本文主要研究了一类超Heisenberg-Virasoro代数上的超双代数结构,得到了该类超李双代数为三角余边缘的充分必要条件。 In this paper we investigate Lie super-bialgebra structures on a super Heisenberg-Virasoro algebra. We obtain sufficient and necessary conditions for this type Lie super-bialgebra structures to be triangular coboundary.
李美君
青岛大学数学与统计学院,山东 青岛
收稿日期:2019年8月6日;录用日期:2019年8月26日;发布日期:2019年9月2日
本文主要研究了一类超Heisenberg-Virasoro代数上的超双代数结构,得到了该类超李双代数为三角余边缘的充分必要条件。
关键词 :超李双代数,Yang-Baxter方程,超Heisenberg-Virasoro代数
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为了研究量子群,Drinfeld于1983年在文献 [
结构,它是复数域 ℂ 上的无限维李超代数,以 { L n , I n , G n | n ∈ ℤ } 为一组基,且满足以下运算
[ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n , [ L m , I n ] = − n I m + n , [ L m , G n ] = − n G m + n , [ I n , G n ] = [ I m , I n ] = 0 , [ G m , G n ] = I m + n (1.1)
给定超向量空间 L = L 0 ¯ ⊕ L 1 ¯ ,假设以下元素都是 ℤ 2 -分次的,用 | x | ∈ ℤ 2 表示x的次,即 x ∈ L | x | 。引入 τ ( x ⊗ y ) = ( − 1 ) | x | | y | y ⊗ x , ξ ( x ⊗ y ⊗ z ) = ( − 1 ) | x | ( | y | + | z | ) y ⊗ z ⊗ x , ∀ x , y , z ∈ L 。
定义2.1:李超代数 ( L , φ ) 由超向量空间L和双线性映射 φ : L ⊗ L → L 构成,且满足
φ ( L i , L j ) ⊂ L i + j , Ker ( 1 − τ ) ⊂ Ker φ , φ ⋅ ( 1 ⊗ φ ) ⋅ ( 1 + ξ + ξ 2 ) = 0 。
定义2.2:李超余代数 ( L , Δ ) 由超向量空间L和线性映射 Δ : L → L ⊗ L 构成,且满足
Δ ( L i ) ⊂ ∑ j + k = i L j ⊗ L k , Im Δ ⊂ Im ( 1 − τ ) , ( 1 + ξ + ξ 2 ) ⋅ ( 1 ⊗ Δ ) ⋅ Δ = 0 。
定义2.3:李超双代数 ( L , φ , Δ ) 满足: ( L , φ ) 是李超代数, ( L , Δ ) 是超余代数,且有 Δ φ ( x , y ) = x ⋅ Δ y − ( − 1 ) | x | | y | y ⋅ Δ x , ∀ x , y ∈ L ,其中“ ⋅ ”表示对角伴随作用
x ⋅ ( ∑ i a i ⊗ b i ) = ∑ i ( [ x , a i ] ⊗ b i + ( − 1 ) | x | | a i | a i ⊗ [ x , b i ] ) (2.1)
用 U 表示L的泛包络代数,记 r = ∑ i a i ⊗ b i ∈ L ⊗ L ,引入
r 13 = ∑ i a i ⊗ 1 ⊗ b i = ( τ ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ r ) = ( 1 ⊗ τ ) ( r ⊗ 1 ) ,
r 12 = ∑ i a i ⊗ b i ⊗ 1 = r ⊗ 1 , r 23 = ∑ i 1 ⊗ a i ⊗ b i = 1 ⊗ r . (2.2)
其中 1 是泛包络代数 U 的单位元,则定义 c ( r ) ∈ L ⊗ L ⊗ L 如下
c ( r ) = [ r 12 , r 13 ] + [ r 12 , r 23 ] + [ r 13 , r 23 ] , ∀ r ∈ L ⊗ L .
