1. 引言1.1. 研究背景参数为 t - ( v , k , λ ) 的一个设计，简称t-设计，定义为符合以下条件的一对符号 ( X , B ) ：
1) X是一个v-集合；
2) B 是X的一组k-子集；
3) X的任意给定的t-子集都恰好含于 B 的 λ 个成员之中。
X的元素称为点， B 的成员称为区组。若一个 t - ( v , k , λ ) 设计不包含重复的区组，则称这个设计为单纯的。在本文中我们只考虑单纯t-设计。
令 G ≤ s y m ( X ) ，则对于任意的 g ∈ G ，， S g = { x g : x ∈ S } 。 S G = { S g : g ∈ G } 称为S的轨道， G S = { g ∈ G : S g = S } 称为S的稳定子群，且 | G | = | S G | | G S | 。 ( X , B ) 的一个自同构是指具有下述性质的X的置换g：如果 B ∈ B ，则 B g ∈ B 。G是 (X, B ) 的自同构群当且仅当区组集 B 是G作用下X的k-子集的轨道的并。
令q为素数幂， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 为射影直线。对任意的 a , b , c , d ∈ G F ( q ) ，定义 a / 0 = ∞ ，， ∞ + a = a + ∞ = ∞ ， ( a ∞ + b ) / ( c ∞ + d ) = a / c 。所有行列式为非零平方元的线性分式的集合构成线性分式群 L F ( 2 , q ) ，它同构于 P S L ( 2 , q ) 。即
L F ( 2 , q ) = { f | f : X → X , x f = a x + b c x + d , a d − b c 为 非 零 平 方 元 } .
设 q = p n ，其中p为素数。利用 P S L ( 2 , q ) 为设计的自同构群来研究t-设计是一个可行的方法。特别的，文献 [1] 已完整解决了以 P S L ( 2 , q ) 为自同构群，区组长度为k的3-设计的存在性问题，其中 k ≡ 0 , 1 ( mod p ) 。文献 [2] [3] [4] [5] 完整讨论了以 P S L ( 2 , 2 n ) 为自同构群，区组长度为k ( 4 ≤ k ≤ 8 )的单纯3-设计的存在性问题。文献 [6] [7] 介绍了以 P S L ( 2 , 2 n ) 为自同构群，区组长度为d和的单纯3-设计的有关结果，这里 d | ( 2 n − 1 ) 。文献 [8] - [13] 找到了一些 t ≥ 4 时的t-设计存在的例子。
注意到当 q = 2 n 时，对于任意的区组长度k总满足 k ≡ 0 , 1 ( mod 2 ) 。又 P S L ( 2 , 2 n ) = P G L ( 2 , 2 n ) 在X上的作用是精确3重传递的，故任意不相交的k-子集的轨道的并可构成单纯 3 − ( 2 n + 1 , k , λ ) 设计，其中 λ 为正整数。
本文只考虑 q = 2 n 的情形。用表示 P S L ( 2 , 2 n ) ，用 表示射影直线。总假设l为奇数，d为满足 d | ( 2 n − 1 ) 且 d ≥ 3 的整数。利用 P S L ( 2 , 2 n ) 在X上作用的轨道，确定了以 P S L ( 2 , 2 n ) 为自同构群，区组长度为 2 l d + 1 ，初始区组的稳定子群中含有d阶元的单纯3-设计的参数，并计算了满足这一参数的轨道的条数。得到了如下结果：
定理：令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集，则 ( X , B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。构成这一设计的轨道的条数为 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d 。
1.2. 预备知识引理1 [14] ：设 g ∈ G ，g的阶为h且 h > 1 ，则g有a个不动点和 b = ( 2 n + 1 − a ) / h 个h圈。其中当 h = 2 时， a = 1 ；当 h | ( 2 n - 1 ) 时， a = 2 ；当 h | ( 2 n + 1 ) 时， a = 0 。
注：由引理1易知若B为X的一个k-子集， g ∈ G B 当且仅当B由g的q个h圈和r个不动点构成，其中 k = h q + r ， 0 ≤ r < h 。
引理2 [14] ： G 的一个非平凡子群必为下列之一：
1)阶初等Abel群，其中 h ≤ n ；
2) d阶循环群，其中 d | ( 2 n ∓ 1 ) ；
3) 二面体群 D 2 d ，其中 d | ( 2 n ∓ 1 ) ；
4) 2 h 阶的初等Abel群和d阶循环群的半直积，其中 d | ( 2 n − 1 ) ；
5) P S L ( 2 , 2 k ) ，其中 k | n ；
6) 交错群 A 4 。
引理3 [6] ：类型(4)的子群不可能是2d阶的。
引理4 [14] ：所有二面体群 D 2 d 在 G 中共轭。
以下总假设 d | ( 2 n − 1 ) 且 d ≥ 3 ， α 为 G F ∗ ( 2 n ) 中的一个d阶元， x f 1 = α x ， x f 2 = 1 x ， G = 〈 f 1 , f 2 〉 ，m为任意正整数，l为任意奇数。
