讨论了亚纯函数分担集合的正规定则,主要结果为:设 是区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个有限复数,且a≠b,k和q是两个正整数,令S=﹛a,b﹜。若对任意的f∈ ,满足:1) ∀ z∈D,h(f (k)(z))∈S⇒f(z)∈S,其中a i(z)(i=1,2,…,q-1)是全纯函数, h(f (k)(z))=(f (k)(z)) q+a q-1(z)(f (k)(z)) q-1+…+a 1(z)f (k)(z);2) f-c的零点重级至少为k+1,则 在D内正规。 The normal family of meromorphic functions concerning shared set was studied. The following result was proved: Let be a family of meromorphic functions in a domain D, a, b and c be three finite complex numbers, where a≠b, k and q be two positive integers, let S=﹛a,b﹜. If for each f∈ , 1) ∀ z ∈D,h(f (k) (z))∈S⇒f(z)∈S, where a i (z)(i=1,2,…,q-1) is holomorphic function and h(f (k) (z))=(f (k) (z)) q +a q-1 (z)(f (k) (z)) q-1 +…+a 1 (z)f (k) (z); 2) f-c have zeros with multiplicities at least k+1, then is normal in D.
蔡金华,党国强
广州大学数学与信息科学学院,广东 广州
收稿日期:2019年5月31日;录用日期:2019年6月10日;发布日期:2019年6月26日
讨论了亚纯函数分担集合的正规定则,主要结果为:设 F 是区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个有限复数,且 a ≠ b ,k和q是两个正整数,令 S = { a , b } 。若对任意的 f ∈ F ,满足:1) ∀ z ∈ D , h ( f ( k ) ( z ) ) ∈ S ⇒ f ( z ) ∈ S ,其中 a i ( z ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , q − 1 ) 是全纯函数, h ( f ( k ) ( z ) ) = ( f ( k ) ( z ) ) q + a q − 1 ( z ) ( f ( k ) ( z ) ) q − 1 + ⋯ + a 1 ( z ) f ( k ) ( z ) ;2) f − c 的零点重级至少为 k + 1 ,则 F 在D内正规。
关键词 :亚纯函数,正规族,分担集合
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设 F 为区域D内的一族亚纯函数,如果对于 F 的任一函数序列 { f n ( z ) } 均可选出一个子序列 { f n j ( z ) } 在区域D上按球距内闭一致收敛,则称 F 在D内正规。
设f和g是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数。若 f ( z ) − a 与 g ( z ) − a 在D有相同的零点,则称f与g在区域D内分担a或称IM分担a;若 f ( z ) − a 与 g ( z ) − a 在D有相同的零点并且所有零点的重级也相同,则称f与g在区域D内CM分担a。
用记号 f ( z ) = a ⇒ g ( z ) = a 来表示若 f ( z ) = a 则 g ( z ) = a ,如果 f ( z ) = a ⇒ g ( z ) = a 且 g ( z ) = a ⇒ f ( z ) = a ,我们记为 f ( z ) = a ⇔ g ( z ) = a 。如果把复数a替换为集合S,我们记为 f ( z ) ∈ S ⇔ g ( z ) ∈ S 。
1992年,Schwick [
定理A设 F 为区域D上的非常数亚纯函数, a 1 , a 2 和 a 3 是三个互相判别的有穷复数。若对任意的 f ∈ F ,f与 f ′ 分担 a i , i = 1 , 2 , 3 ,则 F 在D内正规。
此后,与分担值结合的亚纯函数正规定则在文 [
定理B设 F 为区域D内的一族亚纯函数, a 1 , a 2 和 a 3 是三个互相判别的有限复数, S = { a 1 , a 2 , a 3 } ,若对任意的 f ∈ F , f ( z ) ∈ S ⇔ f ′ ( z ) ∈ S ,其中 z ∈ D ,则 F 在D内正规。
一个自然的问题是将定理B中的 f ′ 改为 f ( k ) ,结论是否仍然成立。2011年,张汉等人 [
