几乎差集偶因与几乎最佳二元有序偶紧密相关,在众多问题中应用广泛。分圆类方法是构造几乎差集偶的一种重要方法,本文主要利用8阶分圆类构造几类新的几乎差集偶。 Almost difference set pairs are widely used in many problems because they are closely related to almost optimal binary sequence pairs. Cyclotomic classes method is an important method to con-struct almost difference set pairs. In this paper, several new almost difference set pairs are con-structed by using cyclotomic classes of order eight.
荀雅昕,亓万锋
辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连
收稿日期:2020年1月25日;录用日期:2020年2月7日;发布日期:2020年2月14日
几乎差集偶因与几乎最佳二元有序偶紧密相关,在众多问题中应用广泛。分圆类方法是构造几乎差集偶的一种重要方法,本文主要利用8阶分圆类构造几类新的几乎差集偶。
关键词 :几乎差集偶,分圆类,分圆数
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具有良好自相关性的序列在雷达、扩频通信、CDMA等众多领域中应用广泛。构造自相关序列可运用差集、差集偶、几乎差集等重要方法。类似于差集、几乎差集的研究,郑鹭亮等人 [
我们首先介绍郑鹭亮等人[
定义1 [
构造几乎差集偶常用分圆方法,下面是有关分圆的基本概念。
定义2 [
Z q * = ∪ i = 0 e − 1 C i ,
其中 C i = θ i C 0 , 0 ≤ i ≤ e − 1 ,称陪集 C i 为分圆类。把方程 y − x ≡ 1 ( mod q ) , ( x , y ) ∈ C l × C m 的解的个数记为 ( l , m ) e ,即 ( l , m ) e = | ( C l + 1 ) ∩ C m | 称 ( l , m ) e 为e阶分圆数,简记为 ( l , m ) 。
对有限域 Z q ,当 q = 8 f + 1 时,q可分解为 q = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 , x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) [
黄丹芸 [
定理1:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 , x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 4 ∪ C 5 ∪ C 6 , W = C 0 ∪ C 1 ∪ C 2 ∪ C 4 。 U ′ = U ∪ { 0 } , W ′ = W ∪ { 0 } ,则
1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = − y , x − a = 4 时,
1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP ;
(i, j) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | (0, 0) | (0, 1) | (0, 2) | (0, 3) | (0, 4) | (0, 5) | (0, 6) | (0, 7) |
1 | (0, 1) | (0, 7) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) | (1, 2) |
2 | (0, 2) | (1, 2) | (0, 6) | (1, 6) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 4) | (1, 3) |
3 | (0, 3) | (1, 3) | (1, 6) | (0, 5) | (1, 5) | (2, 5) | (2, 5) | (1, 4) |
4 | (0, 4) | (1, 4) | (2, 4) | (1, 5) | (0, 4) | (1, 4) | (2, 4) | (1, 5) |
5 | (0, 5) | (1, 5) | (2, 5) | (2, 5) | (1, 4) | (0, 3) | (1, 3) | (1, 6) |
6 | (0, 6) | (1, 6) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 4) | (1, 3) | (0, 2) | (1, 2) |
7 | (0, 7) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) | (1, 2) | (0, 1) |
表1. f为偶数时8阶分圆数关系 [
64倍分圆数 | 若2不是4次剩余 | 64倍分圆数 | 若2不是4次剩余 |
---|---|---|---|
64(0, 0) | q − 23 + 6 x | 64(1, 2) | q + 1 − 6 x + 4 a |
64(0, 1) | q − 7 + 2 x + 4 a | 64(1, 3) | q + 1 + 2 x − 4 a − 16 b |
64(0, 2) | q − 7 − 2 x − 8 a − 16 y | 64(1, 4) | q + 1 + 2 x − 4 a + 16 y |
64(0, 3) | q − 7 + 2 x + 4 a | 64(1, 5) | q + 1 + 2 x − 4 a − 16 y |
64(0, 4) | q − 7 − 10 x | 64(1, 6) | q + 1 + 2 x − 4 a + 16 b |
64(0, 5) | q − 7 + 2 x + 4 a | 64(2, 4) | q + 1 + 6 x + 8 a |
64(0, 6) | q − 7 − 2 x − 8 a + 16 y | 64(2, 5) | q + 1 − 6 x + 4 a |
64(0, 7) | q − 7 + 2 x + 4 a |
表2. f为偶数且2不是四次剩余时8阶分圆数中的15个基本分圆数 [
2、 ( U ′ , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
3、 ( U , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
4、 ( U ′ , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) − ADSP 。
2) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = 4 − y , x − a = 4 时, ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP 。
证:我们以 ( U , W ) 为例进行证明,其余情况类似。