定义2.4:1) 余边缘李超双代数 ( L , φ , Δ , r ) 是一个四元组,其中 ( L , φ , Δ ) 是李超双代数,并且有 r ∈ Im ( 1 − τ ) ⊂ L ⊗ L ,使得 Δ = Δ r (称为r的余边缘),即对任意 x ∈ L ,有 Δ r ( x ) = ( − 1 ) | r | | x | x ⋅ r 。
2) 我们称 ( L , φ , Δ , r ) 为三角的,若满足经典的Yang-Baxter方程 (CYBE)
c ( r ) = 0 (2.3)
3) 元素 r ∈ Im ( 1 − τ ) ⊂ L ⊗ L 称为满足修正的Yang-Baxter方程,如果
x ⋅ c ( r ) = 0 , ∀ x ∈ L (2.4)
文献 [
r ∈ Im ( 1 − τ ) ⊂ L ⊗ L ,则有 ( 1 + ξ + ξ 2 ) ⋅ ( 1 ⊗ Δ r ) ⋅ Δ r ( x ) = x ⋅ c ( r ) ,三元组 ( L , [ ⋅ , ⋅ ] , Δ r ) 是李双代数当且仅当r满足(2.3)。
我们可把 V = L ⊗ L = V 0 ¯ ⊕ V 1 ¯ 看作对角伴随作用下的 L -模。用 Der ( L , V ) = Der 0 ¯ ( L , V ) + Der 1 ¯ ( L , V ) 表示导子 D : L → V 的集合,且D满足
D ( [ x , y ] ) = ( − 1 ) | D | | x | x ⋅ D ( y ) − ( − 1 ) | y | ( | D | + | x | ) y ⋅ D ( x ) , ∀ x , y ∈ L (2.5)
导子是偶(奇)的,若 | D | = 0 ( | D | = 1 ) 。用 Inn ( L , V ) 表示内导子 v inn 的集合,其中 v inn : x ↦ ( − 1 ) | v | | x | x ⋅ v 。用 H 1 ( L , V ) 表示李代数 L 系数在 L -模 V 上的一阶上同调群,则 H 1 ( L , V ) ≅ Der ( L , V ) / Inn ( L , V ) 。 ℤ * 表示非零整数且 ℤ \ A = { n ∈ ℤ , n ∉ A } 。对任意 λ , η , ρ , ω , ν , ν ′ ∈ ℂ ,我们可引入以下导子 D ∈ Der ( L , V )
D ( L 0 ) ≡ 0 ≡ D ( I 0 ) , D ( I n ) = 2 ν ( I 0 ⊗ I n − I n ⊗ I 0 ) , ∀ n ∈ ℤ * , m ∈ ℤ ,
D ( G m ) = ν ( I 0 ⊗ G m − G m ⊗ I 0 ) + ν ′ ( I m ⊗ G 0 − G 0 ⊗ I m ) + ω ( I 0 ⊗ I m − I m ⊗ I 0 ) ,
D ( L n ) = ( ( 2 − n ) λ + ( n − 1 ) η ) I n ⊗ I 0 + ( ( n − 2 ) λ + 2 − n 2 η + n 2 ρ ) I 0 ⊗ I n . (2.6)
D ( L 0 ) ≡ 0 表示 D ( L 0 ) ≡ 0 ( mod ℂ ( I 0 ⊗ I 0 ) ) ,即 D ( L 0 ) ∈ ℂ ( I 0 ⊗ I 0 ) 。
本文的主要结果可表述为以下两个定理。
定理3.1: H 1 ( L , V ) ≅ ℂ D 。
定理3.2:李双代数 ( L , [ ⋅ , ⋅ ] , Δ ) 是三角余边缘的当且仅当 λ = η = ρ = ω = ν = ν ′ = 0 。
引理3.1:把 L 的n次张量积 L ⊗ n 看作 L 对角伴随作用下的 L -模。如果对某个 r ∈ L ⊗ n 和任意 x ∈ L ,使得 x ⋅ r = 0 ,则 r ∈ I 0 ⊗ n 。
证明:可运用文献 [
引理3.2:对所有 x ∈ L ,假设 v ∈ V ,使得 x ⋅ v ∈ Im ( 1 − τ ) ,则对某个 c ∈ ℂ ,有 v − c I 0 ⊗ I 0 ∈ Im ( 1 − τ ) 。
证明:可运用文献 [
定理3.1:由断言1~4得到。
断言1:如果 n ∈ ℤ * ,则 D n ∈ Inn ( L , V ) 。
证明:首先记 y = D n ( L 0 ) n ∈ V n , ∀ n ∈ ℤ * 。把 D n 作用在 [ L 0 , x j ] = − j x j 上,再利用 D n ( x j ) ∈ V n + j ,有 D n ( x j ) = x j ⋅ D n ( L 0 ) n = x j ⋅ y , ∀ x j ∈ L j ,从而 D n = y inn 为内导子。
断言2: D 0 ( L 0 ) ≡ 0 ≡ D 0 ( I 0 ) 。
