相对论物质波为超导体中的量子强关联体系的研究提供了一个基本概念。本文通过研究电子碰撞过程中相对论物质波的相位变化,推导出了强关联电子体系的相互作用公式,并对其在超导体中的有效性进行了检验。我们对超导能隙的计算与典型的21种超导体的实验结果吻合得很好。此外,这个相互作用公式清楚地表明,在极低温度下,某些电子与晶格的碰撞将变得既无能量增益又无能量损失,从而为超导机制的研究提供了新的思路。另外,我们提出,相对论物质波是建立在平等性原理基础上的基本概念,从而使得我们的超导理论有更加扎实的理论基础。 Relativistic matter waves provide a basic concept for the study of quantum strongly correlated systems in superconductors. In this paper, by studying the phase change of relativistic matter wave in the process of electron collision, the interaction formula of strongly correlated electron system is derived, and its validity in superconductor is checked. Our calculation of energy gap agrees well with experiments for 21 typical superconductors. Moreover, this formula clearly indicates that some electrons colliding with crystal lattice will become no gain and no loss in energy at extremely low temperatures. It provides a new way to study the mechanism of superconductivity. In addition, we put forward that relativistic matter wave is a basic concept based on the equality principle, which makes our superconductivity theory have a more solid theoretical foundation.
崔怀洋
北京航空航天大学物理系,北京
收稿日期:2020年3月23日;录用日期:2020年4月16日;发布日期:2020年4月23日
相对论物质波为超导体中的量子强关联体系的研究提供了一个基本概念。本文通过研究电子碰撞过程中相对论物质波的相位变化,推导出了强关联电子体系的相互作用公式,并对其在超导体中的有效性进行了检验。我们对超导能隙的计算与典型的21种超导体的实验结果吻合得很好。此外,这个相互作用公式清楚地表明,在极低温度下,某些电子与晶格的碰撞将变得既无能量增益又无能量损失,从而为超导机制的研究提供了新的思路。另外,我们提出,相对论物质波是建立在平等性原理基础上的基本概念,从而使得我们的超导理论有更加扎实的理论基础。
关键词 :物质波,能隙,平等性原理
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在1911年,荷兰科学家H. K. Onnes等人发现汞在极低的温度下其电阻消失,呈现超导状态,从此,超导体的研究受到广泛关注。一方面,多种具有实用潜力的超导材料被发现,另一方面,对超导机理的研究也有很大进展 [
相对论物质波为超导体中的量子强关联体系的研究提供了一个基本概念 [
在电磁矢势A中,考虑一个粒子,它的物质波的积分形式与动量算符形式是一一对应的:
ϕ = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x ( m u μ + q A μ ) d x μ ) ⇔ p ^ μ ≡ − i ℏ ∂ ∂ x μ − q A μ . (1)
这个式子就是相对论物质波的定义 [
ϕ ( 1 ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x ( p μ ( 1 ) + q ( 1 ) A μ ( 1 ) ) d x μ ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R μ ( 1 ) d x μ ) ϕ ( 2 ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x ( p μ ( 2 ) + q ( 2 ) A μ ( 2 ) ) d x μ ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R μ ( 2 ) d x μ ) , (2)