首先易知属于同一个等价类 C i 中的两个元素 a 1 , a 2 ,对应的两个同余方程 x − y ≡ a 1 ( mod q ) , x − y ≡ a 2 ( mod q ) 解的个数一致,因此 C i 中元素对应的解的个数为 Δ i = | ( W + θ i ) ∩ U | = | ( C 0 ∪ C 1 ∪ C 2 ∪ C 4 ) + θ i ∩ ( C 0 ∪ C 4 ∪ C 5 ∪ C 6 ) | , 0 ≤ i ≤ 7 ,其中 ( i , j ) e = | ( C i + 1 ) ∩ C j | 。从而
Δ i = | ( C 0 + θ i ) ∩ C 0 | + | ( C 0 + θ i ) ∩ C 4 | + | ( C 0 + θ i ) ∩ C 5 | + | ( C 0 + θ i ) ∩ C 6 | + | ( C 1 + θ i ) ∩ C 0 | + | ( C 1 + θ i ) ∩ C 4 | + | ( C 1 + θ i ) ∩ C 5 | + | ( C 1 + θ i ) ∩ C 6 | + | ( C 2 + θ i ) ∩ C 0 | + | ( C 2 + θ i ) ∩ C 4 | + | ( C 2 + θ i ) ∩ C 5 | + | ( C 2 + θ i ) ∩ C 6 | + | ( C 4 + θ i ) ∩ C 0 | + | ( C 4 + θ i ) ∩ C 4 | + | ( C 4 + θ i ) ∩ C 5 | + | ( C 4 + θ i ) ∩ C 6 |
= ( − i , − i ) + ( − i , 4 − i ) + ( − i , 5 − i ) + ( − i , 6 − i ) + ( 1 − i , − i ) + ( 1 − i , 4 − i ) + ( 1 − i , 6 − i ) + ( 1 − i , 5 − i ) + ( 2 − i , − i ) + ( 2 − i , 4 − i ) + ( 2 − i , 5 − i ) + ( 2 − i , 6 − i ) + ( 4 − i , − i ) + ( 4 − i , 4 − i ) + ( 4 − i , 5 − i ) + ( 4 − i , 6 − i )
当f为偶数且2不是4次剩余时,利用表1和表2可算得:
Δ 0 = Δ 4 = 16 q − 4 x + 16 y + 4 a + 16 b − 64 64
Δ 1 = Δ 5 = Δ 2 = Δ 6 = 16 q + 4 x − 4 a − 32 64
Δ 3 = Δ 7 = 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64
因此 ( U , W ) 构成几乎差集偶当且仅当以下3种情况:
① Δ 0 = Δ 1 , | Δ 1 − Δ 3 | = 1 ,即要满足
16 q − 4 x + 16 y + 4 a + 16 b − 64 64 = 16 q + 4 x − 4 a − 32 64
| 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 − 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64 | = 1
计算得 b = − y , x = a − 4 或 b = 4 − y , x = a + 4 。当 b = − y , x = a − 4 时,由 x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 得 b 2 = 4 ( a − 2 ) ,则 a − 2 应为正,又由 a = 4 k + 1 ( k ∈ Z ) 得 a − 2 = 4 ( k − 1 ) + 3 ( k ∈ Z ) ,所以 a − 2 为非完全平方数,与b为整数矛盾,故舍。当 b = 4 − y , x = a + 4 时, Δ 0 = Δ 1 = Δ 2 = Δ 4 = Δ 5 = Δ 6 = 2 f 且 Δ 3 = Δ 7 = 2 f − 1 ,所以此时 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP 。
② Δ 0 = Δ 3 , | Δ 1 − Δ 3 | = 1 ,即
16 q − 4 x + 16 y + 4 a + 16 b − 64 64 = 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64
| 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 − 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64 | = 1
计算后可知 ( U , W ) 不构成几乎差集偶,具体计算从略。
③ Δ 1 = Δ 3 , | Δ 0 − Δ 1 | = 1 ,即
16 q + 4 x − 4 a − 32 64 = 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64
| 16 q − 4 x + 16 y + 4 a + 16 b − 64 64 − 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 | = 1
计算得 b = − y 且 x = a + 4 或 b = 4 − y 且 x = a − 4 。当 b = 4 − y 且 x = a − 4 时, Δ 1 不是整数,故舍去。当 b = − y 且 x = a + 4 时, Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = Δ 5 = Δ 6 = Δ 7 = 2 f 且 Δ 0 = Δ 4 = 2 f − 1 ,此时 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP 。
用类似定理1的方法,还得到以下结论:
定理2:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 , x = a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 , W = C 0 ∪ C 4 ∪ C 6 ∪ C 7 , U ′ = U ∪ { 0 } , W ′ = W ∪ { 0 } ,则
1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = − y , x − a = 4 时,
1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP ;
2、 ( U ′ , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
3、 ( U , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
4、 ( U ′ , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) − ADSP 。
2) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = 4 − y , x − a = 4 时, ( U ′ , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) − ADSP 。
