本文研究了一类无穷区间上分数阶微分方程组的边值问题。先构造Green函数,并讨论相关性质,再利用锥拉伸与锥压缩定理和Leggett-Williams不动点定理讨论边值问题解的存在性,最后给出例子说明定理的适用性。 In this paper, we study existence of solutions for a class of fractional differential equations with boundary value problems on infinite interval by using cone compression, cone expansion fixed point theorem and Leggett-Williams fixed point theorem. Example is presented to illustrate our results.
张瑞鑫,王文霞*
太原师范学院数学系,山西 晋中
收稿日期:2019年4月29日;录用日期:2019年5月9日;发布日期:2019年5月24日
本文研究了一类无穷区间上分数阶微分方程组的边值问题。先构造Green函数,并讨论相关性质,再利用锥拉伸与锥压缩定理和Leggett-Williams不动点定理讨论边值问题解的存在性,最后给出例子说明定理的适用性。
关键词 :无穷区间,分数阶微分方程组,边值问题,不动点
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分数阶微分方程在很多领域都有着广泛的应用,尤其在流体力学、分数控制系统、气体力学、电子动学、化学工程等方面,目前已取得了很多优秀的研究成果,如文献 [
在文献 [
{ D 0 + α u 1 ( t ) + f 1 ( t , u 1 ( t ) , u 2 ( t ) ) = 0 , t ∈ ( 0 , ∞ ) D 0 + α u 2 ( t ) + f 2 ( t , u 1 ( t ) , u 2 ( t ) ) = 0 , t ∈ ( 0 , ∞ ) u 1 ( 0 ) = u ′ 1 ( 0 ) = u 2 ( 0 ) = u ′ 2 ( 0 ) = 0 , D 0 + α − 1 u 1 ( + ∞ ) = ∑ i = 1 m − 2 β i u 1 ( ξ i ) , D 0 + α − 1 u 2 ( + ∞ ) = ∑ i = 1 m − 2 β i u 2 ( ξ i ) (1.1)
其中, 2 < α < 3 , 0 < ξ 1 < ξ 2 < ξ 3 < ⋯ < ξ m − 2 < + ∞ , β i > 0 , i = 1 , 2 , 3 , ⋯ , m − 2 ,得到边值问题(1.1)至少存在一个和两个正解的充分条件。受上文的启发,本文研究如下的一类分数阶微分方程组的边值问题
{ D 0 + α u 1 ( t ) + a 1 ( t ) f 1 ( t , u 1 ( t ) , u 2 ( t ) ) = 0 , t ∈ R + D 0 + α u 2 ( t ) + a 2 ( t ) f 2 ( t , u 1 ( t ) , u 2 ( t ) ) = 0 , t ∈ R + u 1 ( 0 ) = u 2 ( 0 ) = 0 , D 0 + α − 2 u 1 ( 0 ) = D 0 + α − 2 u 1 ( 0 ) = 0 , D 0 + α − 1 u 1 ( + ∞ ) = ξ I β u 1 ( η ) , D 0 + α − 1 u 2 ( + ∞ ) = ξ I β u 2 ( η ) (1.2)
其中, 2 < α ≤ 3 , β > 0 , ξ ∈ R , η ∈ [ 0 , + ∞ ) , Γ ( α + β ) > ξ η α + β − 1 , R + = [ 0 , + ∞ ) , D 0 + α 与 D 0 + α − 1 都是标准的Riemann-Liouville分数阶微分, I β 是标准的Riemann-Liouville分数阶积分。
定义1.1 [
I 0 + α f ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 f ( s ) d s ,
对任意的 α > 0 ,右端在 R + 上逐点可积。
定义1.2 [
D 0 + α f ( t ) = 1 Γ ( n − α ) ( d d t ) n ∫ 0 t f ( s ) ( t − s ) α − n + 1 d s
其中,n是大于等于 α 的最小正整数,等式的右端在 ( 0 , + ∞ ) 有定义。
引理1.1 [
I 0 + α D 0 + α u ( t ) = u ( t ) + c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 + ⋯ + c n t α − n
其中 c i ∈ R ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 为任意常数,n为大于等于 α 的最小正整数。
引理1.2 设 h ∈ L 1 [ 0 , + ∞ ) 连续,那么边值问题
{ D 0 + α u ( t ) + h ( t ) = 0 , 0 ≤ t < + ∞ , u ( 0 ) = D 0 + α − 2 u ( 0 ) = 0 , D 0 + α − 1 u ( + ∞ ) = ξ I β u ( η ) . (2.1)
有唯一解: u ( t ) = ∫ 0 + ∞ G ( t , s ) h ( s ) d s ,其中, G ( t , s ) = G 1 ( t , s ) + G 2 ( t , s ) ,
G 1 ( t , s ) = 1 Γ ( α ) { t α − 1 − ( t − s ) α − 1 , 0 ≤ s ≤ t < + ∞ , t α − 1 , 0 ≤ t < s < + ∞ .
G 2 ( t , s ) = ξ t α − 1 Δ { η α + β − 1 − ( η − s ) α + β − 1 , 0 ≤ s ≤ η < + ∞ , η α + β − 1 , 0 ≤ η < s < + ∞ .
Δ = Γ ( α ) [ Γ ( α + β ) − ξ η α + β − 1 ] .
证明:由引理1.1及 D 0 + α u ( t ) = − h ( t ) 得
由
由边值条件可得
证毕。
引理1.3 函数
1)
2)
3)
证明:由
当
即性质(2)成立。
由文献 [
所以
即性质(3)成立。
定义空间:
其范数
空间
定理1.1 [
令锥
定义算子
其中
引理1.4 [
1) 对任意的
2) 给定
均成立,则Z是一个相对紧集。
引理1.5 [
1)
2)
则F在
定义1.3 [
对于
引理1.6 [
1)
2) 当
3) 当
则T在
定义1.4 [
1) 对任何的
2) 对每个
3) 对每个的
则称
(H0)
(H1)
引理2.1 假设(H0)(H1)成立,则T是
证明:1) 证明T是
当
所以,
2) T是
对任意的收敛序列
由
由勒贝格控制收敛定理可知,
所以
T是
3)
设
因此,
因(H1)成立,
由于
取
所以,对任意的
故T是
(H2) 存在函数
下面给出一些记号:
定理2.1 假设条件(H0),(H1),(H2)成立,并且存在常数
证明:因
令
即
所以,
即
因
令
即
从而根据引理1.5可知在集合
定理2.2 假设条件(H0),(H1),(H2)成立,并且存在常数
证明:因
令
即
因
令
则存在一个正实数
所以,
即
从而根据引理1.5可知在集合
定义泛函
定理2.3 假设条件(H1)成立,并且存在常数
(H3)
(H4)
(H5)
则边值问题(1.2)至少有三个正解。
证明 令
取
所以
若
则
假设
根据引理1.6可知T在
考虑下面边值问题:
式中
常数
由于
国家自然科学基金资助项目(11361407)。
张瑞鑫,王文霞. 一类无穷区间上分数阶微分方程组边值问题正解的存在性Existence of Solutions for a Class of Fractional Differential Equations with Boundary Value Problems on Infinite Interval[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 427-440. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93058