定理C设 F 为区域D内的一族亚纯函数, a 1 , a 2 和 a 3 为三个互相判别的有限复数, S = { a 1 , a 2 , a 3 } , k ( > 2 ) 是一个正整数,a为任意有限复数。若对任意的 f ∈ F , f − a 的零点和极点重级都 ≥ k ,且 f ( z ) ∈ S ⇔ f ( k ) ( z ) ∈ S ,其中 z ∈ D ,则 F 在D内正规。
2008年,韩明华和顾永兴 [
定理D设 F 为区域D内的一族亚纯函数, a 1 , a 2 和c是三个有限复数且 a 1 ≠ a 2 。若对任意的 f ∈ F ,满足,1) f − c 的零点重级均 ≥ k + 1 ;2) f ( k ) ( z ) = a i ⇒ f ( z ) = a i ,其中 i = 1 , 2 , z ∈ D ,那么 F 在D内正规。
2018年,陈鸿辉等人 [
定理E设 F 为区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个判别的有限复数且 a ≠ b ,k是正整数,令 S = { a , b } 。若对任意的 f ∈ F ,满足,1) f − c 的零点重级均 ≥ k + 1 ;2) ( f ( k ) ( z ) ) q ∈ S ⇒ f ( z ) ∈ S ,其中 z ∈ D ,则 F 在D内正规。
本文推广了定理E,证明了
定理1设 F 是区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个有限复数,且 a ≠ b , k 和q是两个正整数,令 S = { a , b } 。若对任意的 f ∈ F ,满足,1) f − c 的零点重级 ≥ k + 1 ;2) h ( f ( k ) ( z ) ) ∈ S ⇒ f ( z ) ∈ S ,其中 z ∈ D , a 1 , ⋯ , a q − 1 是全纯函数,且 h ( f ( k ) ( z ) ) = ( f ( k ) ( z ) ) q + a q − 1 ( z ) ( f ( k ) ( z ) ) q − 1 + ⋯ + a 1 ( z ) f ( k ) ( z ) ,则 F 在D内正规。
下面的例子说明定理1中的条件“ f − c 的零点重级 ≥ k + 1 ”是必须的。
例1令 D = { z : | z | < 1 } ,k和q是两个正整数, S = { − 1 , 1 } , q = 1 , c = 0 。 f ∈ F = { f n ( z ) } ,其中 f n ( z ) = n z k , n = 2 , 3 , ⋯ 。显然 ( f ( k ) ( z ) ) q ∈ S ⇒ f ( z ) ∈ S 。但是, F 在D上不正规。
定理的证明需要下列引理。
引理1 (Zalcman-Pang引理) [
1) 函数列 f n ∈ F ;
2) 点列 z n ∈ D , z n → z 0 ;
3) 正数列 ρ n → 0 ;
4) 实数r, 0 < r < 1 。
使得函数 g n ( ξ ) = f n ( z n + ρ n ξ ) ρ n α 在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 g ( ξ ) ,并且 g ( ξ ) 的零点重级均 ≥ k ,它的级至多为2。
引理2 [
引理3 [
1) n = k , n ! a n = 1 ;
2) f ( z ) = z k k ! + ⋯ + a 1 + a 0 + 1 ( a z + b ) m ,其中 a ( ≠ 0 ) 和b是常数;
3) 若 f ( z ) 的零点重级均 ≥ k + 1 ,则结论2) 中 m = 1 ,且 f ( z ) = ( c z + d ) k + 1 a z + b ,其中 a ( ≠ 0 ) , b 和d是常数。
引理4 [
假设 F 在D内不正规,则 F 在 z 0 ∈ D 内不正规。由引理1,可知存在函数列 f n ∈ F ,点列 z n ∈ D , z n → z 0 ,正数列 ρ n → 0 ,使得函数 g n ( ξ ) = f n ( z n + ρ n ξ ) − c ρ n α 在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 g ( ξ ) ,且 g ( ξ ) 的级至多为2,零点重级均 ≥ k + 1 。
下面我们分两种情形进行讨论。
情形1 c ∉ S 。即 a ≠ c 且 b ≠ c 。为了明确起见,不妨假设 a ≠ 0 。
我们断言
1) h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ a ;
2) h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ b 。
下面我们证明断言1),因为
g n ( ξ ) = f n ( z n + ρ n ξ ) − c ρ n k → g (ξ)
则
