设Γ是一个图, G≤AutΓ,则称Γ是一个 G-基图,如果 G在顶点集 V Γ上是拟本原的或者二部拟本原的。在这篇文章中,我们将分类阶为2 p m q n的3度对称 G-基图,其中 p< q为素数, m, n≥1。 Let Γ be a graph and G≤AutΓ. Then Γ is called a G-basic graph, if G is quasiprimitive or bi-quasiprimitive on vertex set V Γ. In this paper, we classify cubic symmetric G-basic graphs of order 2 p m q n, where p< q are primes, and m, n≥1.
黄俊杰
云南财经大学统计与数学学院,云南 昆明
收稿日期:2019年10月9日;录用日期:2019年10月30日;发布日期:2019年11月6日
设 Γ 是一个图, G ≤ A u t Γ ,则称 Γ 是一个G-基图,如果G在顶点集 V Γ 上是拟本原的或者二部拟本原的。在这篇文章中,我们将分类阶为 2 p m q n 的3度对称G-基图,其中 p < q 为素数, m , n ≥ 1 。
关键词 :对称图,拟本原群,二部拟本原群,几乎单群
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对于一个图 Γ ,我们设 V Γ , E Γ 和 A Γ 分别表示 Γ 的顶点集,边集和弧集, Aut Γ 表示 Γ 的全自同构群; | V Γ | 称为图 Γ 的阶。如果群 G ≤ Aut Γ 作用在 V Γ , E Γ 或 A Γ 上传递,则分别称 Γ 为G-点传递图,G-边传递图或G-弧传递图。特别地,弧传递图也称为对称图。对任意的 u ∈ V Γ ,定义 Γ ( u ) = { u ∈ V Γ | { u , v } ∈ E Γ } 为点u的邻域,称 | Γ ( u ) | 为点u的度数,记为 | Γ ( u ) | 。如果对任意的 u , v ∈ V Γ ,u和v的度数相等,则称 为正则图, | Γ ( u ) | 为图 Γ 的度数,记作 val ( Γ ) = val ( u ) 。给定一个正整数s和 V Γ 上的 s + 1 个点 u 0 , u 1 , ⋯ , u s ,称 ( u 0 , u 1 , ⋯ , u s ) 是一条s-弧,如果 u i − 1 ≠ u i + 1 ( i = 1 , 2 , ⋯ , s − 1 ) ,且 u j − 1 和 u j ( j = 1 , 2 , ⋯ , s ) 是邻接的。若 G ≤ Aut Γ 在 Γ 的s-弧集上传递,则称 Γ 为 ( G , s ) -弧传递图;如果 Γ 是 ( G , s ) -弧传递图但不是 ( G , s + 1 ) -弧传递图,则称 Γ 为 ( G , s ) -传递图。特别地,一个 ( Aut Γ , s ) -传递图可简单的称为s-传递图。
在代数图论中,阶数特定的对称图受到了国内外学者的广泛关注。例如:文献( [
设 X ≤ Sym ( Ω ) 是一个传递置换群,则称X是拟本原的,如果X的每个极小正规子群都在 Ω 上传递;称X是二部拟本原的,如果X的每个极小正规子群在 Ω 上至多有两个轨道并且存在一个极小正规子群作用在 Ω 上恰有两个轨道。给定一个图 Γ , G ≤ Aut Γ ,称 Γ 是一个G-基图,如果G在顶点集 V Γ 上是拟本原的或者二部拟本原的。研究对称图的一般分为以下两步:
第一步,研究对称图的基图;
第二步,刻画对称图的基图的正规覆盖。
基图的分类是研究对称图的基础,它不仅可以为学习对称图提供一些图例,而且对于后续研究基图的覆盖有着重要的参考作用。设 Γ 是一个阶为 2 p m q n 的3度对称图,本文将分类 Γ 的G-基图,其中 p < q 为素数, G ≤ Aut Γ , m , n ≥ 1 ,所得主要结论如下:
定理1.1:设 p < q 为素数, Γ 是一个阶为 2 p m q n 的3度G-基对称图,其中 G ≤ Aut Γ , m , n ≥ 1 ,则 Γ 满足表1。
本文所考虑的所有图均为有限的、非空的、无向的、连通的、以及没有圈和重边的正则图。关于本文所使用的群论和图论的符号和基本概念都是标准的,可以参看学者们的著作( [
Γ | Aut Γ | ( G , G α ) | Γ | Aut Γ | ( G , G α ) |
---|---|---|---|---|---|
G 20 1 | S 5 | ( A 5 , ℤ 3 ) | G 20 2 | S 5 × ℤ 2 | ( S 5 , S 3 ) |
N C 30 | S 6 . ℤ 2 | ( S 6 . ℤ 2 , S 4 × S 2 ) | G 28 1 | PGL ( 2 , 7 ) | ( PSL ( 2 , 7 ) , S 3 ) |
