本文通过研究G. G. Gundersen问题得到具有三个IM分担值与一个CM分担值的亚纯函数的唯一性结论。 In this paper, some results of the uniqueness of meromorphic functions with three CM sharing values and one IM sharing value are obtained.
胡岚,赖铭
云南师范大学数学学院,云南 昆明
收稿日期:2020年3月22日;录用日期:2020年4月9日;发布日期:2020年4月17日
本文通过研究G. G. Gundersen问题得到具有三个IM分担值与一个CM分担值的亚纯函数的唯一性结论。
关键词 :亚纯函数,分担值,唯一性
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本文使用值分布论的基础知识及Nevanlinna常用理论的标准符号 [
对于复平面上的非常数亚纯函数 f ( z ) 而言, S ( r , f ) 泛指形如 o { T ( r , f ) } ( r → ∞ , r ∉ E , m e s E < + ∞ ) 的量。
1929年,Nevanlinna证明了以下定理:
定理A [
定理B [
(i) f ( z ) ≡ g ( z ) ;
(ii) f ( z ) ≡ g ( z ) ,但 g ( z ) 是 f ( z ) 的分式线性变换,且 a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 中必有两个是 f ( z ) 与 g ( z ) 公共的Picard例外值。
1979年,G. G. Gundersen得到了 3 C M + I M = 4 C M 定理。
定理C [
1983年,Gundersen将定理C改进为如下的 2 C M + 2 I M = 4 C M 定理。
定理D [
Gundersen根据上述结果,提出了以下公开问题:
设 a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 为4个判别的复数。如果 a 1 , a 2 , a 3 为非常数亚纯函数 f ( z ) 与 g ( z ) 的IM分担值, a 4 为 f ( z ) 与 g ( z ) 的CM分担值,那么 a 1 , a 2 , a 3 是否一定亦都为 f ( z ) 与 g ( z ) 的CM分担值?
对于上述问题,1992年,Gundersen得到如下的阶段性结果。
定理E [
对于Gundersen的上述问题,在本文中我们得到如下几个结果。
定理1.1 设 f ( z ) 与 g ( z ) 为判别的非常数亚纯函数。如果 f ( z ) 与 g ( z ) 以 0 , 1 , c ( c ∈ C \ { 0 , 1 , ∞ } ) 为IM分担值、而以 ∞ 为CM分担值,且 ∃ λ > 2 3 及 I ⊂ R + 使得 m e s I = + ∞ 以及对 ∀ r ∈ I 都有
N ¯ ( r , f ) > λ T ( r , f ) , N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) N ( r , 1 f ) + N ( r , 1 f − 1 ) + N ( r , 1 f − c ) > 1 2 ,
则 0 , 1 , ∞ , c 均为 f ( z ) 与 g ( z ) 的CM分担值。
定理1.2 设 f ( z ) 与 g ( z ) 为判别的非常数亚纯函数。如果 f ( z ) 与 g ( z ) 以 0 , 1 , c ( c ∈ { − 1 , 1 2 , 2 } ) 为IM分担值、而以 ∞ 为CM分担值,且 ∃ λ > 4 7 及 I ⊂ R + 使得 m e s I = + ∞ 以及对 ∀ r ∈ I 都有
N ¯ ( r , f ) > λ T ( r , f ) , N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) N ( r , 1 f ) + N ( r , 1 f − 1 ) + N ( r , 1 f − c ) > 1 2 ,
则 0 , 1 , ∞ , c 都为 f ( z ) 与 g ( z ) 的CM分担值。
为了证明本文的结果,我们需要以下几个辅助结果。
引理2.1 [
(i) T ( r , f ) = T ( r , g ) + S ( r , f ) , T ( r , g ) = T ( r , f ) + S ( r , f ) ;
(ii) N 0 ( r , f ) = S ( r , f ) , N 0 ( r , g ) = S ( r , f ) ;
(iii) ∑ j = 1 4 N ¯ ( r , 1 f − a j ) = 2 T ( r , f ) + S ( r , f ) ;
