利用Leggett-Williams不动点定理研究一类离散具p-Laplace算子Sturm-Liouville型边值问题,给出问题至少存在三个正解的几个充分条件。 By using the Leggett-Williams fixed point theorem, a class of discrete Sturm-Liouville-like p-Laplacian boundary value problem is studied and some sufficient conditions for the existence of at least three positive solutions for the boundary value problem are obtained.
张萌,姜洪冰
济南大学泉城学院大学数学教学部,山东 蓬莱
收稿日期:2019年4月6日;录用日期:2019年4月21日;发布日期:2019年4月28日
利用Leggett-Williams不动点定理研究一类离散具p-Laplace算子Sturm-Liouville型边值问题,给出问题至少存在三个正解的几个充分条件。
关键词 :Sturm-Liouville型边值问题,Leggett-Williams不动点定理,正解
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离散型边值问题正解的存在性因其具有实际应用背景而受到学者广泛关注和研究 [
Δ ( φ p ( Δ u ( n ) ) ) + h ( n ) f ( u ( n ) ) = 0 , n ∈ ℕ [ 0 , N ] , (1)
α u ( 0 ) − β Δ u ( ξ ) = 0 , γ u ( N + 2 ) + σ Δ u ( η ) = 0 。 (2)
其中, Δ 表示步差为1的向前差分算子, φ p ( u ) = | u | p − 2 u , p > 1 , ℕ [ 0 , N ] = { 0 , 1 , ⋯ , N } , α > 0 , β > 0 , γ > 0 , σ > 0 , ξ , η ,N为正整数,满足
0 < ξ ≤ δ γ < max { 2 δ γ , N + 2 − β α , N + 2 2 + δ 2 γ } ≤ η < N 。
记 ( φ p ) − 1 = φ q , 1 p + 1 q = 1 。函数h,f满足下列条件:
(C1): f : [ 0 , ∞ ) → ( 0 , ∞ ) 连续;
(C2):h为定义在 N [ 0 , N + 2 ] 上的非负函数。
他们借助Guo-krasnosel’ skii’s不动点定理,给出问题至少一个正解存在的若干充分条件。2012年针对该问题,张萌 [
受到前面研究启发,我们将利用Leggett-Williams不动点定理继续研究问题(1)和(2),给出至少三个正解的几个充分条件。
引理1:若 u ( n ) 是边值问题(1)和(2)的解,则存在唯一的 n 0 使得 Δ u ( n 0 ) ≥ 0 , Δ u ( n 0 + 1 ) ≤ 0 。
证明:因为 u ( n ) 边值问题(1)和(2)的解,所以 Δ u ( n ) 在 N [ 0 , N + 1 ] 上递减。若对所有的 n ∈ N [ 0 , N + 1 ] 都有 Δ u ( n ) > 0 ,则由边值条件(2)可知 u ( 0 ) > 0 , u ( N + 2 ) < 0 ,矛盾。
类似可证对 n ∈ N [ 0 , N + 1 ] , Δ u ( n ) < 0 也不成立。因此,存在 n 0 ∈ N [ 0 , N ] 使得 Δ u ( n 0 ) ≥ 0 , Δ u ( n 0 + 1 ) ≤ 0 。
唯一性若还存在 n 1 ∈ N [ 0 , N ] (不失一般性,不妨 n 1 + 1 < n 0 )满足 Δ u ( n 1 ) ≥ 0 , Δ u ( n 1 + 1 ) ≤ 0 ,则对 n ∈ N [ n 1 + 1 , n 0 ] 有 Δ u ( n ) ≡ 0 ,从而 Δ ( φ p ( Δ u ( n ) ) ) = − h ( n ) f ( u ( n ) ) ≡ 0 , n ∈ N [ n 1 + 1 , n 0 ] ,与条件(C2)矛盾。
为研究方便,令
M = max { ∑ i = 0 ξ φ q ( ∑ j = i ξ h ( j ) f ( u ( j ) ) ) , ∑ i = η N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) } ;
m = min { ∑ i = ξ + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = ξ i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) , ∑ i = 0 η − 1 φ q ( ∑ j = i η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) }
L 1 = β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h (j) )
L 2 = σ γ φ q ( ∑ j = n 0 η − 1 h ( j ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 i − 1 h (j) )
引理2:若条件(C1)~(C2)成立,对任意的 u ∈ [ 0 , + ∞ ) , M ≤ m 则
u ( n ) = { β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n − 1 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) , n ∈ N [ 0 , n 0 + 1 ] δ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = 0 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) , n ∈ N [ n 0 + 1 , N + 2 ]