G 28 2 | PGL ( 2 , 7 ) | ( PGL ( 2 , 7 ) , S 3 × S 2 ) | G 56 1 | PGL ( 2 , 7 ) | ( PSL ( 2 , 7 ) , ℤ 3 ) |
G 56 2 | PGL ( 2 , 7 ) | ( PGL ( 2 , 7 ) , S 3 ) | G 56 3 | PGL ( 2 , 7 ) × ℤ 2 | ( PGL ( 2 , 7 ) , S 3 ) |
C 110 | PGL ( 2 , 11 ) | ( PGL ( 2 , 11 ) , S 3 × S 2 ) | N C 182 1 | PSL ( 2 , 13 ) | ( PSL ( 2 , 13 ) , S 3 ) |
N C 182 2 | PGL ( 2 , 13 ) | ( PGL ( 2 , 13 ) , S 3 × S 2 ) | N C 102 | PSL ( 2 , 17 ) | ( PSL ( 2 , 17 ) , S 4 ) |
N C 506 | PGL ( 2 , 23 ) | ( PSL ( 2 , 23 ) , S 3 × S 2 ) | C 506 | PGL ( 2 , 23 ) | ( PGL ( 2 , 23 ) , S 4 ) |
Aut ( PSL ( 2 , 25 ) ) | ( PGL ( 2 , 25 ) , S 4 ) | G 650 2 | Aut ( PSL ( 2 , 25 ) ) | ( Aut ( PSL ( 2 , 25 ) ) , S 4 × S 2 ) | |
N C 2162 | PSL ( 2 , 47 ) | ( PSL ( 2 , 47 ) , S 4 ) | G 234 1 | Aut ( PSL ( 3 , 3 ) ) | ( PSL ( 3 , 3 ) , S 4 ) |
G 234 2 | Aut ( PSL ( 3 , 3 ) ) | ( Aut ( PSL ( 3 , 3 ) ) , S 4 × S 2 ) |
表1. 阶为 2 p m q n 的3度G-基对称图
我们用 ℤ n 表示n阶循环群, A n 和 S n 分别表示交错群和对称群。
本节的主要内容是给出一些重要的结论和例子。首先我们给出由Tutte于1947年确定的3度对称图的点稳定子群的结构,它为我们研究3度对称图奠定了基础。
引理2.1 ( [
s | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
G α | ℤ 3 | S 3 | S 3 × S 2 | S 4 | S 4 × S 2 |
| G α | | 3 | 2 2 × 3 | 2 3 × 3 | 2 4 × 3 |
表2. 3度对称图的点稳定子群
设G是一个有限群,H是G的子群。令D为H在G中的若干个形如 H x H ( x ∉ H ) 的双陪集之并。定义群G上关于H和D的陪集(有向)图 Γ = Cos ( G , H , D ) 如下:顶点集 V Γ = [ G : H ] ,即H在G中的所有右陪集之并,边集 E Γ = { { H a , H d a } | a ∈ G , d ∈ D } 。陪集图有如下的性质。
引理2.2 ( [
1) Γ 是点传递图,并且 val ( Γ ) = | D | / | H | ;
2) Γ 是连通图当且仅当 G = 〈 D 〉 ;
3) Γ 是无向图当且仅当 D = D − 1 ;
4) Γ 是G-弧传递的当且仅当 D = H x i H ( x i ∉ H ) 是一个单个的双陪集。
陪集图通常用于构造一些图例,下面的4个例子是根据3度图的点稳定子群的结构以及陪集图的性质构造而成,可参看文献( [
例2.3:1) 设 G = PSL ( 2 , 13 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 3 ,且存在一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 , 〈 H , x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为182的3度对称图,记为 N C 182 1 ,且 Aut ( N C 182 1 ) ≅ PSL ( 2 , 13 ) 。
2) 设 G = PGL ( 2 , 13 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 3 × S 2 ,且存在一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 , 〈 H , x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为182的3度对称图,记为 N C 182 2 ,且