引理5 [6] ： G = 〈 f 1 , f 2 〉 为一个二面体群 D 2 d 。
引理6 [7] ：若S为一个 d + 1 -子集，则无二面体群 D 2 d 包含在 G S 中。
由引理6易得下面的推论。
推论1：若S为一个 m d + 1 -子集，则无二面体群 D 2 d 包含在 G S 中。
证明：若存在一个二面体群 D 2 d ⊆ � S ，由引理4及引理5知存在 g ∈ G ，使得 g − 1 D 2 d g = G ⊆ G S g 。由引理1知 S g 由 f 1 的m个d圈和1个不动点构成，则 S g 中恰包含0和 ∞ 中的一个元素。又因为 f 2 ∈ G ⊆ G S g ，由此推得若 0 ∈ S g 必有 ∞ ∈ S g ，产生矛盾。证毕。
引理7 [6] ：若S为X的k-子集，则 ( X , S G ) 是一个单纯 3 - ( 2 n + 1 , k , λ ) 设计，其中 λ = k ( k − 1 ) ( k − 2 ) | G S | 。
2 定理的证明引理8：令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集，则 ( X , B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。
证明：由于 G B 中有d阶元，由引理2知 G B 不为类型(1)。由推论1知 G B 不为类型(3)。进一步的 G B 不为类型(5)，否则存在一个二面体群 D 2 d 包含在 G B 中，与推论1矛盾。又类型(6)是类型(4)的一种情形，综上述 G B 只能为类型(2)或类型(4)的子群。可设 | G B | = 2 h d ，其中h为非负整数。由引理7知 λ = ( 2 l d + 1 ) 2 l d ( 2 l d − 1 ) 2 h d 为整数，又l是奇数，故 h = 0 或1。再由引理3知 h = 0 。故 ( X , B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。
推论2：令S为X的 2 l d + 1 -子集，若 G S 中有d阶元，则 G S 为d阶循环群。
引理9：设S是X的 m d + 1 -子集，若 G S 中有d阶元，则轨道 S G 中包含形如 { 1 , α , ⋯ , α d − 1 , β 1 , β 1 α , ⋯ , β 1 α d − 1 , ⋯ , β m − 1 , β m − 1 α , ⋯ , β m − 1 α d − 1 , ∞ } 的区组。其中 α 为 G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元， β i ∈ G F * ( 2 n ) （ i = 1 , 2 , ⋯ , m − 1 ）。
引理10：若 ( X , Γ ) 是一个 3 - ( 2 n + 1 , m d + 1 , m ( m d − 1 ) ( m d + 1 ) ) 设计，则轨道 Γ 中包含m个形如 { 1 , α , ⋯ , α d − 1 , β 1 , β 1 α , ⋯ , β 1 α d − 1 , ⋯ , β m − 1 , β m − 1 α , ⋯ , β m − 1 α d − 1 , ∞ } 的区组。其中 α 为 G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元， β i ∈ G F * ( 2 n ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , m − 1 )。
证明：设S为轨道 Γ 中的一个区组。由引理7得 | G S | = d ，即d阶循环群。由引理9可设
S = { 1 , α , ⋯ , α d − 1 , β 1 , β 1 α , ⋯ , β 1 α d − 1 , ⋯ , β m − 1 , β m − 1 α , ⋯ , β m − 1 α d − 1 , ∞ } .
若
S ′ = { 1 , α , ⋯ , α d − 1 , β ′ 1 , β ′ 1 α , ⋯ , β ′ 1 α d − 1 , ⋯ , β ′ m − 1 , β ′ m − 1 α , ⋯ , β ′ m − 1 α d − 1 , ∞ }
与S位于同一条轨道，则存在 G 中的一个线性分式 f ′ ，使得 S f ′ = S ′ 。设 x f ′ = a x + b c x + d ， x f 1 = α x 。由于 | G S | = | G S ′ | = d 且 f 1 ∈ G S ′ ∩ G S ，从而 G S = G S ′ = 〈 f 1 〉 。又 G S ′ = f ′ − 1 G S f ′ ，由此可得 f ′ G S = G S f ′ 。即 { f ′ , f ′ f 1 , ⋯ , f ′ f 1 d − 1 } = { f ′ , f 1 f ′ , ⋯ , f 1 d − 1 f ′ } 。对于 1 ≤ i ≤ d − 1 ，若 f ′ f 1 = f 1 i f ′ ，则对任意的 x ∈ X ，有 x f ′ f 1 = x f 1 i f ′ 。即
a α x + b α c x + d = a α i x + b c α i x + d .