(iv) ∑ j = 1 4 N ∗ ( r , a j ) = S ( r , f ) ;
其中 N 0 ( r , f ) 表示 f ′ 的零点,但不是 f − a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 的零点的计数函数, N 0 ( r , g ) 类似定义, N ∗ ( r , a j ) 表示 f − a j 与 g − a j 重级均大于1的公共零点的计数函数,按重级小者计算次数。
引理2.2 [
β 1 = f ″ f ′ − ( f ′ f − 1 + f ′ f − c − 2 f ′ f ) − { g ″ g ′ − ( g ′ g − 1 + g ′ g − c − 2 g ′ g ) } ,
β 2 = f ″ f ′ − ( f ′ f + f ′ f − 1 − 2 f ′ f − c ) − { g ″ g ′ − ( g ′ g + g ′ g − 1 − 2 g ′ g − c ) } ,
β 3 = f ″ f ′ − ( f ′ f + f ′ f − c − 2 f ′ f − 1 ) − { g ″ g ′ − ( g ′ g + g ′ g − c − 2 g ′ g − 1 ) } ,
则有
T ( r , β 1 ) ≤ N ¯ ( r , f ) − N E ( r , ∞ ) + N ¯ ( r , 1 f ) − N E ( r , 0 ) + S ( r , f ) ,
T ( r , β 2 ) ≤ N ¯ ( r , f ) − N E ( r , ∞ ) + N ¯ ( r , 1 f − c ) − N E ( r , c ) + S ( r , f ) ,
T ( r , β 3 ) ≤ N ¯ ( r , f ) − N E ( r , ∞ ) + N ¯ ( r , 1 f − 1 ) − N E ( r , 1 ) + S ( r , f ) ,
其中 N E ( r , 0 ) 表示 f ( z ) 与 g ( z ) 公共的单重零点的密指量, N E ( r , 1 ) , N E ( r , c ) 亦类似定义。
引理2.3 [
令
β 1 = f ″ f ′ − ( f ′ f − 1 + f ′ f − c − 2 f ′ f ) − { g ″ g ′ − ( g ′ g − 1 + g ′ g − c − 2 g ′ g ) } ,
β 2 = f ″ f ′ − ( f ′ f + f ′ f − 1 − 2 f ′ f − c ) − { g ″ g ′ − ( g ′ g + g ′ g − 1 − 2 g ′ g − c ) } ,
β 3 = f ″ f ′ − ( f ′ f + f ′ f − c − 2 f ′ f − 1 ) − { g ″ g ′ − ( g ′ g + g ′ g − c − 2 g ′ g − 1 ) } ,
ψ = f ′ ( f − g ) 2 g ′ f ( f − 1 ) ( f − c ) g ( g − 1 ) ( g − c ) ,
H = ( β 1 2 − ( 1 + c ) 2 ψ ) ( β 2 2 − ( 1 − 2 c ) 2 ψ ) ( β 3 2 − ( c − 2 ) 2 ψ ) ,
则 ψ 为整函数,又由对数导数引理知 m ( r , ψ ) = S ( r , f ) ,故 T ( r , f ) = S ( r , f ) 。由于 ∞ 为 f ( z ) 与 g ( z ) 的CM分担值,且由引理2.1 (iv)知
N ¯ ( r , f ) − N E ( r , ∞ ) = S ( r , f ) . (1)
由(1)式及引理2.2知
T ( r , β 1 ) ≤ N ¯ ( r , 1 f ) − N E ( r , 0 ) + S ( r , f ) , (2)
T ( r , β 2 ) ≤ N ¯ ( r , 1 f − c ) − N E ( r , c ) + S ( r , f ) , (3)
T ( r , β 3 ) ≤ N ¯ ( r , 1 f − 1 ) − N E ( r , 1 ) + S ( r , f ) .(4)
我们断言 H ≡ 0 。
事实上,若 H ≡ 0 ,由Nevanlinna第一基本定理及(2)~(4)式得
3 N ¯ ( r , f ) ≤ N ( r , 1 H ) ≤ T ( r , H ) + O ( 1 ) ≤ 2 ( T ( r , β 1 ) + T ( r , β 2 ) + T ( r , β 3 ) ) + S ( r , f ) ≤ 2 ( N ¯ ( r , 1 f ) − N E ( r , 0 ) + N ¯ ( r , 1 f − c ) − N E ( r , c ) + N ¯ ( r , 1 f − 1 ) − N E ( r , 1 ) ) + S ( r , f ) .