证明:把 D 0 作用在 [ L 0 , x j ] = − j x j 上, ∀ j ∈ ℤ , x ∈ L ,有 x j ⋅ D 0 ( L 0 ) = 0 。则由引理3.1可推出 D 0 ( L 0 ) ≡ 0 。
类似地,通过将 D 0 作用于 [ I 0 , x ] = 0 上,有 D 0 ( I 0 ) ≡ 0 。
断言3:当 D 0 ∈ Der 0 ¯ ( L , V ) 时,用 D 0 − u inn ( u ∈ V 0 )代替 D 0 ,我们可假设
证明:对 ∀ n ∈ ℤ , D 0 ( L n ) , D 0 ( I n ) 和 D 0 ( G n ) 如下所示
D 0 ( L n ) = ∑ i ∈ ℤ ( a n , i L i ⊗ L n − i + b n , i L i ⊗ I n − i + b n , i † I i ⊗ L n − i + c n , i I i ⊗ I n − i + e n , i G i ⊗ G n − i ) ,
D 0 ( I n ) = ∑ i ∈ ℤ ( α n , i L i ⊗ L n − i + β n , i L i ⊗ I n − i + β n , i † I i ⊗ L n − i + γ n , i I i ⊗ I n − i + f n , i G i ⊗ G n − i ) ,
D 0 ( G n ) = ∑ i ∈ ℤ ( μ n , i L i ⊗ G n − i + μ n , i † G i ⊗ L n − i + ν n , i I i ⊗ G n − i + ν n , i † G i ⊗ I n − i ) ,
其中,所有张量积的系数都在复数域 ℂ 中,且它们的和是有限的。对于 ∀ n ∈ ℤ ,下列恒等式成立,
L 1 ⋅ ( L n ⊗ L − n ) = ( 1 − n ) L n + 1 ⊗ L − n + ( 1 + n ) L n ⊗ L 1 − n ,
L 1 ⋅ ( I n ⊗ I − n ) = − n I n + 1 ⊗ I − n + n I n ⊗ I 1 − n , L 1 ⋅ ( G n ⊗ G − n ) = − n G n + 1 ⊗ G − n + n G n ⊗ G 1 − n ,
L 1 ⋅ ( L n ⊗ I − n ) = ( 1 − n ) L n + 1 ⊗ I − n + n L n ⊗ I 1 − n , L 1 ⋅ ( I n ⊗ L − n ) = − n I n + 1 ⊗ L − n + ( 1 + n ) I n ⊗ L 1 − n ,
用 D 0 − u inn 代替 D 0 ,其中u是 L p ⊗ L − p , L p ⊗ I − p , I p ⊗ L − p , I p ⊗ I − p 和 G p ⊗ G − p ( p ∈ ℤ )的适当的线性组合,假设对任意 i ∈ ℤ \ { − 1 , 2 } , j ∈ ℤ \ { 0 , 2 } , k ∈ ℤ \ { − 1 , 1 } 和 m ∈ ℤ \ { 0 , 1 } ,有 a 1 , i = b 1 , j = b 1 , k † = c 1 , m = e 1 , m = 0 。则 D 0 ( L 1 ) 化简为
D 0 ( L 1 ) = a 1 , − 1 L − 1 ⊗ L 2 + a 1 , 2 L 2 ⊗ L − 1 + b 1 , 0 L 0 ⊗ I 1 + b 1 , 2 L 2 ⊗ I − 1 + b 1 , − 1 † I − 1 ⊗ L 2 + b 1 , 1 † I 1 ⊗ L 0 + c 1 , 0 I 0 ⊗ I 1 + c 1 , 1 I 1 ⊗ I 0 + e 1 , 0 G 0 ⊗ G 1 + e 1 , 1 G 1 ⊗ G 0 .
将 D 0 作用在 [ L − 1 , L 1 ] = − 2 L 0 上,有
a − 1 , i = 0 , ∀ i ∈ ℤ \ { − 2 , ± 1 , 0 } , a − 1 , − 2 = − a 1 , − 1 + 1 3 a − 1 , 0 , a − 1 , 1 = − a 1 , 2 − 1 3 a − 1 , 0 , (3.1)
b − 1 , i 1 = b − 1 , i 2 † = c − 1 , i 3 = e − 1 , i 3 = 0 , ∀ i 1 ∈ ℤ \ { ± 1 , 0 } , i 2 ∈ ℤ \ { − 2 , − 1 , 0 } , i 3 ∈ ℤ \ { − 1 , 0 } ,
b 1 , 0 = b 1 , 2 = b 1 , − 1 † = b 1 , 1 † = 0 , b − 1 , 0 = − 2 b − 1 , − 1 = − 2 b − 1 , 1 , b − 1 , − 1 † = − 2 b − 1 , − 2 † = − 2 b − 1 , 0 † .
