本文在(p, q)-Bernstein算子的基础上构建二元(p, q)-Bernstein算子,证明该算子的逼近定理;应用Volkov定理验证了该算子的一致收敛性,并估计其收敛速度,此结论推广了一元(p, q)-Bernstein算子的逼近结果。 In this paper, we introduce the bivariate (p, q)-Bernstein operator on the basis of (p, q)-Bernstein operator, and obtain the approximation theorem of the operator. The uniform convergence of the operator is verified by applying Volkov theorem, and its convergence rate is estimated. Those re-sults further promote some of the conclusions of (p, q)-Bernstein operator.
高盼,刘辉辉,冷献祥
巢湖学院数学与统计学院,安徽 合肥
收稿日期:2020年2月2日;录用日期:2020年2月17日;发布日期:2020年2月24日
本文在(p, q)-Bernstein算子的基础上构建二元(p, q)-Bernstein算子,证明该算子的逼近定理;应用Volkov定理验证了该算子的一致收敛性,并估计其收敛速度,此结论推广了一元(p, q)-Bernstein算子的逼近结果。
关键词 :二元(p, q)-Bernstein算子,收敛速度,Lipschitz函数
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算子是逼近理论重要的研究对象,其中经典的算子之一为Bernstein算子。最早于1912年,Bernstein首次提出。其后,众多研究者开始关注研究Bernstein算子的推广。于是,Bernstein算子的各种变形算子纷纷被讨论,如Szász-Mirakjan-Kantorovich算子 [
随着数学与生产生活各领域的交错发展,学者们将q微积分引入逼近理论,构造出大量q型算子。2007年,Dalmanoglu Ö. [
q微积分在逼近中的发展推动了(p, q)微分学步入逼近理论。Mursaleen于2015年首次在q-Bernstein算子的基础上提出(p, q)-Bernstein算子 [
下文中出现的符号: [ n ] p , q , [ n ] p , q ! , [ n k ] p , q 主要定义为:
[ n ] p , q = p n − q n p − q , n = 0 , 1 , 2 , ⋯
[ n ] p , q ! = { 1 , n = 0 ; [ n ] p , q [ n − 1 ] p , q ⋯ [ 1 ] , n = 1 , 2 , ⋯
[ n k ] p , q = [ n ] p , q ! [ k ] p , q ! [ n − k ] p , q !
定义1 [
B n p , q ( f ; x ) = ∑ k = 0 n b n , k p , q ( x ) f ( p n − k [ k ] p , q [ n ] p , q ) ,
其中 b n , k p , q ( x ) = [ n k ] p , q p [ k ( k − 1 ) − n ( n − 1 ) ] / 2 x k ∏ s = 0 n − k − 1 ( p s − q s ) 。
定义2:设 0 < q < p ≤ 1 , f ∈ C [ 0 , 1 ] ,定义二元(p, q)-Bernstein算子为:
B n 1 n 2 ( f ; x , y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p 2 n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 b n 1 n 2 k 1 k 2 ( x , y ) ( x , y ) f ( p 1 n 1 − k 1 [ k 1 ] p 1 , q 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 , p 2 n 2 − k 2 [ k 2 ] p 2 , q 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 )
其中
b n 1 n 2 k 1 k 2 ( x , y ) = [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2 ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) .
引理1 [
B n p , q ( e 0 ; x ) = 1 , B n p , q ( e 1 ; x ) = x , B n p , q ( e 2 ; x ) = p n − 1 [ n ] p , q x + q [ n − 1 ] p , q [ n ] p , q x 2 .
引理2:设 0 < q 1 < p 1 ≤ 1 , 0 < q 2 < p 2 ≤ 1 , e i j : I 2 × I 2 , e i j ( x , y ) = x i y j , 0 ≤ i + j ≤ 2 , I 2 = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ,( i , j 为正整数),则有下列等式成立:
B n 1 n 2 ( e 00 ; x , y ) = e 00 ( x , y ) ; B n 1 n 2 ( e 10 ; x , y ) = e 10 ( x , y ) ; B n 1 n 2 ( e 01 ; x , y ) = e 01 ( x , y ) ; B n 1 n 2 ( e 11 ; x , y ) = e 11 ( x , y ) ; B n 1 n 2 ( e 20 ; x , y ) = e 20 ( x , y ) + p 1 n 1 − 1 x ( 1 − x ) [ n 1 ] p 1 , q 1 ; e n 1 n 2 ( e 02 ; x , y ) = e 02 ( x , y ) + p 2 n 2 − 1 y ( 1 − y ) [ n 2 ] p 2 , q 2 .