例2.4:1) 设 G = PSL ( 2 , 23 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 3 × S 2 ,且存在和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 , 〈 H , x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为506的3度对称图,记为 N C 506 ,且 Aut ( N C 506 ) ≅ PSL ( 2 , 23 ) 。
2) 设 G = PGL ( 2 , 23 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 4 ,且存在和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 且 〈 H , x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为506的3度对称图,记为 C 506 ,且 Aut ( C 506 ) ≅ PGL ( 2 , 23 ) 。
例2.5:设 G = PSL ( 2 , 47 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 4 和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 且 〈 H , x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为2162的3度对称图,记为 N C 2162 ,且其全自同构群为 PSL ( 2 , 23 ) 。
例2.6:1) Levi图 N C 30 是唯一的一个阶为30的3度对称图,它是5-正则的二部图且 Aut ( N C 30 ) ≅ S 6 . ℤ 2 。
2) Smith-Biggs图 N C 102 是唯一的一个阶为102的3度对称图,且 Aut ( N C 102 ) ≅ PSL ( 2 , 17 ) 。
3) Coxter-Frucht图 C 110 是唯一的一个阶为110的3度对称图,且 Aut ( C 110 ) ≅ PGL ( 2 , 11 ) 。
对于给定的较小群G,利用Magma ( [
例2.7:1) 设 G = A 5 ,则G有一个子群 H ≅ ℤ 3 ,由Magma ( [
2) 设 G = S 5 ,则G有一个子群
例2.8:设 G = PSL ( 2 , 7 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 3 或 ℤ 3 ,于是存在两个3度对称图,分别记为 G 28 1 和 G 56 1 ,它们的阶分别为28和56,且 Aut ( G 28 1 ) ≅ PGL ( 2 , 7 ) , Aut ( G 56 1 ) ≅ PGL ( 2 , 7 ) 。
例2.9:设 G = PGL ( 2 , 7 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 3 × S 2 或 S 3 。通过Magma ( [
1) 如果 H ≅ S 3 × S 2 ,则存在一个阶为28的3度对称图,记为 G 28 2 ,且 Aut ( G 28 2 ) ≅ PGL ( 2 , 7 ) 。
2) 如果 H ≅ S 3 ,则存在两个阶为56的3度对称图,分别记为 G 56 2 和 G 56 3 ,且 Aut ( G 56 2 ) ≅ PGL ( 2 , 7 ) , Aut ( G 56 3 ) ≅ PGL ( 2 , 7 ) × ℤ 2 。
例2.10:1) 设 G = PGL ( 2 , 25 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 4 ,通过Magma ( [
2) 设 G = Aut ( PSL ( 2 , 25 ) ) ,则G有一个子群 H ≅ S 4 × S 2 ,由Magma ( [
例2.11:1) 设 G = PSL ( 3 , 3 ) ,则G有一个子群 H ≅ S 4 ,存在一个阶为234的3度对称图,记为 G 234 1 ,且 Aut ( G 234 1 ) ≅ Aut ( PSL ( 3 , 3 ) ) 。
2) 设 G = Aut ( PSL ( 3 , 3 ) ) ,则G有一个子群 H ≅ S 4 × S 2 ,故由Magma ( [
下面的引理是( [
引理2.12 ( [
1) N在 V Γ 上半正则, G / N ≤ Aut ( Γ N ) , Γ N 是G/N-弧传递的,并且 Γ 是 Γ N 的正规N-覆盖。
2) Γ 是 ( G , s ) -弧传递的当且仅当 Γ N 是 ( G / N , s ) -弧传递的,其中 1 ≤ s ≤ 5 或 s = 7 。