由上述等式知存在 u ∈ G F ∗ ( 2 n ) ，使得
[ a α b α c d ] = u [ a α i b c α i d ] .
故只能 u = 1 ， b = c = 0 且 i = 1 。即 f ′ f 1 = f 1 f ′ 。可令 x f ′ = r x ，其中 r = a d 。因此
S ′ = S f ′ = { r , r α , ⋯ , r α d − 1 , r β 1 , r β 1 α , ⋯ , r β 1 α d − 1 , ⋯ , r β m − 1 , r β m − 1 α , ⋯ , r β m − 1 α d − 1 , ∞ } .
又 S ′ = { 1 , α , ⋯ , α d − 1 , β ′ 1 , β ′ 1 α , ⋯ , β ′ 1 α d − 1 , ⋯ , β ′ m − 1 , β ′ m − 1 α , ⋯ , β ′ m − 1 α d − 1 , ∞ } ，令 H = 〈 α 〉 ，从而 r ∈ H 或 r ∈ β ′ j H ，其中 1 ≤ j ≤ m − 1 。下分两种情况讨论：
1) 若 r ∈ H ，从而 S ′ = S 。
2) 若 r ∈ β ′ 1 H ，不失一般性，可令 r ∈ β ′ 1 H ，从而
S ′ = { β ′ 1 , β ′ 1 α , ⋯ , β ′ 1 α d − 1 , β ′ 1 β 1 , β ′ 1 β 1 α , ⋯ , β ′ 1 β 1 α d − 1 , ⋯ , β ′ 1 β m − 1 , β ′ 1 β m − 1 α , ⋯ , β ′ 1 β m − 1 α d − 1 , ∞ } .
故对于 1 ≤ k ≤ m−1，必存在 β ′ 1 β k ∈ H 。即
S ′ = { β k − 1 , β k − 1 α ⋯ β k − 1 α d − 1 , β k − 1 β 1 , β k − 1 β 1 α , ⋯ , β k − 1 β 1 α d − 1 , ⋯ , β k − 1 β m − 1 , β k − 1 β m − 1 α , ⋯ , β k − 1 β m − 1 α d − 1 , ∞ } .
令 x g k = β k − 1 x Math_207#，其中 β 0 = 1 ，则上述 S ′ = S g k 。综上述若 S ′ ∈ S G 当且仅当 S ′ = S g k Math_212#。
下证 S , S g 1 , S g 2 , ⋯ , S g m − 1 互不相同。由此说明 Γ 中包含m个形如 { 1 , α , ⋯ , α d − 1 , β 1 , β 1 α , ⋯ , β 1 α d − 1 , ⋯ , β m − 1 , β m − 1 α , ⋯ , β m − 1 α d − 1 , ∞ } 的区组。对于任意的 0 ≤ s , t ≤ m − 1 ，若 S g s = S g t ，则 g s g t − 1 ∈ G S = 〈 f 1 〉 ，即 β s − 1 β t ∈ H 。从而 β s − 1 β t { 1 , α , ⋯ , α d − 1 } = { 1 , α , ⋯ , α d − 1 } ，即
{ β t , β t α , ⋯ , β t α d − 1 } = { β s , β s α , ⋯ , β s α d − 1 } .
这是不可能的。
引理11：构成 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计的轨道的条数为 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d 。
证明：设l为奇数， α 为 G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元， β i ∈ G F * ( 2 n ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , 2 l − 1 )。令 B = { S | S = { 1 , α , ⋯ , α d − 1 , β 1 , β 1 α , ⋯ , β 1 α d − 1 , ⋯ , β 2 l − 1 , β 2 l − 1 α , ⋯ , β 2 l − 1 α d − 1 , ∞ } } ，易得 B 中元素的个数为。再由引理10可得构成 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计的轨道条数为 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d 。
定理：令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集，则 ( X , B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。构成这一设计的轨道的条数为 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d 。
证明：利用引理8和引理11可以得到定理。
推论3：令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集，则对于任意的正整数t，其中 1 ≤ t ≤ 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d ，可构造出单纯 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。
。
Let X=GF(q)∪｛∞｝ be the projective line. Let l be an odd integer. The integer d satisfies
d丨（2
n
-1） and d ≥ 3. In this paper, we determined the parameter set of simple 3-designs from PSL(2,2
n) with block size 2ld + 1 where the stabilizer of the initial block contains order d element of PSL(2,2
n) and calculated the number of the orbits which form the simple 3-design with that pa-rameter set. By using the orbits of PSL(2,2
n) on the X, the results show that the number of the orbits is
