经典的倒向随机微分方程是由布朗运动驱动的,但布朗运动是一种非常特殊的随机过程,致使倒向随机微分方程的应用受到相当大的限制。本文研究了以连续局部鞅为干扰源的一维倒向随机微分方程,在生成元满足一种新非Lipschitz条件下,证明了其L 2解存在且唯一。 The classical backward stochastic differential equation (BSDE) is driven by the Brownian motion, but Brownian motion is a very special stochastic process, so the application of backward stochastic differential equation is quite limited. In this paper, we are interested in solving one-dimensional backward stochastic differential equations (BSDEs) with a new kind of non-Lipschitz coefficients. We establish an existence and uniqueness result of solutions in L 2.
李师煜,但李萍,杨璐帆
江西理工大学理学院,江西 赣州
收稿日期:2019年7月15日;录用日期:2019年8月1日;发布日期:2019年8月8日
经典的倒向随机微分方程是由布朗运动驱动的,但布朗运动是一种非常特殊的随机过程,致使倒向随机微分方程的应用受到相当大的限制。本文研究了以连续局部鞅为干扰源的一维倒向随机微分方程,在生成元满足一种新非Lipschitz条件下 [
关键词 :倒向随机微分方程,连续局部鞅,非Lipschitz条件,存在性,唯一性
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倒向随机微分方程在金融数学、最优控制、随机决策和偏微分方程等领域中有着广阔的应用前景。经典的倒向随机微分方程是由布朗运动驱动的,1990年Pardoux和Peng [
令 ( Ω , , F , , { F t } t ≥ 0 , P ) 为一个带信息流的完备的概率空间,其中流 { F t } t ≥ 0 满足通常条件,记 P 为可料 σ 域。 M = { M t , F t : 0 ≤ t < ∞ } 为一个连续局部鞅,并且 M 0 = 0 , 〈 M 〉 为M的平方变差过程。 T > 0 为一个任意固定的数,称为时间区间。
首先给出几个相关记号:
1) 用 L M ( 0 , T ; R n ) 表示所有使得 ‖ x ‖ M 2 = E ∫ 0 T | y ( s ) | 2 d 〈 M 〉 s < + ∞ 的 F t -适应的 R n 值的过程 x = x ( s ) 的集合。当 n = 1 时简记为 L M 。
2) 用 L ′ M ( 0 , T ; R n × d ) 表示所有使得 ‖ y ‖ M 2 = E ∫ 0 T | z ( s ) | 2 d 〈 M 〉 s < + ∞ 的 F t 可料的 R n × d 值的过程 y = y ( s ) 的集合。当 n = d = 1 时简记为 L ′ M 。
3) 用 L 2 ( Ω , F T , P ; R n ) 表示所有满足
以下,我们将讨论如下形式的一维倒向随机微分方程:
其中, y ( s ) 为 F t 适应的过程, z ( s ) 为 F t 可料的过程, ξ ∈ L 2 ( Ω , F T , P ) , { M t , F t ; 0 ≤ t < + ∞ } 为具有零初值的连续局部鞅,具有可料表示性,且 〈 M 〉 T 为有界的,即存在正常数 C 1 ,使得 〈 M 〉 T ≤ C 1 ,a.s.,函数 g : Ω × [ 0 , T ] × R × R → R 为 P ⊗ Β ( R ) ⊗ Β ( R ) 可测的。
假设方程(1)满足以下条件:
(H1) g ( ⋅ , 0 , 0 ) ∈ L M ;
(H2) 存在一个单调不减凹函数 ρ ( ⋅ ) : R + → R + ,使得 ∀ y 1 , y 2 ∈ R , z ∈ R , d P × d t − a . e . ,
| g ( w , t , y 1 , z ) − g ( w , t , y 2 , z ) | 2 ≤ ρ ( | y 1 − y 2 | 2 )
其中 ρ ( 0 ) = 0 , ∀ u > 0 , ∫ 0 + d u ρ ( u ) = + ∞ 。
(H3)存在一个常数 C ≥ 0 ,使得 ∀ y ∈ R , z 1 , z 2 ∈ R , d P × d t − a . e . ,
| g ( w , t , y , z 1 ) − g ( w , t , y , z 2 ) | 2 ≤ C ( | z 1 − z 2 | 2 )
(H4) E [ ( ∫ 0 T | g ( t , 0 , 0 ) | d 〈 M 〉 t ) 2 ] < + ∞ ;
注1: ρ ( ⋅ ) 是一个单调不减凹函数,且 ρ ( 0 ) = 0 ,即 ρ ( ⋅ ) 几乎处处是线性增长的,存在一个常数 A > 0 ,使得对 ∀ x ≥ 0 ,有 ρ ( x ) ≤ A ( x + 1 ) 。
定理1 设函数g满足(H1)—(H4), ξ ∈ L 2 ( Ω , F T , P ) ,则倒向随机微分方程(1)在 L 2 中有唯一的解。
为了证明定理1,我们还需要用到下面的引理。我们首先来构造倒向随机微分方程(1)的Picard逼近序列,由如下的倒向随机微分方程所定义:
y t 0 = 0 ; y t n = ξ + ∫ t T [ g ( s , y s n − 1 , z s n ) ] d 〈 M 〉 s − ∫ t T z s n d M s , 0 ≤ t ≤ T , (2)