3) G α ≅ ( G / N ) δ ,其中 α ∈ V Γ , δ ∈ V Γ N 。
为了完整的证明定理1.1,我们先证明以下两个引理,第一个引理分类了一类单群。
引理3.1:设T是一个非交换单群且满足 | T | | 2 5 ⋅ 3 ⋅ r m ⋅ s n ,且 3 r m s n | | T | ,其中 r < s 为素数, m , n ≥ 1 。则下列之一成立,其中 | π ( T ) | 表示 | T | 的所有素因子的个数。
1) 如果 | π ( T ) | = 3 ,则 ( T , | T | ) 满足表3。
T | | T | | T | | T | |
---|---|---|---|
A 5 | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 | A 6 | 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 |
PSL ( 2 , 7 ) | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 7 | PSL ( 2 , 8 ) | |
PSU ( 3 , 3 ) | 2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7 | PSL ( 3 , 3 ) | 2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13 |
PSL ( 2 , 17 ) | 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17 |
表3. 含有3个素因子的单群T
2) 如果 | π ( T ) | = 4 ,则 ( T , | T | ) 满足表4。
T | | T | | T | | T | |
---|---|---|---|
PSL ( 2 , 11 ) | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 | PSL ( 2 , 13 ) | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13 |
PSL ( 2 , 16 ) | 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17 | PSL ( 2 , 23 ) | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23 |
PSL ( 2 , 25 ) | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13 | PSL ( 2 , 31 ) | 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31 |
PSL ( 2 , 32 ) | 2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31 | PSL ( 2 , 47 ) | 2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47 |
PSL ( 2 , 49 ) | 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 | PSL ( 2 , 97 ) | 2 5 ⋅ 3 ⋅ 7 2 ⋅ 97 |
PSL ( 3 , 5 ) | 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 31 |
表4. 含有4个素因子的单群T
证明:因为 3 r m s n | | T | ,所以 3 ≤ | π ( T ) | ≤ 4 ,因此T满足( [
如果 | π ( T ) | = 3 ,则 r = 2 或3, s ≥ 5 ,因此T是一个 { 2 , 3 , s } -群。如果 r = 2 ,则 | T | | 2 5 + m ⋅ 3 ⋅ s n ,于是 3 2 ∤ | T | ,故由( [
如果 | π ( T ) | = 4 ,由 | T | | 2 5 ⋅ 3 ⋅ r m ⋅ s n 可知 3 < r < s ,因此T是一个 { 2 , 3 , r , s } -群,于是由( [
假设 T ≅ PSL ( 2 , q ) ,其中 q ≥ 11 是一个素数,则 | T | = 1 2 q ( q + 1 ) ( q − 1 ) 。注意到,
1 2 ( q + 1 ) ( q − 1 ) | 2 5 ⋅ 3 ⋅ r m ,
即
q + 1 2 ⋅ q − 1 2 | 2 4 ⋅ 3 ⋅ r m .