g n ( k ) ( ξ ) = f n ( k ) ( z n + ρ n ξ ) → g ( k ) (ξ)
( g n ( k ) ( ξ ) ) q = ( f n ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q → ( g ( k ) ( ξ ) ) q
其中 ξ ∈ { ξ : g ( ξ ) ≠ ∞ } 。
可证 h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≡ a ,否则, h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≡ a ,由 h ( f ( k ) ( ξ ) ) 的定义,可找到一个非零常数w,使 g ( k ) ( ξ ) ≡ w ,进而可知 g ( ξ ) 是一个次数为k次的多项式。由于 g ( ξ ) 的零点重级均 ≥ k + 1 ,则 g ( ξ ) 为常数。矛盾。假设存在一点 ξ 0 ,使得 h ( g ( k ) ( ξ 0 ) ) = a ,故 ξ 0 不是 g ( ξ ) 的极点。取 δ ( ξ 0 ) > 0 ,使 g ( ξ ) 在 Δ = { ξ : | ξ − ξ 0 | < δ } 内是全纯的,因此在 Δ 内有
h ( f n ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) − a = ( f ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q + a q − 1 ( z n + ρ n ξ ) ( f ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q − 1 + ⋯ + a 1 ( z n + ρ n ξ ) f ( k ) ( z n + ρ n ξ ) − a = ( g ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q + a q − 1 ( z n + ρ n ξ ) ( g ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q − 1 + ⋯ + a 1 ( z n + ρ n ξ ) g ( k ) ( z n + ρ n ξ ) − a = h ( g n ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) − a
由Hurwitz定理,可找到一个点列 { ξ n } ⊂ Δ , ξ n → ξ 0 ,使 h ( g n ( k ) ( z n + ρ n ξ n ) ) − a = 0 。由条件可知, f n ( z n + ρ n ξ ) = a 或者 f n ( z n + ρ n ξ ) = b 。
如果 f n ( z n + ρ n ξ ) = a ,可得 g ( ξ 0 ) = lim n → ∞ f n ( z n + ρ n ξ ) − c ρ n k = lim n → ∞ a − c ρ n k = ∞ 。
如果 f n ( z n + ρ n ξ ) = b ,可得 g ( ξ 0 ) = lim n → ∞ f n ( z n + ρ n ξ ) − c ρ n k = lim n → ∞ b − c ρ n k = ∞ 。
因此 ξ 0 是 g ( ξ ) 的极点,矛盾。所以断言1)成立。同理可证断言2)也成立。
因为 h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ a ,根据 h ( f ( k ) ( ξ ) ) 的定义,可找到一个非零常数w,使 g ( k ) ( ξ ) ≠ w 。根据引理2,可得 g ( ξ ) 是超越亚纯函数。因为 g ( ξ ) 的零点重级均 ≥ k + 1 和 g ( k ) ( ξ ) ≠ w ,则 g ( ξ ) 不是多项式。根据引理3,令 g ( ξ ) = w ξ k k ! + ⋯ + a 0 + 1 A ξ + B ,其中 A ( ≠ 0 ) , B , a 0 , ⋯ 是常数。由于 h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ b ,由 h ( f ( k ) ( ξ ) ) 的定义,可找到一个常数d,使 g ( k ) ≠ d ,其中 d = 0 或者 d ≠ 0 。经过简单的计算,可得 g ( k ) = w + ( − 1 ) ( k ) k ! A k ( A ξ + B ) k + 1 ,所以 g ( k ) = d 有解,进而 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b 有解,与断言2)矛盾。
情形2 c ∈ S ,即 a = c 或 b = c 。不妨假设 a = c 。
可断言
3) h ( g ( k ) ( ξ ) ) = a ⇒ g ( ξ ) = 0 ;
