图G的变换图G---的顶点集为V(G)∪E(G),图G---中任意两顶点u,v∈V( G ---)只需满足下面任意一个条件便可以连边:1) u,v∈V(G),它们在图G中不相邻,2) u,v∈E(G),它们在图G中不相邻,3) u∈V(G), v∈E(G),它们在图G中不关联。图G的Wiener指标是图G中所有点对的距离之和。在本文中,我们确定了变换图G---是连通图时的Wiener指标。 The transformation graph G--- of a graph G is the graph with vertex set V(G)∪E(G), in which two vertices u and v are joined by an edge if one of the following conditions holds: 1) u,v∈V(G) and they are not adjacent in G, 2) u,v∈E(G) and they are not adjacent in G, 3) one of u and v is in V(G) while the other is in E(G), and they are not incident in G. The Wiener index W(G) of G is the sum of the distances between all pairs of vertices in G. In this note, for any graph G, we de-termine the Wiener index of G---, when G--- is connected.
赵艳华
新疆大学,数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐
收稿日期:2019年4月3日;录用日期:2019年4月18日;发布日期:2019年4月25日
图G的变换图G---的顶点集为 V ( G ) ∪ E ( G ) ,图G---中任意两顶点 u , v ∈ V ( G − − − ) 只需满足下面任意一个条件便可以连边:1) u , v ∈ V ( G ) ,它们在图G中不相邻,2) u , v ∈ E ( G ) ,它们在图G中不相邻,3) u ∈ V ( G ) , v ∈ E ( G ) ,它们在图G中不关联。图G的Wiener指标是图G中所有点对的距离之和。在本文中,我们确定了变换图G---是连通图时的Wiener指标。
关键词 :变换图,Wiener指标
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本篇文章中所有的图都为无向的简单图。所用到的符号和术语参考文献 [
在一个连通图 G 中,用 d G ( u , v ) 表示 G 中任意两个顶点u和v之间的距离(两点之间最短路的长度),图 G 的Wiener指标是指图 G 中所有顶点对的距离之和,即 W ( G ) = ∑ u , v ∈ V ( G ) d G ( u , v ) 。在不引起歧义的情况下,我们把 d G ( v ) , d G ( u , v ) 分别简记为 d ( v ) , d ( u , v ) 。
这个概念最初是由Harry Wiener在1947年的文献 [
吴和孟在文献 [
在本文中,我们将根据吴和孟的结果确定连通的变换图 G --- 的Wiener指标。
在文献 [
定理2.1.1: [
当图 G 是星图或者是三角形的时候,图 G --- 是不连通的。由定理2.1.1的证明过程可知,当 u , v ∈ V ( G ) 时, d ( u , v ) ≤ 3 ;当 u , v ∈ E ( G ) 时, d ( u , v ) ≤ 2 ;当 u ∈ V ( G ) , v ∈ E ( G ) 时, d ( u , v ) ≤ 3 。而且当 diam ( G − − − ) = 3 ,我们有图 G 的结构(如图1所示)。
如图1(1)中,在其变换图中距离是3的顶点对为 u , v ;如图1(2)中,在其变换图中距离是3的顶点对为 u , v 、 u , w 、 u , u v 及 u , u w ;如图1(3)中,在其变换图中距离是3的顶点对为 u , v 、 u , u v ;如图1(4)中,在其变换图中距离是3的顶点对为 u , v 、 u , u v 及 v , v u 。
在本文,我们主要根据上面直径求变换图 G − − − 的Wiener指标。
当顶点 u 和边 e 关联时,我们记为 m u e = 1 ,当边 e , f 相邻时记为 m e f = 1 。否则,我们分别记为 m u v = 0 , m e f = 0 。
图1. diam ( G − − − ) = 3
定理2.2.1:如果图 G 的顶点的阶数为 n ,边的阶数为 m ,且 diam ( G − − − ) ≤ 2 ,则
W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n .
证明:记 u , v 为图 G 中任意两个顶点, e , f 为图 G 中任意两条边, V ( G − − − ) = { u 1 , u 2 , ⋯ u m + n } 。在图 G 相邻边的个数为 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ,又因为 diam ( G − − − ) ≤ 2 ,所以对于任意的点 u 1 , u 2 ∈ V ( G − − − ) , u 1 和 u 2 之间的距离为1或2。因此,由Wiener指标的定义可知:
W ( G − − − ) = ∑ u , v d G − − − ( u , v ) + ∑ u , e d G − − − ( u , e ) + ∑ e , f d G − − − ( e , f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u , v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u , v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u , e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u , e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e , f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e , f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 m ) + ( m n − 2 m + 4 m ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n .
定理2.3.1:如果图 G 的边数为 m ,顶点数为 n ,当 diam ( G − − − ) = 3 时,则具有图1四类图中的某一种结构,且对应的Wiener指标分别为
1) W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 1
2) W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 4
3) W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 2
4) W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 3
证明:首先由定理2.1.1的证明可以知道,直径可以达到3的变换图 G − − − 的原图 G 的结构只有图1中四种结构。下面分别给出它们的Wiener指标。
对于图1(1),容易看出图 G − − − 中距离是3的点对只有 u , v 。从而
W ( G − − − ) = ∑ u , v d G − − − ( u , v ) + ∑ u , e d G − − − ( u , e ) + ∑ e , f d G − − − ( e , f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u , v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u , v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u , e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u , e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e , f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e , f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 ( m − 1 ) + 3 ) + ( m n − 2 m + 4 m ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 1.
对于图1(2),容易看出图 G − − − 中距离是3的顶点对为 u , v ; u , w ; u , u v 及 u , u w 。从而
W ( G − − − ) = ∑ u , v d G − − − ( u , v ) + ∑ u , e d G − − − ( u , e ) + ∑ e , f d G − − − ( e , f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u , v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u , v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u , e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u , e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e , f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e , f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 ( m − 2 ) + 3 × 2 ) + ( m n − 2 m + 2 ( 2 m − 2 ) + 3 × 2 ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 4.
对于图1(3),容易看出图 G − − − 中距离是3的顶点对为 u , v 和 u , u v 。从而
W ( G − − − ) = ∑ u , v d G − − − ( u , v ) + ∑ u , e d G − − − ( u , e ) + ∑ e , f d G − − − ( e , f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u , v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u , v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u , e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u , e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e , f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e , f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 ( m − 1 ) + 3 ) + ( m n − 2 m + 2 ( 2 m − 1 ) + 3 ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 2.
对于图1(4),容易看出图 G − − − 中距离是3的顶点对为 u , v ; u , u v 及 v , v u 。从而
W ( G − − − ) = ∑ u , v d G − − − ( u , v ) + ∑ u , e d G − − − ( u , e ) + ∑ e , f d G − − − ( e , f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u , v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u , v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u , e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u , e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e , f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e , f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 ( m − 1 ) + 3 ) + ( m n − 2 m + 2 ( 2 m − 2 ) + 3 × 2 ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 3.
赵艳华. 变换图G---的Wiener指标Wiener Index of Transformation Graph G---[J]. 应用数学进展, 2019, 08(04): 703-707. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.84080