因为 ( q + 1 2 , q − 1 2 ) = 1 ,所以 q + 1 2 | r m 或 q − 1 2 | r m ,即 q − 1 2 | 2 4 ⋅ 3 或 q + 1 2 | 2 4 ⋅ 3 。由此可得: q = 11 ,13,17,23,31,47或97。通过检查它们对应单群 PSL ( 2 , q ) 的阶可知:满足条件的q为11,13,23,31,47,97。□
假设 p < q 为素数, Γ 是一个连通的阶为 2 p m q n 的3度G-弧传递图,其中 G ≤ Aut Γ , m , n ≥ 1 。设N是 的一个极小正规子群,则 N = T d ,其中T是一个单群且
引理3.2:应用上面的符号说明。如果N是非交换的,则 d = 1 。
证明:反证法。假设 d ≥ 2 ,则由 N = T d 可知: | N | ∤ 2 p m q n 。如果N在 V Γ 上至少有3个轨道,则由引理2.12可知,N在 V Γ 上半正则,于是 | N | | | V Γ | ,注意到 | V Γ | = 2 p m q n ,矛盾。故N在 V Γ 上至多有2个轨道。令 N = T 1 × T 2 × ⋯ × T d ,其中 T i ≅ T ( i = 1 , 2 , ⋯ , d ) 。
假设N在 V Γ 上传递。由 1 ≠ N α ⊲ G α 且 Γ 是连通图可得: 1 ≠ N α Γ ( α ) ⊲ G α Γ ( α ) 。因此, N α Γ ( α ) 是传递的且 Γ 是N-弧传递的。如果 T 1 在 V Γ 上传递,则由( [
假设N在 V Γ 上恰有两个轨道,记为 Δ 1 , Δ 2 。此时, Γ 是一个二部图,其二部分别为 Δ 1 和 Δ 2 。令 G + = G Δ 1 = G Δ 2 。如果 G + 作用在 Δ 1 上是非忠实的,则由( [
下面给出定理1.1的完整证明。
定理1.1的证明:设 Γ 是一个连通的阶为 2 p m q n 的3度对称G-基图,则G在 V Γ 上是拟本原的或者二部拟本原的,其中 p < q 为素数, G ≤ Aut Γ , m , n ≥ 1 。设N是G的一个极小正规子群,则 N = T d ,其中T是一个单群且 d ≥ 1 。令 α ∈ V Γ ,下面我们分两种情形来完成定理1.1的证明。
情形1:假设G在 V Γ 上是拟本原的。
此时N在 V Γ 上是传递的。如果N是一个交换群,则N在 V Γ 上正则,从而 | T | d = | N | = 2 p m q n ,矛盾。因此N是非交换的,于是由引理3.2可知: d = 1 ,从而 N = T 。进一步,由于 T α ≠ 1 ,则 Γ 是T-弧传递的,因此 T α 满足引理2.1,于是 | T α | | 48 。由T的传递性可得: | T | = | V Γ | ⋅ | T α | 整除 2 5 ⋅ 3 ⋅ p m ⋅ q n 。另一方面,由于 Γ 是T-弧传递的,则 3 | | T α | ,于是 3 p m q n | | T | 。故T满足引理3.1。
假设 | π ( T ) | = 3 ,则T和 ( p m , q n ) 满足下表5。
T | A 5 | A 6 | PSL ( 2 , 7 ) | PSL ( 2 , 8 ) | PSU ( 3 , 3 ) | PSL ( 3 , 3 ) | PSL ( 2 , 17 ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
( p m , q n ) | (2,5) | (3,5) | (2,7)或(22,7) | (3,7) | (32,7) | (32,13) | (3,17) |
表5. 含有3个素因子的单群T及其对应的 ( p m , q n )
如果 T ≅ A 5 ,则 | T α | = | T | / | V Γ | = 3 ,从而 T α ≅ ℤ 3 ,故由例2.7可知 Γ ≅ G 20 1 。如果 T ≅ A 6 , PSL ( 2 , 8 ) 或 PSL ( 2 , 17 ) ,则 | V Γ | = 2 p q ,从而由( [
假设 | π ( T ) | = 4 ,则T和 ( p m , q n ) 满足下表6。
T | PSL ( 2 , 11 ) | PSL ( 2 , 16 ) | PSL ( 2 , 23 ) | PSL ( 2 , 25 ) | PSL ( 2 , 31 ) | |
---|---|---|---|---|---|---|
( p m , q n ) | (5,11) | (7,13) | (5,17) | (11,23) | (52,13) | (5,31) |
