Lorentz估计是偏微分方程中新的正则性估计,本文我们主要研究Calderón-Zygmund型奇异积分算子的Lorentz估计。 Lorentz estimate is a new regularity estimate in the partial differential equations. In this paper, we mainly study Lorentz estimates for Calderón-Zygmund type singular integral operators.
喻志洲
上海大学理学院,上海
收稿日期:2020年1月21日;录用日期:2020年2月6日;发布日期:2020年2月13日
Lorentz估计是偏微分方程中新的正则性估计,本文我们主要研究Calderón-Zygmund型奇异积分算子的Lorentz估计。
关键词 :Lorentz空间,正则性,Calderón-Zygmund,奇异积分算子
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解的存在唯一性及其正则性研究是偏微分方程中的经典问题,其中 L p 估计在正则性理论的研究中起着重要的作用。Wang [
随着 Lp 估计理论的推广,越来越多的人感兴趣于新的正则性估计—Lorentz估计。Baroni在 [
类似地,奇异积分算子的正则性估计也是调和分析中重要的课题。作者 [
本文我们研究以下的Calderón-Zygmund型奇异积分算子
T ε f ( x ) : = ∫ | x − y | > ε Ω ( x − y ) | x − y | n f ( y ) d y , (1.1)
对任意的 ε > 0 成立,其中 Ω ( x ) : ℝ n \ { 0 } → ℝ 满足
(a) | Ω ( x ) | ≤ A 1 , Ω ( r x ) = Ω ( x ) 对任意的 r > 0 成立;
(b) ∫ 0 1 θ ( σ ) σ d σ ≤ A 2 ,其中 A 1 , A 2 是两个正常数且
θ ( σ ) : = sup | x − y | ≤ σ | x | = | y | = 1 | Ω ( x ) − Ω ( y ) | ;
(c) ∫ S n − 1 Ω ( x ) d θ = 0 ,其中 S n − 1 : = { x ∈ ℝ n : | x | = 1 } 。
根据经典理论 [
(1) T ε f 是强(p,p)的,即 ‖ T ε f ( x ) ‖ L p ( ℝ n ) ≤ C ‖ f ( x ) ‖ L p ( ℝ n ) ,对任意的 p > 1 。 (1.2)
(2) T ε f 是弱(1,1)的,即 | { x ∈ ℝ n : | T ε f ( x ) | > λ } | ≤ C λ ‖ f ( x ) ‖ L 1 ( ℝ n ) ,对任意的 λ > 0 。
本文的主要目的是得到奇异积分算子 T ε f 在Lorentz空间下的如下估计
‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q ≤ C ‖ f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q ,这里 C > 0 与 ε 和f无关。 (1.3)
下面给出Lorentz空间的定义 [
定义1.1 对于开集 Ω ⊂ ℝ n ,对任意的 1 < γ < ∞ 和 0 < q ≤ ∞ ,Lorentz空间 L ( γ , q ) ( Ω ) 是包含所有满足下式的可测函数 g : Ω → ℝ 组成的空间
‖ g ‖ L ( γ , q ) ( Ω ) < ∞ ,
其中
事实上,当 q = ∞ ,Marcinkiewicz空间 M γ ( Ω ) = L ( γ , ∞ ) ( Ω ) ;当 q = γ ,Sobolev空间 L γ ( Ω ) = L ( γ , γ ) ( Ω ) 。
下面给出本文所要证明的主要结论。
定理1.2 假设 ε > 0 ,对任意的 2 < γ < ∞ 和 0 < q ≤ ∞ ,如果 f ∈ L ( γ , q ) ( ℝ n ) 且 Ω ( x ) 满足条件(a)~(c),那么 T ε f ∈ L ( γ , q ) ( ℝ n ) 且有估计式(1.3)。
在这部分,我们将给出证明所需的引理。
引理2.1 [
另外,我们需要以下的Hardy不等式 [
引理2.2 可测函数 g : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) 使得 ∫ 0 ∞ g ( λ ) d λ < ∞ ,那么对于任意的 α ≥ 1 和 r > 0 都有
∫ 0 ∞ λ r ( ∫ λ ∞ g ( μ ) d μ ) α d λ λ ≤ ( α r ) α ∫ 0 ∞ λ r [ λ g ( λ ) ] α d λ λ .
