ≤ 2 ,所以对于任意的点 u , v ∈ V ( G ) ,u和v之间的距离为1或2。因此
W ( G ) = m + 2 ( ( n 2 ) − m ) = n ( n − 1 ) − m .
定理2.2.2对于一个边数为m的图G,如果 d i a m ( J ( G ) ) ≤ 2 ,则
W ( J ( G ) ) = 1 2 m ( m − 3 ) + 1 2 ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 (v)
证明:因为 e ( J ( G ) ) + e ( L ( G ) ) = ( m 2 ) ,所以
e ( J ( G ) ) = ( m 2 ) − e ( L ( G ) ) = 1 2 m ( m − 1 ) − e ( L ( G ) ) ,
其中 e ( L ( G ) ) = ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) = 1 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G 2 ( v ) − d G ( v ) ) = 1 2 ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) − m 。
所以由引理2.2.1知:
W ( J ( G ) ) = m ( m − 1 ) − e ( J ( G ) ) = 1 2 m ( m − 1 ) + e ( L ( G ) ) = 1 2 m ( m − 3 ) + 1 2 ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) .
由定理2.1.2知:当 d i a m ( J ( G ) ) = 3 ,则图G的结构如图1所示。
令 V ′ 和 E ′ 分别作为 P 5 的顶点集和边集,且 V ′ = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 } , E ′ = { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } 。假设 d G ( v 2 ) = d 2 + 2 , d G ( v 3 ) = d 3 + 2 , d G ( v 4 ) = d 4 + 2 并且 | N G ( v 2 ) n ∩ N G ( v 3 ) | = n 1 , | N G ( v 3 ) n ∩ N G ( v 4 ) | = n 2 , | N G ( v 2 ) n ∩ N G ( v 4 ) | = n 3 ,显然 n 1 ≤ min { d 2 , d 3 } , n 2 ≤ min { d 3 , d 4 } , n 3 ≤ min { d 2 , d 4 } 。
定理2.3.1对于一个边数为m的图G,如果 d i a m ( J ( G ) ) = 3 ,则
W ( J ( G ) ) = d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 + d 2 d 3 + d 3 d 4 + d 2 d 4 + 5 ( m − 4 ) − ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) + 2 ( n 1 + n 2 ) + 2 n 3 + 10 ,
其中 m − 4 = d 2 + d 3 + d 4 且 n 1 + n 2 + n 3 ≤ m − 4 。
图1. P 5 +
证明:首先 W ( J ( P 5 ) ) = W ( P 4 ) = 10 。
如果 G ≠ P 5 ,对于任意边 v i x ∈ E ( G ) ( i = 2 , 3 , 4 ) 且 x ∉ V ′ ,则在 J ( G ) 中 v i x 到 v 1 v 2 , v 2 v 3 , v 3 v 4 , v 4 v 5 的距离之和为6。令 S = V ( G ) \ V ′ 且 M = E ( G ) \ E ′ 。有
W ( J ( G ) ) = W ( J ( P 5 ) ) + 6 ( m − 4 ) + W ( M ) ,
其中 W ( M ) = ∑ i , j ∈ { 2 , 3 , 4 } , x , y ∈ S d J ( G ) ( v i x , v j y ) 。
现在我们来计算 W ( M ) :
对于任意边 v 2 x , v 3 x ∈ E ( G ) 和 v 3 y , v 4 y ∈ E ( G ) 其中 x , y ∈ S ,则 d J ( G ) ( v 2 x , v 3 x ) = d J ( G ) ( v 3 y , v 4 y ) = 2 。因此
W 11 = ∑ x ∈ S d J ( G ) ( v 2 x , v 3 x ) + ∑ y ∈ S d J ( G ) ( v 3 y , v 4 y ) = 2 ( n 1 + n 2 ) .
对于任意边 v 2 x , v 4 x ∈ E ( G ) ( x ∈ S ) ,则 d J ( G ) ( v 2 x , v 4 x ) = 3 。因此
W 12 = ∑ x ∈ S d J ( G ) ( v 2 x , v 4 x ) = 3 n 3 .
对于任意边 v i x , v j y ∈ E ( G ) ( x , y ∈ S , i , j ∈ { 2 , 3 , 4 } 且 i ≠ j ) ,则 d J ( G ) ( v i x , v j y ) = 1 。因此
W 13 = ∑ i , j ∈ { 2 , 3 , 4 } , i ≠ j x , y ∈ S , x ≠ y d J ( G ) ( v i x , v j y ) = d 2 d 3 + d 2 d 4 + d 3 d 4 − ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) .