图1. 粒子1与粒子2的碰撞
本文中用上标来标注粒子1或2。粒子1与粒子2相距r,两者彼此提供的库仑四维矢势为
A μ ( 1 ) = 1 4 π ε 0 q ( 2 ) u μ ( 2 ) c 2 r ∝ p μ ( 2 ) A μ ( 2 ) = 1 4 π ε 0 q ( 1 ) u μ ( 1 ) c 2 r ∝ p μ ( 1 ) . (3)
相对论物质波表达式中的符号 R = p + q A ,实际是经典分析力学的粒子正则动量 [
[ R μ ( 1 ) R μ ( 2 ) ] = ( 1 + [ S ( 11 ) S ( 12 ) S ( 21 ) S ( 22 ) ] ) [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] or R = ( 1 + S ) p . (4)
对于纯库仑相互作用,矩阵S具有最简单的形式,即它有 S ( 11 ) = 0 , S ( 22 ) = 0 ,与方程(3)一致;对于一般情况下的复杂相互作用,很容易证明,矩阵S是Hermite矩阵(Hermitian Matrix),即: S + = S ,因为 | ϕ ( 1 ) | = | ϕ ( 2 ) | = 1 ,证明见附录A。
根据群论,二阶的Hermite矩阵S是由Pauli矩阵线性组合而成,具有SU(2)对称性:
[ R ( 1 ) R ( 2 ) ] = ( 1 + S ) [ p ( 1 ) p ( 2 ) ] = ( 1 + c 1 σ 1 + c 2 σ 2 + c 3 σ 3 ) [ p ( 1 ) p ( 2 ) ] ,(5)
这里Pauli矩阵(SU(2) group)是
σ 1 = [ 0 1 1 0 ] , σ 2 = [ 0 − i i 0 ] , σ 3 = [ 1 0 0 − 1 ] , (6)
这里c1,c2,c3是三个相互独立的实数(以下称之为SU(2)群系数)。对于一般情况下的复杂相互作用,下面我们详细讨论上述公式中每一项Pauli矩阵的物理意义。
1) 假设在碰撞过程中c1工作, c 2 = c 3 = 0 ,这种情况是
[ R μ ( 1 ) R μ ( 2 ) ] = ( 1 + c 1 [ 0 1 1 0 ] ) [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] .(7)
容易看出,使用方程(3)来确定系数c1,它代表了两粒子之间的纯库仑相互作用:
[ R μ ( 1 ) R μ ( 2 ) ] = [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] + [ q ( 1 ) A μ ( 1 ) q ( 2 ) A μ ( 2 ) ] . (8)
在这种情况下,R就是我们比较熟悉的粒子在电磁场中的正则动量,R控制着物质波的相位。
2) 假设在碰撞过程中c1和c3工作, c 2 = 0 ,这种情况是
[ R μ ( 1 ) R μ ( 2 ) ] = ( 1 + c 1 [ 0 1 1 0 ] + c 3 [ 1 0 0 − 1 ] ) [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] = ( 1 + c 3 [ 1 0 0 − 1 ] ) [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] + [ q ( 1 ) A μ ( 1 ) q ( 2 ) A μ ( 2 ) ] .(9)
让我们观察一下两粒子体系的总正则动量,它们是
R 4 = R 4 ( 1 ) + R 4 ( 2 ) R = R ( 1 ) + R ( 2 ) .(10)
把方程(9)代入上式(10),我们得到
R 4 = p 4 ( 1 ) + c 3 p 4 ( 1 ) + q ( 1 ) A 4 ( 1 ) + p 4 ( 2 ) − c 3 p 4 ( 2 ) + q ( 2 ) A 4 ( 2 ) R = p ( 1 ) + c 3 p ( 1 ) + q ( 1 ) A ( 1 ) + p ( 2 ) − c 3 p ( 2 ) + q ( 2 ) A ( 2 ) . (11)
所以
c 3 = p 4 ( 1 ) + q ( 1 ) A 4 ( 1 ) + p 4 ( 2 ) + q ( 2 ) A 4 ( 2 ) − R 4 p 4 ( 2 ) − p 4 ( 1 ) , (12)
c 3 = | p ( 1 ) + q ( 1 ) A ( 1 ) + p ( 2 ) + q ( 2 ) A ( 2 ) − R | | p ( 2 ) − p ( 1 ) | . (13)