为边值问题(1)和(2)的解,这里的 A u 是下列方程的唯一解
β α φ q ( y − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) = σ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − y ) + ∑ i = 0 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − y )
并且 u ( n ) 在 N [ 0 , ξ + 1 ] 递增, N [ η , N + 2 ] 递减。
证明:我们仅证明 u ( n ) 在 N [ 0 , ξ + 1 ] 递增, N [ η , N + 2 ] 递减,其他可见参考文献 [
若 u ( n ) 在 N [ 0 , ξ + 1 ] 非增,则存在 n 0 ∈ N [ 0 , ξ − 1 ] 使得 Δ u ( n 0 ) ≥ 0 , Δ u ( n 0 + 1 ) ≤ 0 。从而 u ( 0 ) = β α Δ u ( ξ ) ≤ 0 , u ( N + 2 ) = σ γ Δ u ( η ) ≥ 0 。由u的表达式,知
u ( n 0 + 1 ) = β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) < ∑ i = 0 ξ φ q ( ∑ j = 0 ξ h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) = ∑ i = 0 ξ φ q ( ∑ j = i ξ h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ M ,
另一方面
u ( n 0 + 1 ) = σ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ≥ ∑ i = ξ N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) = ∑ i = ξ + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = ξ i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≥ m 。
因此, M > m ,矛盾,故 u ( n ) 在 N [ 0 , ξ + 1 ] 递增。
类似可证 u ( n ) 在 N [ η , N + 2 ] 递减。
设空间 E = { u : ℕ [ 0 , N + 2 ] → R + } ,如果对所有的 ,都成立 u 1 ( n ) ≤ u 2 ( n ) ,则 u 1 ≤ u 2 ,定义范数 ‖ u ‖ = max n ∈ ℕ [ 0 , N + 2 ] | u ( n ) | ,则E为Banach空间。
在空间E上定义锥 P : { u : u ∈ E , u ( n ) ≥ 0 , n ∈ ℕ [ 0 , N + 2 ] , Δ 2 u ( n ) ≤ 0 , n ∈ ℕ [ 0 , N ] , ∃ n 0 使 得
Δ u ( n ) ≥ 0 , n ∈ ℕ [ 0 , n 0 ] , Δ u ( n ) ≤ 0 , n ∈ ℕ [ n 0 + 1 , N + 1 ] } .
对 u ∈ P ,易知 ‖ u ‖ = u ( n 0 + 1 ) 。
定义算子 A : P → E
A u ( n ) = { β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n − 1 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) , n ∈ N [ 0 , n 0 + 1 ] δ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = 0 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) , n ∈ N [ n 0 + 1 , N + 2 ]
对 u ∈ P ,下面说明 A u ∈ P 且 ‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) 。
事实上
Δ A u ( n ) = { φ q ( A u − ∑ j = 0 n − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≥ 0 , n ∈ N [ 0 , n 0 ] φ q ( A u − ∑ j = 0 n − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ 0 , n ∈ N [ n 0 , N + 1 ] ,
Δ 2 A u ( n ) = − h ( n ) f ( u ( n ) ) ≤ 0 ,故易知 A : P → P 且全连续。
引理3: [
引理4: [
引理5: [
(i) { x ∈ P ( ψ , a , b ) : ψ ( x ) > a } ≠ ∅ 且 ψ ( A x ) > a , x ∈ P ( ψ , a , b ) ;
(ii) ‖ A x ‖ < d , ‖ x ‖ ≤ d ;
(iii) 对于 x ∈ P ( ψ , a , c ) 且 ‖ A x ‖ > b ,有 ψ ( A x ) > a 。
则A至少有三个不动点 x 1 , x 2 与 x 3 ,且满足
‖ x 1 ‖ < d , a < ψ ( x 2 ) , ‖ x 3 ‖ > d 和 ψ ( x 3 ) < a 。