对于任意边 v i x , v i y ∈ E ( G ) ( x , y ∈ S , i ∈ ( 2 , 3 , 4 ) ) ,则 d J ( G ) ( v i x , v i y ) = 2 。因此
W 14 = ∑ i ∈ { 2 , 3 , 4 } , x , y ∈ S d J ( G ) ( v 2 x , v 4 y ) = d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 − ( d 2 + d 3 + d 4 ) .
综上所述:
W ( M ) = W 11 + W 12 + W 13 + W 14 = d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 + d 2 d 3 + d 2 d 4 + d 3 d 4 − ( m − 4 ) − ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) + 2 ( n 1 + n 2 ) + 3 n 3 .
因此
W ( J ( G ) ) = d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 + d 2 d 3 + d 2 d 4 + d 3 d 4 + 5 ( m − 4 ) − ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) + 2 ( n 1 + n 2 ) + 3 n 3 + 10 .
由定理2.1.2知:当 d i a m ( J ( G ) ) = 4 ,G有三种结构形式 G n , H n 和 F n ,如图2所示。
V ( G n ) = { u , v , w , x , y 1 , ⋯ , y n − 4 } , E ( G n ) = { u v , u w , w x , x u } ∪ { u y i | 1 ≤ i ≤ n − 4 } .
V ( H n ) = { u , v , w , x , y 1 , ⋯ , y n − 4 } , E ( H n ) = { u v , u w , w x , x u , v x } ∪ { u y i | 1 ≤ i ≤ n − 4 } .
V ( F n ) = { u , v , w , x , y 1 , ⋯ , y n − 4 } , E ( F n ) = { u v , u w , w x , x u , v x , u w } ∪ { u y i | 1 ≤ i ≤ n − 4 } .
图2. G n , H n 和 F n
定理2.4.1 对于一个点数为n的图G,如果 d i a m ( J ( G ) ) = 3 ,则
W ( J ( G ) ) = { n 2 − 3 n + 10 , 若 G ≅ G n ; n 2 − 2 n + 11 , 若 G ≅ H n ; n 2 + 23 , 若 G ≅ F n .
证明:对于任意图G,如果 G ≅ G n ,则对于任意边
W 21 = ∑ i , j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n − 4 } d J ( G ) ( u y i , u y j ) = 2 ( n − 4 2 ) = n 2 − 9 n + 20 .
对于任意边 u y i , u v , u x ∈ E ( G ) ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n − 4 } ) ,则 d J ( G ) ( u y i , u v ) = d J ( G ) ( u y i , u x ) = 2 。因此
W 22 = ∑ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n − 4 } d J ( G ) ( u y i , u v ) + ∑ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n − 4 } d J ( G ) ( u y i , u x ) = 2 × 2 ( n − 4 ) = 4 n − 16 .
对于任意边 u y i , w v , w x ∈ E ( G ) ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n − 4 } ) ,显然 d J ( G ) ( u y i , w v ) = d J ( G ) ( u y i , w x ) = 1 。因此
W 23 = ∑ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n − 4 } d J ( G ) ( u y i , w v ) + ∑ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n − 4 } d J ( G ) ( u y i , w x ) = 2 × ( n − 4 ) = 2 n − 8 .
同理, d J ( G ) ( u x , x w ) = d J ( G ) ( u v , v w ) = 3 , d J ( G ) ( u x , u v ) = 4 , d J ( G ) ( w v , w x ) = 2 , d J ( G ) ( w x , u v ) = d J ( G ) ( u x , v w ) = 1 。
综上所述:
W ( M ) = W 21 + W 22 + W 23 + d J ( G ) ( u x , x w ) + d J ( G ) ( u v , v w ) + d J ( G ) ( u x , u v ) + d J ( G ) ( w v , w x ) + d J ( G ) ( w x , u v ) + d J ( G ) ( u x , v w ) = n 2 − n + 20 + 4 n − 16 + 2 n − 8 + 2 × 3 + 4 + 2 + 2 × 1 = n 2 − 3 n + 10 .
根据上面的方法我们得到,若 G ≅ H n 或 G ≅ F n ,有
W ( J ( G ) ) = { n 2 − 2 n + 11 , 若 G ≅ H n ; n 2 + 23 , 若 G ≅ F n .
国家自然科学基金青年科学基金(NO. 11801487)。
陈小红,李中华,安新慧. 线图的补图的Wiener指标Wiener Index of Complements of Line Graphs[J]. 应用数学进展, 2019, 08(03): 569-574. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.83063