T | PSL ( 2 , 32 ) | PSL ( 2 , 47 ) | PSL ( 2 , 49 ) | PSL ( 2 , 97 ) | PSL ( 3 , 5 ) | |
( p m , q n ) | (11,31) | (23,47) | (52,72) | (72,97) | (53,31) |
表6. 含有4个素因子的单群T及其对应的 ( p m , q n )
如果 T ≅ PSL ( 2 , q ) ,其中
情形2:假设G在 V Γ 上是二部拟本原的。
此时,G有一个极小正规子群 N = T d 在 V Γ 上恰有两个轨道,分别记为 Δ 1 和 Δ 2 。于是, Γ 是一个二部图,并且其二部分别为 Δ 1 和 Δ 2 。令 G + = G Δ 1 = G Δ 2 ,则 N ≤ G + , | G : G + | = 2 , G α = G α + 。如果N是交换的,则N在 Δ 1 上正则,从而 | T | d = | N | = p m q n ,矛盾。因此N是非交换的。由引理3.2可知: N = T 是一个非交换单群。如果 G + 作用在 Δ 1 或 Δ 2 上是非忠实的,则由( [
(a) G + 在 Δ i ( i = 1 , 2 ) 上是拟本原的;
(b) G + 有两个正规子群 M 1 , M 2 满足 M 1 ≅ M 2 且它们在 V Γ 半正则。进一步,群 M 1 × M 2 在 Δ i 上正则。
对于情形(b),有: | M 1 | 2 = | Δ i | = p m q n ,矛盾。下面考虑情形(a)。假设 G + 在 Δ i 上是拟本原的,则 G + 有一个极小正规子群T且T是一个单群,于是由O’Nan-Scott-Praeger定理( [
假设 | π ( T ) | = 3 。此时T和 ( p m , q n ) 满足表5。如果 T ≅ A 5 ,则由Altas ( [
假设 | π ( T ) | = 4 。此时T和 ( p m , q n ) 满足表6。如果 T ≅ PSL ( 2 , 31 ) , PSL ( 2 , 97 ) 或 PSL ( 3 , 5 ) ,则 Out ( T ) = ℤ 2 ,于是 G = PGL ( 2 , 31 ) , PGL ( 2 , 97 ) 或 PGL ( 3 , 5 ) 。此时, | G α | = | G | / | V Γ | = 2 5 ⋅ 3 ,这与引理2.1相矛盾。如果 T ≅ PSL ( 2 , 32 ) ,则 Out ( PSL ( 2 , 32 ) ) = ℤ 5 ,此时与 ℤ 2 ≤ o ≤ Out ( T ) 且 | o : o ′ | = 2 相矛盾。如果 T ≅ PSL ( 2 , 16 ) 或 PSL ( 2 , 49 ) ,则 Out ( T ) = ℤ 2 2 ,于是 G = T . ℤ 2 或 Aut ( T ) 。若 G = T . ℤ 2 ,则 | G α | = 2 4 ⋅ 3 ,但是,G没有子群同构于 S 4 × S 2 ,这与引理2.1相矛盾。若 G = Aut ( T ) ,则 | G α | = 2 5 ⋅ 3 ,这与引理2.1相矛盾。如果 T ≅ PSL ( 2 , 47 ) ,则 Out ( T ) = ℤ 2 ,于是 G = PGL ( 2 , 47 ) , | G α | = 2 4 ⋅ 3 ,然而,G没有子群同构于 S 4 × S 2 ,矛盾。如果 T ≅ PSL ( 2 , 11 ) , PSL ( 2 , 13 ) 或 PSL ( 2 , 23 ) ,则 Out ( T ) = ℤ 2 ,故 G = PGL ( 2 , 11 ) , PGL ( 2 , 13 ) 或 PGL ( 2 , 23 ) ,进一步可得, G α ≅ S 3 × S 2 或 S 4 。故由例2.3,2.4和2.6可知: Γ ≅ C 110 , N C 182 2 或 C 506 。如果 T ≅ PSL ( 2 , 25 ) ,则 Out ( PSL ( 2 , 25 ) ) = ℤ 2 2 ,于是 G = T . ℤ 2 ≅ P G L ( 2 , 25 ) 或 Aut ( T ) 。因此, G α = S 4 或 S 4 × S 2 。由例2.10可知 Γ ≅ G 650 1 或 G 650 2 。□
国家自然科学基金资助项目(80031010061)资助。
黄俊杰. 某类顶点拟本原和二部拟本原的3度对称图的分类A Classification on a Class of Vertex Quasiprimitive and Bi-Quasiprimitive Cubic Symmetric Graphs[J]. 理论数学, 2019, 09(09): 989-997. https://doi.org/10.12677/PM.2019.99125