由上式可得
3 N ¯ ( r , f ) + 2 ( N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) ) ≤ 2 ( N ¯ ( r , 1 f ) + N ¯ ( r , 1 f − 1 ) + N ¯ ( r , 1 f − c ) ) + S ( r , f ) .
又由引理2.1 (iii)得
5 N ¯ ( r , f ) + 2 ( N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) ) ≤ 2 ( N ¯ ( r , 1 f ) + N ¯ ( r , 1 f − 1 ) + N ¯ ( r , 1 f − c ) + N ¯ ( r , f ) ) + S ( r , f ) ≤ 4 T ( r , f ) + S ( r , f ) . (5)
继令
γ = f ′ ( f − g ) g ′ f ( f − 1 ) ( f − c ) g ( g − 1 ) ( g − c ) .
若 z ∞ 为f与g的极点,则 z ∞ 为 γ 的零点。由引理2.1 (iv)及已知条件可知
N ¯ ( r , f ) ≤ N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) + N ¯ D ( r , 0 ) + N ¯ D ( r , 1 ) + N ¯ D ( r , c ) + S ( r , f ) ≤ 2 ( N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) ) + S ( r , f ) . (6)
结合(5)式可知
6 N ¯ ( r , f ) ≤ 4 T ( r , f ) + S ( r , f ) .
这与定理的假设 ∃ λ > 2 3 及 I ⊂ R + 使得 m e s I = + ∞ ,且 N ¯ ( r , f ) > λ T ( r , f ) ( ∀ r ∈ I ) 矛盾,所以断言成立。故 H ≡ 0 。
不失一般性,令
{ f ″ f ′ − ( f ′ f − 1 + f ′ f − c − 2 f ′ f ) − { g ″ g ′ − ( g ′ g − 1 + g ′ g − c − 2 g ′ g ) } } 2 ≡ ( 1 + c ) 2 ( f ′ ( f − g ) 2 g ′ f ( f − 1 ) ( f − c ) g ( g − 1 ) ( g − c ) )
即 β 1 2 ≡ ( 1 + c ) 2 ψ ,设
P = f ′ f 2 ( g − 1 ) ( g − c ) g ′ g 2 ( f − 1 ) ( f − c ) . (7)
由(7)式可知 β 1 = p ′ p ,故有 ( p ′ p ) 2 ≡ ( 1 + c ) 2 ψ 。又因 ψ 为一个整函数,故0和 ∞ 为P的Picard例外值。
因而有
f ′ f 2 ( g − 1 ) ( g − c ) g ′ g 2 ( f − 1 ) ( f − c ) = e P 1 . (8)
(其中 P 1 为一个整函数)。由(8)式可知:0和 ∞ 为 f ( z ) 与 g ( z ) 公共的CM分担值,且结合 1 , c 为 f ( z ) 与
若
我们断言
由上可得
由引理2.1 (iv)可知
再结合定理1.2的已知条件及定理1.1中的(6)式可知
这与定理的假设
若
由(10)式经积分可以得到
(其中A为非零常数)。再结合
若
我们有
同理,若
得定理1.2的结论。
胡 岚,赖 铭. 具有三个IM分担值与一个CM分担值的亚纯函数的唯一性Uniqueness of Meromorphic Functions with Three IM Sharing Values and One CM Sharing Value[J]. 理论数学, 2020, 10(04): 318-324. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104040