定理3:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 , x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 1 ∪ C 2 ∪ C 6 , W = C 0 ∪ C 1 ∪ C 3 ∪ C 7 , U ′ = U ∪ { 0 } , W ′ = W ∪ { 0 } ,则
1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = − y , x − a = 4 时,
1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP ;
2、 ( U ′ , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
3、 ( U , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
4、 ( U ′ , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) − ADSP 。
2) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = 4 − y , x − a = 4 时, ( U ′ , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP 。
定理4:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 , x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 1 ∪ C 3 ∪ C 5 , W = C 0 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 6 , U ′ = U ∪ { 0 } , W ′ = W ∪ { 0 } ,则
1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y , x − a = 4 时,
1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP ;
2、 ( U ′ , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
3、 ( U , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
4、 ( U ′ , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) − ADSP 。
2) 当f为偶数且2不是4次剩余类,且 b = y − 4 , x − a = 4 时, ( U ′ , W ) 构成
定理5:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 , x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ∪ C 6 , W = C 0 ∪ C 2 ∪ C 4 ∪ C 5 , U ′ = U ∪ { 0 } , W ′ = W ∪ { 0 } ,则
1) 当f为偶数且2不是4次剩余, b = y , x − a = 4 时,
1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP ;
2、 ( U ′ , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
3、 ( U , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
4、 ( U ′ , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) − ADSP 。
2) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y − 4 , x − a = 4 时, ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP 。
定理6. 设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 , x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 2 ∪ C 4 ∪ C 7 , W = C 0 ∪ C 3 ∪ C 4 ∪ C 6 , U ′ = U ∪ { 0 } , W ′ = W ∪ { 0 } ,则
1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y , x − a = 4 时,
1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f − 1 , 2 f ) − ADSP ;
2、 ( U ′ , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
3、 ( U , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) − ADSP ;
4、 ( U ′ , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) − ADSP 。
2) 当f为偶数且2不是4次剩余类,且 b = y − 4 , x − a = 4 时, ( U ′ , W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) − ADSP 。
定理1~定理6所列出的ADSP均不能表达为2阶、4阶分圆类的形式,因而是新的。
例1:当 q = 193 时,选5作为 Z 193 的本原元。 U = C 0 ∪ C 4 ∪ C 5 ∪ C 6 , W = C 0 ∪ C 1 ∪ C 2 ∪ C 4 ,计算可得 x = − 7 , y = 6 , a = − 11 , b = − 6 , ( U , W ) 构成 ( 193 , 96 , 96 , 48 , 47 , 48 ) − ADSP 。
例2:当 q = 929 时,选3作为 Z 929 的本原元。 U = C 0 ∪ C 1 ∪ C 3 ∪ C 5 , W = C 0 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 6 ,计算可得 x = − 23 , y = − 10 , a = − 27 , b = − 10 , ( U , W ) 构成 ( 929 , 464 , 464 , 232 , 231 , 232 ) − ADSP 。
荀雅昕,亓万锋. 8阶分圆类构造几乎差集偶Constructions of Almost Difference Set Pairs by Cyclotomic Classes of Order Eight[J]. 应用数学进展, 2020, 09(02): 172-177. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.92020