定义非负连续凹泛函 ϕ : P → [ 0 , ∞ )
ϕ ( u ) = 1 2 ( u ( w ) + u ( N + 2 − w ) ) , u ∈ P ,
则对 u ∈ P ,有 ϕ ( u ) ≤ ‖ u ‖ 。
定理1:假设存在常数 0 < a ′ < w N + 2 b ′ < b ′ < N + 2 w b ′ ≤ d ′ ,使得下列条件成立
(H1): f ( u ) < φ p ( a ′ L i ) , i = 1 , 2 , 0 ≤ u ≤ a ′ ;
(H2):存在常数 e ′ > d ′ ,使得 f ( u ) < φ p ( e ′ L i ) , i = 1 , 2 , 0 ≤ u ≤ e ′ ;
(H3): f ( u ) > φ p ( 2 b ′ w l ) , w N + 2 b ′ ≤ u ≤ d ′ ;
则边值问题(1)和(2)至少存在三个正解 u 1 , u 2 , u 3 满足 0 ≤ ‖ u 1 ‖ < a ′ , ϕ ( u 2 ) > b ′ , ‖ u 3 ‖ > a ′ , ϕ ( u 3 ) < b ′ 。
证明:由算子A的定义及性质,只需证明算子A满足引理 [
首先,若 ‖ u ‖ < a ′ ,则 ‖ A u ‖ < a ′ 。事实上,若 u ∈ P a ′ ¯ ,则由(H1)知,
Δ A u ( n ) = { φ q ( A u − ∑ j = 0 n − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≥ 0 , n ∈ N [ 0 , n 0 ] φ q ( A u − ∑ j = 0 n − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ 0 , n ∈ N [ n 0 , N + 1 ] ‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) = β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ a ′ L 1 [ β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h ( j ) ) ] = a ′ ,
和
‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) = δ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ≤ δ γ φ q ( ∑ j = n 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ a ′ L 2 [ β α φ q ( ∑ j = n 0 η − 1 h ( j ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 i − 1 h ( j ) ) ] < a ′ 。
同理,条件(H2)保证,存在常数 c ′ > d ′ ,使得
A : P c ′ ¯ → P c ′ ¯ 。 (3)
由条件(H2)和(3)式易知,取 e ′ = c ′ 即可。
其次证明引理 [
注意到 ϕ ( u ( t ) ) = ϕ ( b ′ + d ′ 2 ) = b ′ + d ′ 2 > b ′ ,因此 { u ∈ P ( ϕ , b ′ , d ′ ) : ϕ ( u ) > b ′ } ≠ ∅ 。
令 u ∈ P ( ϕ , b ′ , d ′ ) ,则 ϕ ( u ) > b ′ ,因此有 b ′ ≤ ‖ u ‖ ≤ d ′ ,由引理 [
若 n 0 + 1 ∈ ( 0 , w ] ,则对任意的 u ∈ P ( ϕ , b ′ , d ′ ) ,有
ϕ ( A u ) = 1 2 ( A u ( w ) + A u ( N + 2 − w ) ) ≥ A u ( N + 2 − w ) ≥ β α φ q ( ∑ j = n 0 + 1 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 + 1 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≥ ∑ N + 2 − w N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 + 1 N + 1 − w h ( j ) f ( u ( j ) ) ) > 2 b ′ w l w φ q ( ∑ j = n 0 + 1 N + 1 − w h ( j ) ) > b ′ ,
若 n 0 + 1 ∈ ( w , N + 2 − w ) ,则对 u ∈ P ( ϕ , b ′ , d ′ ) ,有
2 ϕ ( A u ) = A u ( w ) + A u ( N + 2 − w ) ≥ ∑ i = 0 w − 1 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = N + 2 − w N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ≥ ∑ i = 0 w − 1 φ q ( ∑ j = i n 0 − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = N + 2 − w N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 + 1 N + 1 − w h ( j ) f ( u ( j ) ) ) > 2 b ′ w l w [ φ q ( ∑ j = w − 1 n 0 − 1 h ( j ) ) + φ q ( ∑ j = n 0 + 1 N + 1 − w h ( j ) ) ] > 2 b ′ ,
从而 ϕ ( A u ) > b ′ 。