从而,进一步得到 D 0 ( L ± 1 ) 的简化式如下
D 0 ( L − 1 ) = a − 1 , − 2 L − 2 ⊗ L 1 + a − 1 , 0 ( − L − 1 ⊗ L 0 + L 0 ⊗ L − 1 ) + a − 1 , 1 L 1 ⊗ L − 2 + b − 1 , − 1 ( L − 1 ⊗ I 0 − 2 L 0 ⊗ I − 1 + L 1 ⊗ I − 2 ) + b − 1 , 0 † ( I − 2 ⊗ L 1 − 2 I − 1 ⊗ L 0 + I 0 ⊗ L − 1 ) + c − 1 , − 1 I − 1 ⊗ I 0 + c − 1 , 0 I 0 ⊗ I − 1 + e − 1 , − 1 G − 1 ⊗ G 0 + e − 1 , 0 G 0 ⊗ G − 1 ,
D 0 ( L 1 ) = a 1 , − 1 L − 1 ⊗ L 2 + a 1 , 2 L 2 ⊗ L − 1 + c 1 , 0 I 0 ⊗ I 1 + c 1 , 1 I 1 ⊗ I 0 + e 1 , 0 G 0 ⊗ G 1 + e 1 , 1 G 1 ⊗ G 0 .
将 D 0 作用在 [ L − 2 , L 1 ] = − 3 L − 1 上,结合(3.1)得
a − 1 , 1 = − 1 3 a − 1 , 0 , 2 a − 2 , − 1 + 3 a − 2 , 0 − 3 a − 1 , 0 = 0 , a − 2 , 0 + 4 a − 2 , 1 − 3 a − 1 , 1 = 0 , (3.2)
a − 1 , − 2 = 1 3 a − 1 , 0 , 4 a − 2 , − 3 + a − 2 , − 2 − 3 a − 1 , − 2 = 0 , 3 a − 2 , − 2 + 2 a − 2 , − 1 + 3 a − 1 , 0 = 0 . (3.3)
将 D 0 作用在 [ L − 1 , L 2 ] = − 3 L 1 上,有
a − 1 , 0 = a 2 , − 1 − a 2 , 3 = a 2 , 0 + 4 a 2 , 3 = a 2 , 1 − 6 a 2 , 3 = a 2 , 2 + 4 a 2 , 3 = a 2 , i = b 2 , i 1 = b 2 , i 2 † = c 2 , i 3 = e 2 , i 3 = 0 ,
∀ i ∈ ℤ \ { ± 1 , 0 , 2 , 3 } , i 1 ∈ ℤ \ { ± 1 , 0 , 2 , 3 } , i 2 ∈ ℤ \ { ± 1 , 0 , 2 , 3 } , i 3 ∈ ℤ \ { 0 , 1 , 2 } ,
此时,由(3.2)和(3.3)得
b 2 , 0 + 3 b 2 , − 1 = b 2 , 3 − b − 1 , − 1 = b 2 , 1 − 3 b 2 , − 1 − b − 1 , − 1 = 3 b 2 , 2 + b 2 , 1 + 5 b − 1 , − 1 = 0 , (3.4)
3 b 2 , 3 † + b 2 , 2 † = b 2 , − 1 † − b − 1 , 0 † = b 2 , 1 † + 3 b 2 , 0 † + 5 b − 1 , 0 † = − 3 b 2 , 3 † + b 2 , 1 † − b − 1 , 0 † = 0 . (3.5)
将 D 0 作用在 [ L − 2 , L 2 ] = − 4 L 0 上,结合(3.4)和(3.5)得,则有
a 2 , 3 + a − 2 , 1 = c 2 , 1 + c − 2 , − 1 = e 2 , 1 + e − 2 , − 1 = 0 ,
b 2 , − 1 = b − 2 , 0 = 0 , b − 2 , − 1 = − 3 b 2 , 1 = − 3 b − 1 , − 1 , b − 2 , − 2 = − b 2 , 2 = 2 b − 1 , − 1 , b − 2 , 1 = b − 1 , − 1 ,
b − 2 , − 2 † = b 2 , 3 † = 0 , b − 2 , − 1 † = − 3 b 2 , 1 † = − 3 b − 1 , 0 † , b − 2 , 0 † = − b 2 , 0 † = 2 b − 1 , 0 † , b − 2 , − 3 † = b − 1 , 0 † .