引理2.3 若 g : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) 是一个不增可测函数,其中 α 1 ≤ α 2 ≤ ∞ , r > 0 ,那么
(1) 当 α 2 < ∞ 时,有 [ ∫ λ ∞ [ μ r g ( μ ) ] α 2 d μ μ ] 1 α 2 ≤ ε λ r g ( λ ) + C ε α 2 α 1 − 1 [ ∫ λ ∞ [ μ r g ( μ ) ] α 1 d μ μ ] 1 α 1 ,对每个 ε ∈ ( 0 , 1 ] 和任意 λ ≥ 0 成立。
(2) 当 α 2 = ∞ 时,有 sup μ > λ [ μ r g ( μ ) ] ≤ ε λ r g ( λ ) + C ( ∫ λ ∞ [ μ r g ( μ ) ] α 1 d μ μ ) 1 α 1 ,其中当 α 2 < ∞ 时,常数C依赖于 α 1 , α 2 , r ;当 α 2 = ∞ 时,常数 C ≡ C ( α 1 , r ) 。
现在定义
λ 0 2 = ∫ ℝ n | T ε f | 2 d x + 1 δ 2 ∫ ℝ n | f | 2 d x , (2.1)
其中 δ ∈ ( 0 , 1 ) 是一个充分小且待定的一个数。记
f λ = f / ( λ 0 λ ) 且 T ε f λ = T ε f / ( λ 0 λ ) ,对任意 λ > 0 。 (2.2)
引理2.4 对 λ > 0 ,则存在一族互不相交的球 { B ρ i ( x i ) } i ≥ 1 ,其中 x i ∈ E λ ( 1 ) : = { x ∈ ℝ n : | T ε f λ | > 1 } , 0 < ρ i = ρ i ( x i , λ ) ≤ ρ 0 ,且满足 λ 2 | B ρ 0 | = 1 使得
J λ [ B ρ i ( x i ) ] = 1 , J λ [ B ρ ( x i ) ] < 1 , (2.3)
对任意的 ρ > ρ i 成立,且
E λ ( 1 ) ⊂ ∪ i ≥ 1 B 5 ρ i ( x i ) , (2.4)
其中
J λ [ B ρ ( x ) ] = 1 | B ρ ( x ) | ∫ B ρ ( x ) | T ε f λ | 2 d x + 1 δ 2 | B ρ ( x ) | ∫ B ρ ( x ) | f λ | 2 d x , (2.5)
对任意的 λ > 0 和 ℝ n 中任意的球 B ρ ( x ) 成立。另外,我们还可得
∑ i = 1 ∞ ( ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x ) ≤ 8 δ 2 ⋅ 5 n μ 2 ( ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t + 1 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | f | > t } | d t ) . (2.6)
证明. 1. 固定任意的 x ∈ ℝ n 和 ρ ≥ ρ 0 = ρ 0 ( λ ) > 0 且满足 λ 2 | B ρ 0 | = 1 ,利用式(2.2)和式(2.5),我们有
J λ [ B ρ ( x ) ] ≤ 1 | B ρ ( x ) | ∫ ℝ n | T ε f λ | 2 d x + 1 δ 2 | B ρ ( x ) | ∫ ℝ n | f λ | 2 d x ≤ 1 λ 2 | B ρ ( x ) | ≤ 1 λ 2 | B ρ 0 | = 1 .