回忆起c3是SU(2)对称群的一个实数系数,在方程(12)中c3通过能量变化来计算;而在方程(13)中c3通过动量变化来计算,方程(12)和方程(13)都具有数学奇异性:如果分子不为零,方程(12)不允许两粒子具有相同的相对论能量,否则它的计算式分母为零从而使得两粒子之间的相互作用急剧增强(假设两粒子之间不是共振关系);方程(13)同样不允许两粒子具有相同的相对论动量。这正是Pauli不相容原理。根据上述公式,Pauli不相容原理可以表述为:两粒子(费米子)不能具有相同的相对论能量Er和不能具有相同的相对论动量,即
p 4 = m i c 1 − v 2 / c 2 = i E r c ; p 4 ( 2 ) ≠ p 4 ( 1 ) ; p ( 2 ) ≠ p ( 1 ) . (14)
如果两粒子体系处于总的静态(in total stationary state),它们的总物质波是
ϕ ( 1 ) ϕ ( 2 ) = ϕ ( x ( 1 ) , x ( 2 ) ) exp ( − i E ℏ t ) ,(15)
而
ϕ ( 1 ) ϕ ( 2 ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R μ ( 1 ) d x μ + i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R μ ( 2 ) d x μ ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R ( 1 ) ⋅ d x ( 1 ) + i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R ( 2 ) ⋅ d x ( 2 ) + i ℏ ∫ x 0 ( L ) x ( R 4 ( 1 ) + R 4 ( 2 ) ) d x 4 ) , (16)
比较方程(15)和方程(16),我们发现,总的能量守恒方程就是
R 4 = R 4 ( 1 ) + R 4 ( 2 ) = i E c = c o n s t . .(17)
这就是R4的物理意义,据此我们看出:R代表系统总的正则动量。注意到在(11)式子中R不仅包含电磁矢势A,还包含了新的成分。一般来讲,群参数c3不为零,在方程(12)中的分子包含了两粒子之间的电磁相互作用,代入两粒子之间的库仑势,我们得到
q ( 1 ) A 4 ( 1 ) + q ( 2 ) A 4 ( 2 ) = 1 4 π ε 0 q ( 1 ) q ( 2 ) u 4 ( 2 ) c 2 r + 1 4 π ε 0 q ( 1 ) q ( 2 ) u 4 ( 1 ) c 2 r ∝ 1 r ,(18)
它反比于两粒子之间的距离r。在电子费米气体中,群参数c3应该与温度有关,所以方程(12)和方程(13)合并在一起而写成下述函数形式
c 3 = H ( T , 1 / r ) p 4 ( 2 ) − p 4 ( 1 ) + M ( T , 1 / r ) | p ( 2 ) − p ( 1 ) | , (19)
对于电子费米气体,让实验来决定上述分子中的因子 H ( T , 1 / r ) 和 M ( T , 1 / r ) 。只看粒子1和它的群参数,它的物质波的R最后写成
R μ ( 1 ) = p μ ( 1 ) + ( H ( T , 1 / r ) p 4 ( 2 ) − p 4 ( 1 ) + M ( T , 1 / r ) | p ( 2 ) − p ( 1 ) | ) p μ ( 1 ) + q ( 1 ) A μ ( 1 ) . (20)
粒子1相当于处在一个新的等效电磁场中:
新的等效电磁场
3) 假设在碰撞过程中c1和c2工作,
既然这种情况的相互作用矩阵S包含纯虚数,我们不得不考虑动量也有相应的如下的实部和虚部
在四维空间中,它的形式是
在这种情况下,只看粒子1,使用微扰理论(c2是小量),从(22)式我们有
四维动量为p(1)的粒子1可以看成一对“配对粒子”:动量分别为p(1)Re和p(1)Im,如何处理配对粒子显然是非常棘手的问题,长话短说,在本作者的早期论文 [
本节我们将使用新的等效电磁场
这两个物质波的相位都是由3个部分组成:1) 两个粒子之间的库仑相互作用,由SU(2)对称群的第一个实数参数c1表示;2) 两个粒子之间的自旋相互作用,由SU(2)对称群的第二个实数参数c2表示;3)两个粒子之间的Pauli不相容的相互作用,由SU(2)对称群的第三个实数参数c3表示。
在这篇论文中,我们只讨论库仑相互作用和Pauli不相容的相互作用,忽略自旋相互作用 [
在超导体的电子费米气体中,在费米能表面上考虑两个相邻的电子1和电子2,它们分别具有能量E1和E2。如果电子1由于热运动而撞击晶格并且希望跳跃到较高的一个能级E3上,即
图2. 电子气费米能附近的电子能级分布
这叫做“奇异性阻塞效应”(singularity blockade effect)。这个效应导致电子2会阻止任何一个与它相邻的电子跳跃到高于E2的能级上去,如图2(b)所示意。这个奇异性阻塞效应也意味着费米能表面上的相邻的电子之间存在能隙