记 u 1 = L 1 ⊗ L − 1 − 2 L 0 ⊗ L 0 + L − 1 ⊗ L 1 , u 2 = L 1 ⊗ I − 1 − L 0 ⊗ I 0 , u 3 = I − 1 ⊗ L 1 − I 0 ⊗ L 0 ,用 D 0 − a 2 , 3 ( u 1 ) inn − b − 1 , − 1 ( u 2 ) inn − b − 1 , 0 † ( u 3 ) inn 代替D,有 a 2 , 3 = b − 1 , − 1 = b − 1 , 0 † = 0 。则有
D 0 ( L ± 1 ) = c ± 1 , 0 I 0 ⊗ I ± 1 + c ± 1 , ± 1 I ± 1 ⊗ I 0 + e ± 1 , 0 G 0 ⊗ G ± 1 + e ± 1 , ± 1 G ± 1 ⊗ G 0 ,
D 0 ( L ± 2 ) = c ± 2 , 0 I 0 ⊗ I ± 2 ± c 2 , 1 I ± 1 ⊗ I ± 1 + c ± 2 , ± 2 I ± 2 ⊗ I 0 + e ± 2 , 0 G 0 ⊗ G ± 2 ± e 2 , 1 G ± 1 ⊗ G ± 1 + e ± 2 , ± 2 G ± 2 ⊗ G 0 .
且系数满足以下关系式
c − 1 , − 1 + c − 1 , 0 + c 1 , 0 + c 1 , 1 = c − 2 , − 2 + c − 2 , 0 + c 2 , 0 + c 2 , 2 = 2 c 2 , 0 + c 2 , 1 + c − 1 , 0 − 3 c 1 , 0 = 0 ,
2 c 2 , 2 + c 2 , 1 + c − 1 , − 1 − 3 c 1 , 1 = 2 c − 2 , 0 − c 2 , 1 + c 1 , 0 − 3 c − 1 , 0 = 2 c − 2 , − 2 − c 2 , 1 + c 1 , 1 − 3 c − 1 , − 1 = 0 .
将 D 0 作用在 [ L − 1 , I 1 ] = − I 0 上,有
α 1 , i = β 1 , i 1 = β 1 , i 2 † = γ 1 , i 3 = f 1 , i 3 = α 1 , 1 + 3 α 1 , 2 = α 1 , 0 − 3 α 1 , 2 = α 1 , − 1 + α 1 , 2 = 0 ,
∀ i ∈ ℤ \ { ± 1 , 0 , 2 } , i 1 ∈ ℤ \ { ± 1 , 0 } , i 2 ∈ ℤ \ { 0 , 1 , 2 } , i 3 ∈ ℤ \ { 0 , 1 } ,
β 1 , 0 = − 2 β 1 , − 1 = − 2 β 1 , 1 , β 1 , 1 † = − 2 β 1 , 0 † = − 2 β 1 , 2 † , γ 1 , 0 + γ 1 , 1 = f 1 , 0 + f 1 , 1 = 0 .
将 D 0 作用在 [ L 1 , I − 1 ] = I 0 上,同理有
D 0 ( I − 1 ) = α − 1 , 1 ( − L − 2 ⊗ L 1 + 3 L − 1 ⊗ L 0 − 3 L 0 ⊗ L − 1 + L 1 ⊗ L − 2 ) + β − 1 , 1 ( L − 1 ⊗ I 0 − 2 L 0 ⊗ I − 1 + L 1 ⊗ I − 2 ) + β − 1 , 0 † ( I − 2 ⊗ L 1 − 2 I − 1 ⊗ L 0 + I 0 ⊗ L − 1 ) + γ − 1 , − 1 ( I − 1 ⊗ I 0 − I 0 ⊗ I − 1 ) + f − 1 , − 1 ( G − 1 ⊗ G 0 − G 0 ⊗ G − 1 ) .