其中,生成元 g ( s , y s n − 1 , z s n ) 满足(H3)和(H4),由文献 [
由注1和(H2),容易得
| g ( s , y s n − 1 , 0 ) | ≤ | g ( s , 0 , 0 ) | + ρ 1 2 ( | y s n − 1 | 2 ) ≤ | g ( s , 0 , 0 ) | + A 1 2 ( | y s n − 1 | + 1 )
和
E [ ( ∫ 0 T | g ( s , y s n − 1 , 0 ) | d 〈 M 〉 s ) 2 ] ≤ 4 E [ ( ∫ 0 T | g ( s , 0 , 0 ) | d 〈 M 〉 s ) 2 ] + A ( 2 T ) 2 ( E [ sup s ∈ [ 0 , T ] | y s n − 1 | 2 ] + 1 )
引理1 在定理1的假设下,存在一个常数 c 1 > 0 和常数 K > 0 ,且 c 1 只依赖于C,K只依赖于C和T,
使得对任意的 t ∈ [ 0 , T ] , n,m ≥ 1 ,有
E [ sup s ∈ [ t , T ] | y s n + m − y s n | 2 ] ≤ 1 2 e c 1 ( T − t ) ∫ t T ρ ( E [ | y s n + m − 1 − y s n − 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s (3)
和
E [ sup s ∈ [ t , T ] | z s n + m − z s n | ] ≤ K { E [ sup s ∈ [ t , T ] | y s n + m − y s n | 2 ] + ∫ t T ρ ( E [ | y s n + m − 1 − y s n − 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s } (4)
证明:由方程(2),得 ( y t n + m − y t n , z t n + m − z t n ) t ∈ [ 0 , T ] 是如下方程(5)在 L 2 中的解
y t = ∫ t T [ f n , m ( s , z s ) ] d 〈 M 〉 s − ∫ t T z s d M s , 0 ≤ t ≤ T (5)
其中 f n , m ( s , z s ) = g ( s , y s n + m − 1 , z + z s n ) − g ( s , y s n − 1 , z s n ) 。
由(H2)和(H3),得
| f n , m ( s , z s ) | ≤ ρ 1 2 ( | y s n + m − 1 − y s n − 1 | 2 ) + C | z | (6)
(6)式意味着方程(5)的生成元 f n , m ( s , z s ) 满足文献 [
Jensen不等式,即可得(3)式和(4)式。 证毕。
引理2 在定理1的假设下,存在一个不依赖于 ξ 的 T 1 ∈ [ 0 , T ] ,常数 M ≥ 0 ,使得对 ∀ t ∈ [ T 1 , T ] , n ≥ 1 ,有 E [ sup r ∈ [ t , T ] | y r n | 2 ] ≤ N 。
证明:由定理1的假设,得
| g ( s , y s n − 1 , z ) | ≤ | g ( s , y s n − 1 , z ) − g ( s , 0 , 0 ) | + | g ( s , 0 , 0 ) | ≤ ρ 1 2 ( | y s n − 1 | 2 ) + C | z | + | g ( s , 0 , 0 ) |
即方程(2)的生成元 g ( s , y s n − 1 , z s n ) 满足文献 [
又因为 ρ ( ⋅ ) 是一个凹函数,所以由文献 [
赖于C的正常数 c 2 和 c 3 ,使得对 ∀ t ∈ [ 0 , T ] , n ≥ 1 ,有
E [ sup r ∈ [ t , T ] | y r n | 2 ] ≤ μ t + 1 2 e c 3 ( T − t ) ∫ t T ρ ( E [ | y s n − 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s (7)
其中 μ t = c 2 e c 3 ( T − t ) { E | ξ | 2 + E [ ( ∫ t T | g ( s , 0 , 0 ) | d 〈 M 〉 s ) 2 ] } ≥ 0
令 N = 2 μ 0 + 2 A T , T 1 = max { T − ln 2 c 1 , T − ln 2 c 3 , T − 1 2 A , 0 } ,其中 c 1 是引理1中的,A是注1中的,则对
1 2 e c 1 ( T − t ) ≤ 1 , 1 2 e c 3 ( T − t ) , A ( T − t ) ≤ 1 2 (8)
由(7)和(8),得
E [ sup r ∈ [ t , T ] | y r n | 2 ] ≤ μ 0 + 1 2 e c 3 ( T − t ) ∫ t T ρ ( E [ | y s n − 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s , t ∈ [ T 1 , T ] (9)
又因为 ρ ( ⋅ ) 是一个单调不减函数,由(9)式,注1和(8)式,得 ∀ t ∈ [ T 1 , T ] ,
E [ sup r ∈ [ t , T ] | y r n | 2 ] ≤ N ,证毕。
先证存在性。先定义一个函数列 { φ n ( t ) } n ≥ 1 如下:
φ 0 ( t ) = ∫ t T ρ ( N ) d 〈 M 〉 s ; φ n + 1 ( t ) = ∫ t T ρ ( φ n ( s ) ) d 〈 M 〉 s (10)