4) h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b ⇒ g ( ξ ) = 0 。
下面我们证明断言3),使用情形1的方法,可找到一个点列 { ξ n } ⊂ Δ , ξ n → ξ 0 ,使 h ( g n ( k ) ( z n + ρ n ξ n ) ) − a = 0 ,由条件可知, f n ( z n + ρ n ξ ) = a 或者 f n ( z n + ρ n ξ ) = b 。
假设 f n ( z n + ρ n ξ ) = a ,可得 g ( ξ 0 ) = lim n → ∞ f n ( z n + ρ n ξ ) − c ρ n k = lim n → ∞ a − c ρ n k = 0 。
假设 f n ( z n + ρ n ξ ) = b ,可得 g ( ξ 0 ) = lim n → ∞ f n ( z n + ρ n ξ ) − c ρ n k = lim n → ∞ b − c ρ n k = ∞ ,此时 ξ 0 是 g ( ξ ) 的极点,这与 h ( g ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) = a 矛盾,故这种情况不成立。
所以断言3)成立,同理可证断言4)成立。
子情形2.1 h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ a 且 h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ b 。
根据情形1的表述,可知这种情况不成立。
子情形2.2 h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ a , h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b 或 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = a , h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ b 。
为了明确起见,不妨设 h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ a ,则有 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b ⇒ g ( ξ ) = 0 。可证 b = 0 ,否则 b ≠ 0 。存在 ξ 0 ,使 h ( g ( k ) ( ξ 0 ) ) = b ⇒ g ( ξ 0 ) = 0 。即 ξ 0 是 g ( ξ ) 的零点。因为 g ( ξ ) 的零点重级均 ≥ k + 1 ,所以 ξ 0 也是 g ( k ) ( ξ ) 的零点。即 b = 0 ,矛盾。所以有 g ( k ) ( ξ ) = 0 ⇒ g ( ξ ) = 0 。由于 g ( ξ ) 的零点重级均 ≥ k + 1 ,可得 g ( ξ ) = 0 ⇒ g ( k ) ( ξ ) = 0 。因此 g ( ξ ) 和 g ( k ) ( ξ ) 分担0。因为 h ( g ( k ) ( ξ ) ) ≠ a 且 a ≠ b ,再根据 h ( f ( k ) ( ξ ) ) 的定义和情形1的表述,可知存在一个非零常数w,使 g ( k ) ≠ w ,由引理4,可知 g ( ξ ) 是一个常数,矛盾。
子情形2.3 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = a 且 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b ,即断言3)和断言4)同时成立。
因为 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = a ⇒ g ( ξ 0 ) = 0 ,显然 a = 0 。否则 a ≠ 0 ,存在 ξ 0 ,使 h ( g ( k ) ( ξ 0 ) ) = a ⇒ g ( ξ 0 ) = 0 ,故 ξ 0 是 g ( ξ ) 的零点。由条件,可知 ξ 0 也是 g ( k ) ( ξ ) 的零点,即 a = 0 。同理可得 b = 0 ,这与 a ≠ b 矛盾。
综上所述, F 在D内正规。定理1证毕。
国家自然科学基金(编号:11271090),广东省自然科学基金(编号:2016A030310257、2015A030313346)},广州大学研究生创新能力培养资助计划(2018GDJC-D28)资助。
蔡金华,党国强. 亚纯函数分担集合的正规定则Normality Concerning Meromorphic Functions and Shared Set[J]. 理论数学, 2019, 09(04): 527-532. https://doi.org/10.12677/PM.2019.94069