因而我们可以得到
sup x ∈ ℝ n sup ρ ≥ ρ 0 J λ [ B ρ ( x ) ] ≤ 1 . (2.7)
对几乎处处 x ∈ E λ ( 1 ) ,利用Lebesgue定理,我们有 lim ρ → 0 J λ [ B ρ ( x ) ] > 1 ,这意味着存在 ρ > 0 ,满足
J λ [ B ρ ( x ) ] > 1 .(2.8)
所以由式(2.7),我们选取 ρ x ∈ ( 0 , ρ 0 ] 使得 J λ [ B ρ x ( x ) ] = 1 , J λ [ B ρ ( x ) ] < 1 ,对任意的 ρ > ρ x 。
由上面可以知道,对几乎处处 x ∈ E λ ( 1 ) ,我们可以找到如上构造的球 B ρ x ( x ) 。因此,利用引理2.1,我们可以找到一族互不相交的球 { B ρ i ( x i ) } i ≥ 1 ,其中 x i ∈ E λ ( 1 ) ,使得
J λ [ B ρ i ( x i ) ] = 1 , J λ [ B ρ ( x i ) ] < 1 ,对任意的 ρ > ρ i 且 E λ ( 1 ) ⊂ ∪ i ≥ 1 B 5 ρ i ( x i ) 。
2. 现在令 μ = λ λ 0 ,则有 f λ = f / μ , T ε f λ = T ε f / μ ,对固定的 λ > 0 ,则必有以下式子中的其中一个成立
μ 2 2 ≤ 1 | B ρ i ( x i ) | ∫ B ρ i ( x i ) | T ε f | 2 d x , μ 2 δ 2 2 ≤ 1 | B ρ i ( x i ) | ∫ B ρ i ( x i ) | f | 2 d x .(2.9)
(1) 假设第一种情况成立,则我们有
μ 2 2 | B ρ i ( x i ) | ≤ ∫ B ρ i ( x i ) | T ε f | 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | T ε f | > t } | d t ≤ μ 2 16 | B ρ i ( x i ) | + 2 ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | T ε f | > t } | d t ,
吸收右边第一项就有
| B ρ i ( x i ) | ≤ 8 μ 2 ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | T ε f | > t } | d t . (2.10)
(2) 假设第二种情况成立,我们可以得到
μ 2 δ 2 2 | B ρ i ( x i ) | ≤ ∫ B ρ i ( x i ) | f | 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | f | > t } | d t ≤ μ 2 δ 2 16 | B ρ i ( x i ) | + 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | f | > t } | d t ,
吸收右边第一项就有
| B ρ i ( x i ) | ≤ 8 μ 2 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | f | > t } | d t . (2.11)
结合(2.10)和(2.11),我们有
| B ρ i ( x i ) | ≤ 8 μ 2 ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | T ε f | > t } | d t + 8 μ 2 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | f | > t } | d t . (2.12)
3. 由式(2.3)和式(2.5)知 | B ρ i ( x i ) | = ∫ B ρ i ( x i ) | T ε f λ | 2 d x + 1 δ 2 ∫ B ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x ≥ 1 δ 2 ∫ B ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x 。
所以我们有
∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x ≤ δ 2 | B 5 ρ i ( x i ) | = δ 2 5 n | B ρ i ( x i ) | . (2.13)
从而结合式(2.12)和式(2.13),利用 { B ρ i ( x i ) } 是互不相交的,我们最后可得到式(2.6)。这就完成了我们的证明。 £
现在我们固定 i ≥ 1 ,令
f λ 1 ( x ) = { f λ ( x ) , 若 x ∈ B 25 ρ i ( x i ) 0, 若 x ∈ ℝ n \ B 25 ρ i ( x i ) 和
引理2.5 [
最后,我们给出以下水平集估计的结果。
引理2.6 假设 λ > 0 ,对任意的 ε > 0 ,存在 δ = δ ( ε ) > 0 使得 T ε f 满足
| { x ∈ ℝ n : | T ε f | > 2 N 1 μ } | ≤ C ( n ) δ 2 μ 2 [ ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t + 1 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | f | > t } | d t ] . (2.15)
证明. 对任意的 μ = λ λ 0 > 0 ,利用式(2.2),引理2.5和 T ε 是强(2,2)的,我们有
| { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f | > 2 N 1 μ } | = | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f λ | > 2 N 1 } | ≤ | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f λ 1 | > N 1 } | + | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f λ 2 | > N 1 } | = | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f λ 1 | > N 1 } | ≤ 1 N 1 2 ∫ B 5 ρ i ( x i ) | T ε f λ 1 | 2 d x ≤ C ( n ) ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ 1 | 2 d x ≤ C ( n ) ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x
回顾引理2.4,对任意的 λ > 0 ,我们有
{ x ∈ ℝ n : | T ε f λ | > 1 } = E λ ( 1 ) ⊂ ∪ i ≥ 1 B 5 ρ i ( x i ) . (2.16)
所以我们可以得到
| { x ∈ ℝ n : | T ε f | > 2 N 1 μ } | ≤ ∑ i = 1 ∞ | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f | > 2 N 1 μ } | ≤ C ( n ) ∑ i = 1 ∞ ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x ≤ C ( n ) δ 2 μ 2 [ ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t + 1 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | f | > t } | d t ] .