对 ∀ t ∈ [ T 1 , T ] ,由引理2,得
φ 0 ( t ) = ∫ t T ρ ( N ) d 〈 M 〉 s ≤ M ,
φ 1 ( t ) = ∫ t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d 〈 M 〉 s ≤ ∫ t T ρ ( N ) d 〈 M 〉 s = φ 0 ( t ) ≤ M ,
φ 2 ( t ) = ∫ t T ρ ( φ 1 ( s ) ) d 〈 M 〉 s ≤ ∫ t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d 〈 M 〉 s = φ 1 ( t ) ≤ M 。
由数学归纳法,可得
0 ≤ φ n + 1 ( t ) ≤ φ n ( t ) ≤ ⋯ ≤ φ 1 ( t ) ≤ φ 0 ( t ) ≤ M 。
因此,对 ∀ t ∈ [ T 1 , T ] ,函数列 { φ n ( t ) } n ≥ 1 极限存在,记为 φ ( t ) 。
因为 ρ ( ⋅ ) 是一个连续函数,且 ρ ( φ n ( s ) ) ≤ ρ ( N ) ,令 n → ∞ ,对(10)式取极限,由Lebesgue收敛定理,对 ∀ t ∈ [ T 1 , T ] ,有
E [ sup r ∈ [ t , T ] | y r n | 2 ] ≤ N ,
E [ sup r ∈ [ t , T ] | y r 1 + m − y r 1 | 2 ] ≤ ∫ t T ρ ( E [ | y s m | 2 ] ) d 〈 M 〉 s ≤ ∫ t T ρ ( N ) d 〈 M 〉 s = φ 0 ( t ) ≤ M ,
E [ sup r ∈ [ t , T ] | y r 2 + m − y r 2 | 2 ] ≤ ∫ t T ρ ( E [ | y r 1+ m − y r 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s ≤ ∫ t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d 〈 M 〉 s = φ 1 ( t ) ≤ M 。
由数学归纳法,可得
E [ sup r ∈ [ T 1 , T ] | y r n+ m − y r n | 2 ] ≤ φ n − 1 ( T 1 ) → 0 , n → ∞
即 { y t n } n ≥ 1 是cauchy序列,又因为 ρ ( ⋅ ) 是一个连续函数,由引理1中的(4)式知, { z t n } n ≥ 1 也是cauchy序列,它们的极限分别记为 { y t } t ∈ [ T 1 , T ] 和 { y t } t ∈ [ T 1 , T ] 。令 n → ∞ ,对(2)式取极限,可得 { y t , z t } 是具有参数 ( ξ , T , g ) 的BSDE在 [ T 1 , T ] 的 L 2 解。
可以通过迭代可得, ∀ l ,方程(1)在
再证唯一性:设 { y t 1 , z t 1 } t ∈ [ 0 , T ] 和 { y t 2 , z t 2 } t ∈ [ 0 , T ] 都是方程(1)的 L 2 解,则
是如下方程(11)的 L 2 解。
y t = ∫ t T [ g ^ ( s , y s , z s ) ] d 〈 M 〉 s − ∫ t T z s d M s , 0 ≤ t ≤ T (11)
其中, g ^ ( s , y s , z s ) = g ( s , y + y s 2 , z + z s 2 ) − g ^ ( s , y s 2 , z s 2 ) 。
由(H2)和(H3),可得 | g ^ ( s , y s , z s ) | ≤ ρ 1 2 ( | y | 2 ) + C | z | ,即方程(11)的生成元
1中的假设(A)。
由文献 [
得对 ∀ t ∈ [ 0 , T ] ,有
E [ | y t 1 − y t 2 | 2 ] ≤ 1 2 e c 4 ( T − t ) ∫ t T ρ ( E [ | y s 1 − y s 2 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s (12)
和
E [ ( ∫ t T | z s 1 − z s 2 | 2 d 〈 M 〉 s ) ] ≤ c 5 { E [ sup s ∈ [ t , T ] | y s 1 − y s 2 | 2 ] + ρ ( E [ sup s ∈ [ t , T ] | y s 1 − y s 2 | 2 ] ) } 。 (13)
对(12)式应用Bihari’s不等式,得 E [ | y t 1 − y t 2 | 2 ] = 0 , t ∈ [ 0 , T ] ,因此 y t 1 = y t 2 , t ∈ [ 0 , T ] , a . s . ,再由(13)式,又可得 z t 1 = z t 2 , t ∈ [ 0 , T ] , a . s . ,唯一性得证。
国家自然科学基金资助项目(11561028,11801238),江西省教育厅青年科学基金资助项目(GJJ170566,GJJ170567,GJJ170525),江西理工大学大学生创新创业训练项目(DC2018-072),江西理工大学本科教学工程项目(XZG-16-01-05)。
李师煜,但李萍,杨璐帆. 一种新非Lipschitz条件下倒向随机微分方程的L2解L2 Solutions of BSDEs with a New Kind of Non-Lipschitz[J]. 应用数学进展, 2019, 08(08): 1321-1326. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.88155