证明:根据算子定义式与引理1,计算可得
B n 1 n 2 ( e 00 ; x , y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2 × ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 p k 1 ( k 1 − 1 ) 2 x k 1 ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) × 1 p 2 n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p k 2 ( k 2 − 1 ) 2 y k 2 ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) = B n 1 ( e 0 ; x ) B n 2 ( e 0 ; y ) = e 00 ( x , y ) ,
B n 1 n 2 ( e 10 ; x , y ) = 1 p n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2 × ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) [ k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 − n 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 = 1 p n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 x k 1 ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) [ k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 − n 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 × ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p k 2 ( k 2 − 1 ) 2 y k 2 ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) = B n 1 ( e 1 ; x ) B n 2 ( e 0 , y ) = e 10 ( x , y )
B n 1 n 2 ( e 11 ; x , y ) = 1 p n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2 × ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) [ k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 − n 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 [ k 2 ] p 2 , q 2 p 2 k 2 − n 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 x k 1 ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) [ k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 − n 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 × 1 p 1 n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 y k 2 ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) [ k 2 ] p 2 , q 2 p 2 k 2 − n 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 = B n 1 ( e 1 , x ) B n 2 ( e 1 , y ) = e 11 ( x , y )
B n 1 n 2 ( e 02 ; x , y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p 2 n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2 × ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) [ k 2 ] p 2 , q 2 2 p 2 2 k 2 − 2 n 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 2 = y 2 + ( q 2 [ n 2 − 1 ] p 2 , q 2 − [ n 2 ] p 2 , q 2 ) y 2 + p 2 n 2 − 1 y [ n 2 ] p 2 , q 2 = y 2 + p 2 n 2 − 1 y ( 1 − y ) [ n 2 ] p 2 , q 2 = B n 1 ( e 0 , x ) B n 2 ( e 2 , y ) = e 02 ( x , y ) + p 2 n 2 − 1 y ( 1 − y ) [ n 2 ] p 2 , q 2 .
同理可证出 B n 1 n 2 ( e 01 ; x , y ) = e 01 ( x , y ) ; B n 1 , n 2 ( e 20 , x , y ) = e 20 ( x , y ) + p 1 n 1 − 1 x ( 1 − x ) [ n 1 ] p 1 , q 1 ,故引理成立。
引理3:设 0 < q 1 < p 1 ≤ 1 , 0 < q 2 < p 2 ≤ 1 , x ∈ [ 0 , 1 ] ,则有下列等式成立:
B n 1 n 2 ( e 10 − x ; x , y ) = 0 ; B n 1 n 2 ( e 01 − x ; x , y ) = 0 ; B n 1 n 2 ( ( e 10 − x ) 2 ; x , y ) = p 1 n 1 − 1 x ( 1 − x ) [ n 1 ] p 1 , q 1 ; B n 1 n 2 ( ( e 01 − x ) 2 ; x , y ) = p 2 n 2 − 1 y ( 1 − y ) [ n 2 ] p 2 , q 2 .
证明:根据引理2与算子的线性性质易得结论。
首先介绍一些记号:设 δ 1 > 0 , δ 2 > 0 , f ∈ C ( I 2 ) , I 2 = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ,则关于f的连续性模可以表示为:
ω ( f : δ 1 , δ 2 ) = sup { | f ( t , s ) − f ( x , y ) | : ( t , s ) ( x , y ) ∈ ( I 1 × I 2 ) , | t − x | ≤ δ 1 , | s − y | ≤ δ 2 } ;
并且 ω ( f : δ 1 , δ 2 ) 满足以下性质:
( i ) ω ( f : δ 1 , δ 2 ) → 0 , 若 δ 1 , δ 2 → 0 ( ii ) f ( t , s ) − f ( x , y ) ≤ ω ( f : δ 1 , δ 2 ) ( 1 + | t − x | δ 1 ) ( 1 + | s − y | δ 2 )
α 1 , α 2 阶Lipschitz条件的二元函数f:对于 ∀ ( t , s ) , ( x , y ) ∈ I 2 , f ∈ C ( I 2 ) , 0 < α 1 ≤ 1 , 0 < α 2 ≤ 1 ,则存在常数 M > 0 ,使得 | f ( t , s ) − f ( x , y ) | ≤ M | t − x | α 1 | s − y | α 2 ;记为 f ∈ L i p M ( α 1 , α 2 ) 。
定理1:若 p 1 = p n 1 , p 2 = p n 2 , q 1 = q n 1 , q 2 = q n 2 ,且 q 1 ∈ ( 0 , 1 ) , p 1 ∈ ( q 1 , 1 ] , q 2 ∈ ( 0 , 1 ) , p 2 ∈ ( q 2 , 1 ] , lim n → ∞ p n 1 = 1 , lim n → ∞ p n 2 = 1 , lim n → ∞ q n 1 = 1 , lim n → ∞ q n 2 = 1 ,则对于 ∀ f ∈ C ( I 2 ) ,都有 lim n 1 , n 2 → ∞ ‖ B n 1 , n 2 ( f ; x ) − f ( x ) ‖ = 0 。
证明:根据引理2得到
‖ B n 1 n 2 ( e 00 : x , y ) − e 00 ‖ = 0 ; ‖ B n 1 n 2 ( e 10 : x , y ) − e 10 ‖ = 0 ; ‖ B n 1 n 2 ( e 01 : x , y ) − e 01 ‖ = 0 ;
又因为当
故根据Volkov定理的内容可以得到
定理2:若
其中
证明:根据二元函数连续模的性质,则有
又利用Cauchy-Schwarz不等式与引理3,有
因此,得到
取
定理3:设
其中
证明:因为
又因为
利用算子作用与柯西–施瓦茨不等式计算有
定理4:若
其中
证明:由
利用Hölder不等式,取
取
本文的写作感谢查星星老师的指导。
巢湖学院国家级大学生创新创业训练计划资助项目(201910380035),巢湖学院省级大学生创新创业训练计划资助项目(S201910380068)。
高 盼,刘辉辉,冷献祥. 二元(p, q)-Bernstein算子的逼近性质Approximation Properties of Bivariate (p, q)-Bernstein Operators[J]. 应用数学进展, 2020, 09(02): 244-250. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.92028