将 D 0 作用在 [ L 2 , I − 1 ] = I 1 上,有
α − 1 , 1 = α 1 , 2 = β − 1 , 1 = β 1 , 1 = β − 1 , 0 † = β 1 , 2 † = 0 , γ 1 , 0 + γ − 1 , − 1 = f 1 , 0 + f − 1 , − 1 = 0 .
此时, D 0 ( I ± 1 ) = γ 1 , 0 ( I 0 ⊗ I ± 1 − I ± 1 ⊗ I 0 ) + f 1 , 0 ( G 0 ⊗ G ± 1 − G ± 1 ⊗ G 0 ) 。
将 D 0 作用在 [ L 1 , G 0 ] = 0 和 [ L − 1 , G 0 ] = 0 上,可得
D 0 ( G 0 ) = ν 0 , 0 I 0 ⊗ G 0 + ν 0 , 0 † G 0 ⊗ I 0 ,
D 0 ( L ± 1 ) = c ± 1 , 0 I 0 ⊗ I ± 1 + c ± 1 , ± 1 I ± 1 ⊗ I 0 .
将 D 0 作用在 [ I − 1 , G 1 ] = 0 和 [ I 1 , G − 1 ] = 0 上,分别有以下系数关系式
μ 1 , 1 = μ 1 , − 1 † = − μ 1 , 2 = − μ 1 , 0 † = f 1 , 0 , μ 1 , i 1 = μ 1 , i 2 † = 0 , ∀ i 1 ∈ ℤ \ { 1 , 2 } , i 2 ∈ ℤ \ { − 1 , 0 } ,
μ − 1 , − 2 = μ − 1 , 0 † = − μ − 1 , − 1 = − μ − 1 , 1 † = f 1 , 0 , μ − 1 , i 3 = μ − 1 , i 4 † = 0 , ∀ i 3 ∈ ℤ \ { − 2 , − 1 } , i 4 ∈ ℤ \ { 0 , 1 } .
将 D 0 作用在 [ L 1 , G − 1 ] = G 0 和
f 1 , 0 = ν 1 , i 1 = ν 1 , i 1 † = ν 1 , 1 + ν 1 , 0 − ν 0 , 0 = ν 1 , 1 † + ν 1 , 0 † − ν 0 , 0 † = 0 ,
ν − 1 , i 2 = ν − 1 , i 2 † = ν − 1 , − 1 + ν − 1 , 0 − ν 0 , 0 = ν − 1 , − 1 † + ν − 1 , 0 † − ν 0 , 0 † = 0 , ∀ i 2 ∈ ℤ \ { − 1 , 0 } .
且有 D 0 ( I ± 1 ) = γ 1 , 0 ( I 0 ⊗ I ± 1 − I ± 1 ⊗ I 0 ) 。
将 D 0 作用在 [ L 2 , G − 1 ] = G 1 和 [ L − 2 , G 1 ] = − G − 1 上,可得 e 2 , 0 = e 2 , 1 = e 2 , 2 = 0 ,
从而有 D 0 ( L ± 2 ) = c ± 2 , 0 I 0 ⊗ I ± 2 ± c 2 , 1 I ± 1 ⊗ I ± 1 + c ± 2 , ± 2 I ± 2 ⊗ I 0 。
将 D 0 作用在 [ G − 1 , G 1 ] = I 0 上,有
D 0 ( G 0 ) = ν 0 , 0 ( I 0 ⊗ G 0 − G 0 ⊗ I 0 ) ,
D 0 ( G ± 1 ) = ν 1 , 0 ( I 0 ⊗ G ± 1 − G ± 1 ⊗ I 0 ) + ν 1 , 1 ( I ± 1 ⊗ G 0 − G 0 ⊗ I ± 1 ) 。
且满足 ν 0 , 0 = ν 1 , 0 + ν 1 , 1 , γ 1 , 0 = 2 ν 1 , 0 。
根据以下记法: c 1 , 1 = λ , c 2 , 0 = η , c 2 , 1 = κ , c 2 , 2 = ρ , ν 1 , 0 = ν , ν 1 , 1 = ν ′ ,利用数学归纳法,并考虑(1.1)中所有的李括号可得
D 0 ( L 0 ) ≡ 0 ≡ D 0 ( I 0 ) , D 0 ( I n ) = 2 ν ( I 0 ⊗ I n − I n ⊗ I 0 ) ,
D 0 ( L n ) = ( ( 2 − n ) λ + ( n − 1 ) η ) I n ⊗ I 0 + ( ( n − 2 ) λ + 2 − n 2 η + n 2 ρ ) I 0 ⊗ I n ,
D 0 ( G m ) = ν ( I 0 ⊗ G m − G m ⊗ I 0 ) + ν ′ ( I m ⊗ G 0 − G 0 ⊗ I m ) , ∀ n ∈ ℤ * , m ∈ ℤ .