这里k是Boltzmann常数。能隙
图3. 少数较高能量的能级E2的电子作为局域领导者控制着附近的电子
如何降低Pauli不相容的排斥相互作用呢?根据方程(28)的第一项,如果两个电子相距很远,它(既c3)的分子必须下降并趋于零,这样分子才能消除分母为零的奇异性。所以,Pauli不相容的相互作用只对相邻的电子起作用。降低Pauli不相容的排斥相互作用的另外一个方法是让温度下降并接近零,这样两个电子之间的相互作用很弱,(28)式分子也会趋于零,结果在费米能表面上的能隙
假设电子1跟晶格发生碰撞而获得一个声子的能量:
这里
结果,电子1在与晶格发生碰撞的过程中,在与这个声子的交互的过程中,既没有吸收能量也没有损失能量,这等效于电子与晶格之间发生了弹性碰撞,它意味着电子1在与晶格发生碰撞的过程中保持零电阻。所以,在温度下降到临界温度Tc时,能隙
根据奇异性排斥效应,我们查阅了21种超导材料的能隙,如表1所列 [
Material | Tc, K | g, Equation (32), this work prediction | g, BCS prediction | ||
---|---|---|---|---|---|
Hf | 0.13 | 0.044 | 3.9 | 3~6 | 3.53 |
Cd | 0.52 | 0.14 | 3.2 | 3~6 | 3.53 |
Zn | 0.85 | 0.23 | 3.2 | 3~6 | 3.53 |
Al | 1.2 | 0.35 | 3.4 | 3~6 | 3.53 |
In | 3.4 | 1.05 | 3.6 | 3~6 | 3.53 |
Hg | 4.2 | 1.7 | 4.6 | 3~6 | 3.53 |
Pb | 7.2 | 2.7 | 4.3 | 3~6 | 3.53 |
Nb | 9.3 | 3.0 | 3.8 | 3~6 | 3.53 |
V3Ge | 11.2 | 3.1 | 3.2 | 3~6 | 3.53 |
V3Si | 17.1 | 5.4 | 3.7 | 3~6 | 3.53 |
Nb3Sn | 18.1 | 4.7 | 3.0 | 3~6 | 3.53 |
K3C60 | 19 | 5.9 | 3.6 | 3~6 | 3.53 |
Rb3C60 | 29 | 7.5 | 3.0 | 3~6 | 3.53 |
Ba0.6K0.4BiO3 | 18.5 | 5.9 | 3.7 | 3~6 | 3.53 |
(Nd0.925Ce0.075)2CuO4 | 21 | 7.4 | 4.4 | 3~6 | 3.53 |
(La0.925Sr0.075)2CuO4 | 36 | 13 | 4.3 | 3~6 | 3.53 |
YBa2Cu3O7-d | 87 | 30 | 4.0 | 3~6 | 3.53 |
Bi2Sr2Ca2Cu3O10 | 108 | 53 | 5.7 | 3~6 | 3.53 |
Tl2Ba2Ca2Cu2O8 | 112 | 44 | 4.5 | 3~6 | 3.53 |
Tl2Ba2Ca2Cu3O10 | 105 | 28 | 3.1 | 3~6 | 3.53 |
Hg2Ba2Ca2Cu3O8 | 131 | 48 | 4.3 | 3~6 | 3.53 |
表1. 21种超导材料的能隙比较
本文所说的强关联量子体系中的相互作用公式(28)有一个显著的特点:不是改善超导体的能隙计算精度,而是给我们提供了一个新的超导机制:成功地解释了为什么有些电子(不是全部电子)能够在与晶格发生碰撞的过程中既没有吸收能量也没有损失能量,这等效于电子与晶格之间的弹性碰撞机制,虽然我们没有讨论自旋相互作用。不难想象,相同的奇异性阻塞效应可以用来解释液氦低温下的超流现象:碰撞过程中既没有吸收能量也没有损失能量,虽然液氦有些是费米系统(3Hellium liquid, superconductor),有些是玻色系统(4Hellium liquid, excitons) [
实际上,奇异性阻塞效应属于三体效应(电子1,电子2,声子),与传统的量子波动方程求解思路相比,相对论的物质波公式通过相位变化的计算更加适合求解这类问题。其实,相对论物质波还有许多新的特性有待研究 [
在物理学中,一个粒子的四维速度u满足
无论哪一种粒子(电子,分子,中子,夸克),它们的四维速度u都具有相同的数量大小:
假如电子具有最大极限加速度
对所有的电子,相对论加速度
在一个实验室坐标系中,考虑一个质量为m的速度为v粒子,根据勾股定理(Pythagoras theorem),在时间间隔
两边同时减去
它可以重新写成
我们定义第四坐标轴和固有时间间隔(proper time interval)如下
那么,坐标系
我们有
它意味着任何粒子的四维速度的数量大小取相同的值:
根据勾股定理(Pythagoras theorem),粒子的相对论加速度a有
假如电子具有最大极限加速度
它可以写成
现在,上式左边包含五项,电子的相对论加速度可以看成五维加速度,定义为