这就完成了引理2.6的证明。 £
证明. 我们分成两种情况,分别为 0 < q < ∞ 和 q = ∞ 的情况。
情形1: 0 < q < ∞ ,根据范数定义和引理2.6,我们可以得到
‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q = q ( 2 N 1 ) q ∫ 0 ∞ μ q − 1 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > 2 N 1 μ } | q γ d μ ≤ C ( n ) δ 2 q γ ∫ 0 ∞ μ q − 2 q γ − 1 ( ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t ) q γ d μ + C ( n , δ ) ∫ 0 ∞ μ q − 2 q γ − 1 ( ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | f | > t } | d t ) q γ d μ : = I 1 + I 2 . (3.1)
情形1.1: q ≥ γ 。
利用引理2.2,我们有
‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q ≤ C ( n ) δ 2 q γ [ ∫ 0 ∞ μ q − 2 q γ − 1 ⋅ μ q γ ( μ | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > μ 4 } | ) q γ d μ ] + C ( n , δ ) [ ∫ 0 ∞ μ q − 2 q γ − 1 ⋅ μ q γ ( μ | { x ∈ ℝ n : | f | > μ δ 4 } | ) q γ d μ ] = C ( n ) δ 2 q γ ∫ 0 ∞ μ q − 1 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > μ 4 } | q γ d μ + C ( n , δ ) ∫ 0 ∞ μ q − 1 | { x ∈ ℝ n : | f | > μ δ 4 } | q γ d μ = C ( n ) δ 2 q γ ‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q + C ( n , δ ) ‖ f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q . (3.2)
情形1.2: 0 < q < γ 。
I 1 的估计。利用引理2.3,取( α 1 = 1 , α 2 = γ q , ε = 1 , r = 2 q γ ),我们得到
( ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t ) q γ ≤ C μ 2 q γ | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > μ 4 } | q γ + C ∫ μ 4 ∞ t 2 q γ − 1 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | q γ d t .
再利用Fubini定理,我们有
I 1 ≤ C ( n ) δ 2 q γ ∫ 0 ∞ μ q − 1 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > μ 4 } | q γ d μ + C ( n ) δ 2 q γ ∫ 0 ∞ μ q − 2 q γ − 1 ∫ μ 4 ∞ t 2 q γ − 1 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | q γ d t d μ ≤ C ( n ) δ 2 q γ [ ‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q + ∫ 0 ∞ t 2 q γ − 1 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | q γ ∫ 0 4 t μ q − 2 q γ − 1 d μ d t ] = C ( n ) δ 2 q γ [ ‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q + ∫ 0 ∞ t q − 1 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | q γ d t ] ≤ C ( n ) δ 2 q γ ‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q . (3.3)
I 2 的估计。类似的有
I 2 ≤ C ( n , δ ) ‖ f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q . (3.4)
因此,由式(3.1),式(3.2),式(3.3)和式(3.4),我们有
‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q ≤ C ( n ) δ 2 q γ ‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q + C ( n , δ ) ‖ f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q .
不妨假设 ‖ T ε f ‖ L ( γ , q ) ( ℝ n ) q < + ∞ ,否则,类似[7, P2946]中的技巧,我们可以考虑 | T ε f | k = min { | T ε f | , k } ,对 δ 取充分小使得 C ( n ) δ 2 q γ ≤ 1 2 ,从而可得式(1.3)。
情形2: q = ∞ 。根据Lorentz范数的定义和引理2.6,我们有
‖ T ε f ‖ M γ ( ℝ n ) = sup μ > 0 2 N 1 μ | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > 2 N 1 μ } | 1 γ ≤ C ( n ) δ 2 γ sup μ > 0 μ 1 − 2 γ [ ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t ] 1 γ + C ( n , δ ) sup μ > 0 μ 1 − 2 γ [ ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | f | > t } | d t ] 1 γ ≤ C ( n ) δ 2 γ ‖ T ε f ‖ M γ ( ℝ n ) sup μ > 0 [ μ γ − 2 ∫ μ 4 ∞ t − γ + 1 d t ] 1 γ + C ( n , δ ) ‖ f ‖ M γ ( ℝ n ) sup μ > 0 [ μ γ − 2 ∫ μ δ 4 ∞ t − γ + 1 d t ] 1 γ ≤ C ( n ) δ 2 γ ‖ T ε f ‖ M γ ( ℝ n ) + C ( n , δ ) ‖ f ‖ M γ (ℝn)
最后,类似于 0 < q < ∞ 的做法,我们得到 q = ∞ 的结论。综上所述,定理1.2得证。 £
喻志洲. Calderón-Zygmund型奇异积分算子的Lorentz估计Lorentz Estimates for Calderón-Zygmund Type Singular Integral Operators[J]. 理论数学, 2020, 10(02): 72-79. https://doi.org/10.12677/PM.2020.102012