断言4:当 D 0 ∈ Der 1 ¯ ( L , V ) 时,用 D 0 − u inn ( u ∈ V 0 )代替 D 0 ,我们可假设 D 0 ( L ) = D ( L ) 。
证明:对 ∀ n ∈ ℤ , D 0 ( L n ) , D 0 ( I n ) 和 D 0 ( G n ) 如下所示
D 0 ( L n ) = ∑ i ∈ ℤ ( a n , i L i ⊗ G n − i + a n , i † G i ⊗ L n − i + b n , i I i ⊗ G n − i + b n , i † G i ⊗ I n − i ) ,
D 0 ( I n ) = ∑ i ∈ ℤ ( α n , i L i ⊗ G n − i + α n , i † G i ⊗ L n − i + β n , i I i ⊗ G n − i + β n , i † G i ⊗ I n − i ) ,
D 0 ( G n ) = ∑ i ∈ ℤ ( μ n , i L i ⊗ L n − i + ν n , i L i ⊗ I n − i + ν n , i † I i ⊗ L n − i + ω n , i I i ⊗ I n − i + λ n , i G i ⊗ G n − i ) ,
其中,所有张量积的系数都在复数域 ℂ 中,且它们的和是有限的。对于 ∀ n ∈ ℤ ,下列恒等式成立,
L 1 ⋅ ( L n ⊗ G − n ) = ( 1 − n ) L n + 1 ⊗ G − n + n L n ⊗ G 1 − n , L 1 ⋅ ( I n ⊗ G − n ) = − n I n + 1 ⊗ G − n + n I n ⊗ G 1 − n ,
L 1 ⋅ ( G n ⊗ L − n ) = − n G n + 1 ⊗ L − n + ( n + 1 ) G n ⊗ L 1 − n , L 1 ⋅ ( G n ⊗ I − n ) = − n G n + 1 ⊗ I − n + n G n ⊗ I 1 − n .
用 D 0 − u inn 代替 D 0 ,其中u是 L p ⊗ G − p , G p ⊗ L − p , I p ⊗ G − p 和 G p ⊗ I − p 的适当的线性组合,
D 0 ( L 1 ) = a 1 , 0 L 0 ⊗ G 1 + a 1 , 2 L 2 ⊗ G − 1 + a 1 , − 1 † G − 1 ⊗ L 2 + a 1 , 1 † G 1 ⊗ L 0 + b 1 , 0 I 0 ⊗ G 1 + b 1 , 1 I 1 ⊗ G 0 + b 1 , 0 † G 0 ⊗ I 1 + b 1 , 1 † G 1 ⊗ I 0 .
将 D 0 作用在 [ L − 1 , L 1 ] = − 2 L 0 上,记 u 1 = − L 0 ⊗ G 0 + L 1 ⊗ G − 1 , u 2 = G − 1 ⊗ L 1 − L 0 ⊗ G 0 ,用 D 0 − a − 1 , − 1 ( u 1 ) inn − a − 1 , 0 † ( u 2 ) inn 代替D,可得
D 0 ( L ± 1 ) = b ± 1 , 0 I 0 ⊗ G ± 1 + b ± 1 , ± 1 I ± 1 ⊗ G 0 + b ± 1 , 0 † G 0 ⊗ I ± 1 + b ± 1 , ± 1 † G ± 1 ⊗ I 0 .
将 D 0 依次作用在 [ L − 2 , L 1 ] = − 3 L − 1 , [ L − 1 , L 2 ] = − 3 L 1 和 [ L − 2 , L 2 ] = − 4 L 0 上,
我们可以推导出 D 0 ( L ± 2 ) 如下
D 0 ( L ± 2 ) = b ± 2 , 0 I 0 ⊗ G ± 2 ± b 2 , 1 I ± 1 ⊗ G ± 1 + b ± 2 , ± 2 I ± 2 ⊗ G 0 + b ± 2 , 0 † G 0 ⊗ I ± 2 ± b 2 , 1 † G ± 1 ⊗ I ± 1 + b ± 2 , ± 2 † G ± 2 ⊗ I 0 .
