本文结合近世代数的教学实践经验,通过具体的例子介绍了高等代数在群、环和域等近世代数问题中的应用。应用高等代数,不但能化抽象为具体,而且能开拓解题思路,对学生深入理解近世代数有积极作用。 In this paper, associated with actual experience in the teaching of modern algebra, several concrete examples are given to demonstrate how to apply advanced algebra in modern algebra, such as group, ring and field. Using the advanced algebra can not only change abstraction to concrete, but also flexibly develop the ways to solve problems, which would be useful for students to get an in-depth understanding of modern algebra.
陈秋帆
上海海事大学文理学院,上海
收稿日期:2020年3月12日;录用日期:2020年3月27日;发布日期:2020年4月3日
本文结合近世代数的教学实践经验,通过具体的例子介绍了高等代数在群、环和域等近世代数问题中的应用。应用高等代数,不但能化抽象为具体,而且能开拓解题思路,对学生深入理解近世代数有积极作用。
关键词 :近世代数,高等代数,群,环,域
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
近世代数是本科数学系的专业基础课,它是现代数学的重要基础,主要研究群、环、域等代数结构。近世代数着重培养学生的抽象思维方式,即如何从具体的数学研究对象中提炼出它们的本质(群、环、域的定义),并且从这些本质的共性中推导出其它共性,如何对研究对象进行分类,以及学会不同研究对象之间的比较方式等 [
群的公理化定义对于刚接触近世代数的学生来说较抽象,而高等代数中的多项式、矩阵、向量空间及有限维向量空间上的线性变换等为群提供了丰富的例子。例如,复数域C上全体n阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成群 GLn ( C ) (称为一般线性群),C上行列式为1的n阶矩阵全体关于矩阵的乘法构成群(称为特殊线性群),和C上n维向量空间的可逆变换关于线性变换的合成构成群等。以下通过具体的例子说明高等代数在群论中的应用。
例1:在 GL 2 ( C ) 中,
A = ( 0 − 1 1 − 1 ) , B = ( 0 − 1 1 0 ) ,
试计算 A , B , A B 的阶。
分析:矩阵 A , B 的阶直接计算可得。注意到矩阵AB的阶通过直接计算行不通,可运用高等代数的知识解决。
解:首先,直接计算可得
A 2 = ( − 1 1 − 1 0 ) , A 3 = E ,
B 2 = − E , B 3 = − B , B 4 = E ,
其中E为单位矩阵,故矩阵A的阶为3,矩阵B的阶为4。下面讨论矩阵AB的阶。有
A B = ( − 1 0 − 1 − 1 ) .
容易算出,AB的特征多项式
f ( λ ) = | λ E − A B | = ( λ + 1 ) 2 .
显然, f ( λ ) 也是AB的极小多项式。如果AB是有限阶的,则存在正整数n,使 ( A B ) n = E 。从而 λ n − 1 是AB的零化多项式,于是应有
f ( λ ) | λ n − 1. (1)
另一方面, f ( λ ) 有重根 λ = − 1 ,而 λ = − 1 至多是 λ n − 1 的单根,所以 f ( λ ) 不能整除 λ n − 1 ,与(1)式矛盾,这说明AB不可能是有限阶的,即AB的阶为无限。
例2:试证一般线性群 GLn ( C ) 不含有指数有限的真子群。
证明:反证法。假设H是 G = GLn ( C ) 的指数有限的真子群,且 [ G , H ] = m ,其中 [ G , H ] 为H在G中的指数。考虑G在H的左陪集集合上的左诱导作用,则有群同态
ρ : G → S m ,
其中 S m 为m次对称群,则有 | G / Ker ρ | | m ! , Ker ρ 为群同态 ρ 的核, | G / Ker ρ | 为商群 G / Ker ρ 中元素个数。设 | G / Ker ρ | = s 。一方面,对于任一 B ∈ G ,有 B s ∈ Ker ρ 。另一方面,由高等代数知,对于任一 A ∈ G 和任意正整数t,存在 B ∈ G 使得 A = B t 。因此,对于任一 A ∈ G ,有 A ∈ Ker ρ 。于是 G = Ker ρ ,即 H = G ,矛盾!证毕。
环是一类具有两种运算的代数系统。高等代数中复数域C上的全体多项式的集合 C [ x ] ,C上全体n阶方阵的集合以及C上向量空间的全体线性变换的集合关于通常的加法和乘法都构成环。此外,环论中唯一分解整环推广了算术基本定理,欧几里得整环推广了带余除法定理,主理想整环推广了最大公因子的表示定理。以下通过具体的例子说明高等代数在环论中的应用。
例3: 〈 x 2 + 1 〉 为 Z 3 [ x ] 的极大理想。
证明:在 Z 3 [ x ] 中,设I为任一真包含 〈 x 2 + 1 〉 的理想。在I中任取一个不属于 〈 x 2 + 1 〉 的多项式 f ( x ) ,由高等代数带余除法知存在 q ( x ) , a x + b ∈ Z 3 [ x ] ,使
f ( x ) = ( x 2 + 1 ) q ( x ) + a x + b .
从而
a x + b = f ( x ) − ( x 2 + 1 ) q ( x ) ∈ I .
因 f ( x ) ∉ 〈 x 2 + 1 〉 ,从而 a , b 不全为零。若 a ≠ 0 ,则 a 2 + b 2 ≠ 0 ,且
a 2 + b 2 = a 2 ( x 2 + 1 ) − ( a x + b ) ( a x − b ) ∈ I ,
则
由此得
例4:如果
证明:只需证明:若有一个次数小于等于n的多项式
设
用A代表这个系数矩阵,则A是Vandermonde矩阵,因
注:当D为域时,上述多项式是存在的且能唯一表示出来。
域是许多数学分支研究的基础,研究域最基本的方法是对域进行扩张。设E为F的扩域,则域E可以看作其子域F上的向量空间,则高等代数中向量空间的概念、理论与方法都可以移植到域上。下面通过具体的例子说明高等代数在域论中的应用。
例5:设
1) 证明:
2) 若
证明:1) 若
2) 由于
且
由于
这就是
再令
于是存在Q上多项式
根据高等代数中的辗转相除法,易知
将
综上,高等代数不仅为近世代数提供了直观的例子,而且更能对其中的问题进行实质刻画,很多问题都可以利用高等代数的知识解决。本文只是给出高等代数在近世代数中的几点应用,更多的应用仍值得进一步研究。在近世代数教学中,将这种学科之间的紧密联系展现给学生,会极大地激发学生的学习兴趣和积极性,从而提高教学质量和教学效果。
本文工作得到国家自然科学基金项目(11801363)和上海海事大学文理学院重点课程建设项目(2018) 资助。
陈秋帆. 浅谈高等代数在近世代数教学中的应用A Brief Discussion on Applications of Advanced Algebra in Modern Algebra Teaching[J]. 创新教育研究, 2020, 08(02): 104-108. https://doi.org/10.12677/CES.2020.82017