这里
它意味着任何粒子的相对论加速度
每一个电子的相对论加速度
图4. 小轿车做匀速圆周运动的时候,它具有常切向速度v和常向心加速度a
图5. 一个沿着x1轴以速度v做匀速运动的电子,它在图中沿着u方向以常速度
类似于匀速圆周运动的小轿车,如图5所示,考虑一个沿着x1轴以速度v做匀速运动的电子,它在图中沿着u方向以常速度
所以,在这个
图5中的螺旋包像一个钢丝弹簧,可以用一个波函数来描述;电子向前运动137个螺旋步距(spiral step),对应波函数相位增加2p,137个螺旋步距对应螺旋周长是137 ×2p(iR)。为什么是137个螺旋步距对应相位2p呢?因为它与精细结构常数f = 1/137相关联。既然电子在螺旋线上的每个微小位移是
代入半径R,波函数
在相对论理论中,我们知道沿着
所以波函数
容易发现,最大极限加速度
注意到
讨论:1) 平等性原理是一个很好的物理基础平台,它可以让我们合理地引入基本常数。因为它让每个粒子都平等地享有相同的物理学基本常数。正如我们利用速度平等性原理和加速度平等性原理,让每个电子都在运动的时候享有相同的速度数量大小和相同的普兰克常数,就像电子生命中的不变基因。2)实际上,平等性原理为传统物理学注入了新鲜血液,特别是对天体物理,超导电性等等。平等性原理特别适合用来建立物理学的基本概念。3) 在图5中,电子在这个
螺旋步距对应的螺旋周期是一个常数。在本文中,电子在这个
在图6中,角动量J的方向会与电子前进的x1方向稍微不同,因为角动量J在绕着x1方向做进动,这是由于螺旋包造成的。很容易想到这个角动量J会被现实世界的外部磁场B捕获到。如何把这个角动量J投影到现实世界
重要提示:实际上,人们在狭义相对论时空
如图7所示,螺旋包的长度被认为是物质波的相干长度(coherent length),相应地,相干宽度(coherent width)是指物质波在横向的影响范围(不是指在x5轴上的螺旋包半径R,因为在现实世界时空
图6. 角动量J的方向会与电子前进的x1方向稍微不同
图7. 螺旋包的长度被认为是物质波的相干长度
图8. 波谱成分在k0处有一个峰值
很明显,螺旋包就是一个波包。考虑一个电子沿着x轴运动,它的物质波具有相干长度L,物质波的波包是
它的波谱成分可以写成为
既然波包中不同成分的传播速度不同,各种波谱成分可以由傅里叶分析得到
现在,显然sinz/z在
这就是Heisenberg不确定原理。我们可以放心地说,电子不是一个几何点,它生活在它的非现实世界的螺旋包中。
位置,速度,加速度是粒子物理学中的三个基本概念,对应地,我们有位置平等性原理,速度平等性原理,加速度平等性原理。位置平等性原理要求我们承认存在一个最大极限距离D,它自动被认为是宇宙直径:在D范围内,无物体可以逃脱。位置平等性原理允许我们引入哈勃常数(Hubble constant)和解释哈勃定律(Hubble law)。
考虑一个遥远恒星,它到太阳的距离为d,我们以太阳为原点建立一个参考坐标系
图9. 太阳系中一个遥远的恒星
因为距离d是一个很大的距离,我们自然会担心非欧几何效应(non-Euclidian effect)对位置测量产生的影响,修改位置的测量公式为
这里kd项代表非欧几何效应。假设在宇宙中存在这个最大极限距离D,那么上式两边同时减去D2,
它可以被写成
那么一个新坐标系必须建立起来,新坐标系定义为
在这个新坐标系
位置的数量大小是相同的!这个叫做位置平等性原理。
现在我们用哈勃定理来测试一下位置平等性原理。考虑一个遥远的位置
根据(64)式的第一个式子,在我们的新坐标系原点接受到的电磁波的波长是
这就是哈勃定理(Hubble law),而D2/k等于哈勃常数(Hubble constant)。位置平等性原理的优点是,不需要让遥远星系按照多普勒效应预言的那样退行(或宇宙膨胀)。宇宙红移,或者宇宙蓝移,多普勒效应,宇宙膨胀,这些问题困扰了人们很长时间,有了位置平等性原理,我们对宇宙的认识将更近一步。
相对论物质波为超导体中的量子强关联体系的研究提供了一个基本概念。本文通过研究电子碰撞过程中相对论物质波的相位变化,推导出了强关联电子体系的相互作用公式,并对其在超导体中的有效性进行了检验。我们对超导能隙的计算与典型的21种超导体的实验结果吻合得很好。此外,这个相互作用公式清楚地表明,在极低温度下,某些电子与晶格的碰撞将变得既无能量增益又无能量损失,从而为超导机制的研究提供了新的思路。另外,我们提出,相对论物质波是建立在平等性原理基础上的基本概念,从而使得我们的超导理论有更加扎实的理论基础。
崔怀洋. 相对论物质波及其对超导电性的解释:基于平等性原理 Relativistic Matter Wave and Its Explanation to Superconductivity: Based on the Equality Principle[J]. 现代物理, 2020, 10(03): 35-52. https://doi.org/10.12677/MP.2020.103005