若 n 0 + 1 ∈ [ N + 2 − w , N + 2 ] ,则对任意的 u ∈ P ( ϕ , b ′ , d ′ ) ,有
ϕ ( A u ) = 1 2 ( A u ( w ) + A u ( N + 2 − w ) ) ≥ A u ( w ) ≥ ∑ i = 0 w − 1 φ q ( ∑ j = 0 n 0 − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) = ∑ i = 0 w − 1 φ q ( ∑ j = i n 0 − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) > 2 b ′ w l w φ q ( ∑ j = w − 1 n 0 − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) > b ′ ,
因此,对任意的 u ∈ P ( ϕ , b ′ , d ′ ) ,有 ϕ ( A u ) > b ′ 。
最后验证引理 [
ϕ ( A u ) = A u ( w ) + A u ( N + 2 − w ) ≥ w N + 2 ‖ A u ‖ > w N + 2 d ′ ≥ b ′ 。
综上所述边值问题(1)和(2)至少存在三个正解 u 1 , u 2 , u 3 满足 0 ≤ ‖ u 1 ‖ < a ′ , ϕ ( u 2 ) > b ′ , ‖ u 3 ‖ > a ′ , ϕ ( u 3 ) < b ′ 。
定理2:如果把定理1的条件(H2)替换成
( H ′ 2 ): lim sup u → ∞ < φ p ( 1 L i ) , i = 1 , 2 。
则定理1的结论依然成立。
证明:只需证明存在常数 c ′ 使得 c ′ > d ′ , A : P c ′ ¯ → P c ′ ¯ 。
由条件( H ′ 2 )知存在 M ′ , ε < φ p ( 1 L i ) 使得
f ( u ) φ p ( u ) ≤ ε , u ≥ M ′ 。 (4)
令 G = max u ∈ [ 0 , M ′ ] f ( u ) ,由(4)式易得
f ( u ) ≤ G + ε φ p ( u ) , u ≥ 0 。 (5)
取 c ′ 满足
φ p ( c ′ ) > max { φ p ( d ′ ) , G ( φ p ( 1 L 1 − ε ) ) − 1 , G ( φ p ( 1 L 2 − ε ) ) − 1 } 。 (6)
则对任意的 u ∈ P c ′ ¯ ,由(5)式和(6)式可得
‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) = β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ β α φ q ( ∑ j = 0 n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = 0 n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) ( G + ε ϕ p ( u ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h ( j ) ( G + ε ϕ p ( u ) ) ) ≤ φ q ( G + ε φ p ( c ′ ) ) L 1 < L 1 φ q ( φ p ( c ′ ) ( ϕ p ( 1 L 1 ) − ε ) + ε φ p ( c ′ ) ) ≤ c ′ ,
及
‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) = δ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ≤ δ γ φ q ( ∑ j = n 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ L 2 φ q ( φ p ( c ′ ) ( φ p ( 1 L 2 ) − ε ) + ε φ p ( c ′ ) ) ≤ c ′ 。
由上面的证明可知 A : P c ′ ¯ → P c ′ ¯ 。定理证毕。
定理3:假设存在常数满足 0 < a ′ 1 < w N + 2 b ′ 1 < b ′ 1 < N + 2 w b ′ 1 ≤ d ′ 1 < a ′ 2 < w N + 2 b ′ 2 < b ′ 2 < N + 2 w b ′ 2 ≤ d ′ 2 < ⋯ < a ′ n , n ∈ N 使得
(H4): f ( u ) < φ p ( a ′ i L j ) , j = 1 , 2 , 0 ≤ u ≤ a ′ i ;
(H5): f ( u ) > φ p ( 2 b ′ i w l ) , w N + 2 b ′ i ≤ u ≤ d ′ i 。
则边值问题(1)和(2)至少存在 2 n − 1 个正解。
证明:当n = 1时,由条件(H4)可知A: P a ′ 1 ¯ → P a ′ 1 ¯ ⊂ P a ′ 1 ¯ ,根据Schauder不动点定理可知A至少有一个不动点,即问题至少存在一个正解。
当n = 2时,取 c ′ = a ′ 2 ,则定理1条件满足,从而至少存在三个不同正解。
以此类推,用归纳法可知问题至少存在 2 n − 1 个正解。
作者感谢编辑和审稿人给予的指导和帮助。
济南大学泉城学院科研项目(18JDQYKY17)。
张 萌,姜洪冰. 具P-Laplace算子Sturm-Liouville型边值问题多个正解的存在性Multiple Positive Solutions of Discrete Sturm-Liouville-Like P-Laplacian Boundary Value Problems[J]. 应用数学进展, 2019, 08(04): 790-797. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.84089