且系数满足以下关系
2 b 2 , 0 † + b 2 , 1 † + b − 1 , 0 † − 3 b 1 , 0 † = 2 b 2 , 2 † + b 2 , 1 † + b − 1 , − 1 † − 3 b 1 , 1 † = 0 , (3.6)
2 b 2 , 0 + b 2 , 1 + b − 1 , 1 − 3 b 1 , 0 = 2 b 2 , 2 + b 2 , 1 + b − 1 , − 1 − 3 b 1 , 1 = 2 b − 2 , 0 † − b 2 , 1 † + b 1 , 0 † − 3 b − 1 , 0 † = 0 (3.7)
2 b − 2 , − 2 − b 2 , 1 + b 1 , 1 − 3 b − 1 , − 1 = 2 b − 2 , 0 − b 2 , 1 + b 1 , 0 − 3 b − 1 , 0 = 2 b − 2 , − 2 † − b 2 , 1 † + b 1 , 1 † − 3 b − 1 , − 1 † = 0 .(3.8)
将 D 0 依次作用在 [ L − 1 , I 1 ] = − I 0 , [ L 1 , I − 1 ] = I 0 和 [ L 2 , I − 1 ] = I 1 上,我们可将 D 0 ( I ± 1 ) 化简为
D 0 ( I ± 1 ) = β 1 , 0 ( I 0 ⊗ G ± 1 − I ± 1 ⊗ G 0 ) + β 1 , 0 † ( G 0 ⊗ I ± 1 − G ± 1 ⊗ I 0 ) .
将 D 0 作用在 [ L ± 1 , G 0 ] = 0 和 [ I − 1 , G 0 ] = 0 上,可得
D 0 ( G 0 ) = ω 0 , 0 I 0 ⊗ I 0 + λ 0 , 0 G 0 ⊗ G 0 .
将 D 0 作用在 [ L ± 1 , G ∓ 1 ] = ± G 0 和 [ L 2 , G − 1 ] = G 1 上,再结合(3.6)~(3.8),可以推导出
D 0 ( L ± 1 ) = D 0 ( L ± 2 ) = D 0 ( G 0 ) = 0 ,
D 0 ( G ± 1 ) = ω 1 , 0 ( I 0 ⊗ I ± 1 − I ± 1 ⊗ I 0 ) + λ 1 , 0 ( G 0 ⊗ G ± 1 − G ± 1 ⊗ G 0 ) .
将 D 0 作用在 [ I − 1 , G 1 ] = 0 上,有 D 0 ( I ± 1 ) = 0 。
将 D 0 作用在 [ G − 1 , G 1 ] = I 0 上,有 D 0 ( G ± 1 ) = ω 1 , 0 ( I 0 ⊗ I ± 1 − I ± 1 ⊗ I 0 ) 。
根据以下记法: ω 1 , 0 = ω ,利用数学归纳法,并考虑(1.1)所有李括号可推导出
D 0 ( G 0 ) = D 0 ( L m ) = D 0 ( I m ) = 0 , D 0 ( G n ) = ω ( I 0 ⊗ I n − I n ⊗ I 0 ) , ∀ m ∈ ℤ , n ∈ ℤ * .
则定理3.1最终由归纳法 D = D 0 可证得。
设 ( L , [ ⋅ , ⋅ ] , Δ ) 是 L 上的超李双代数结构。由定理3.1得,在(2.6)中提到对某个 r ∈ L ⊗ L ,有 Δ = Δ r 当且仅当 λ = η = ρ = ω = ν = ν ′ = 0 。结合 Im Δ ⊂ Im ( 1 − τ ) 和引理3.2,可以推导出对某个 c ∈ ℂ ,有 r − c I 0 ⊗ I 0 ∈ Im ( 1 − τ ) ,则引理3.1得出 c ( r ) ∈ ℂ I 0 ⊗ I 0 。因此, ( L , [ ⋅ , ⋅ ] , Δ ) 是一个三角余边缘的超李双代数当且仅当 λ = η = ρ = ω = ν = ν ′ = 0 。故定理3.2得证。
李美君. 一类超Heisenberg-Virasoro代数的超双代数结构Lie Super-Bialgebra Structures on a Super Heisenberg-Virasoro Algebra[J]. 理论数学, 2019, 09(07): 783-790. https://doi.org/10.12677/PM.2019.97102