本文采用平面波展开法研究了三维光子晶体的带隙与环境温度变化之间的关系。环境温度变化会使三维光子晶体介质的折射率发生变化,三维光子晶体介质折射率的变化会引起三维光子晶体的带隙发生变化。本文研究温度对三维光子晶体带隙的影响,可为三维光子晶体温度测量器件的制作提供理论基础。 In this paper, the relationship between the energy band of three-dimensional photonic crystal and the change of ambient temperature are studied by use of the plane wave expansion method. The change of the environment temperature will change the refractive index of the three-dimensional photonic crystal medium, and the change of the refractive index of the three-dimensional photonic crystal medium will change the energy band of the three-dimensional photonic crystal. This paper studies the influence of temperature on the band gap of three-dimensional photonic crystal, which can provide theoretical basis for the fabrication of three-dimensional photonic crystal temperature measuring devices.
龚艳芬,李紫琼,嵇潇烽,武校刚*
宁波工程学院建筑与交通工程学院,浙江 宁波
收稿日期:2020年4月9日;录用日期:2020年4月23日;发布日期:2020年4月30日
本文采用平面波展开法研究了三维光子晶体的带隙与环境温度变化之间的关系。环境温度变化会使三维光子晶体介质的折射率发生变化,三维光子晶体介质折射率的变化会引起三维光子晶体的带隙发生变化。本文研究温度对三维光子晶体带隙的影响,可为三维光子晶体温度测量器件的制作提供理论基础。
关键词 :三维光子晶体,折射率,带隙
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温度是科学与技术中最基本的物理量之一,也是工农业生产及工程技术中最普遍的重要参数之一。随着科技的快速发展,人们对平时的生活环境以及生产过程的要求越来越高,尤其是生产过程,因此,对新型的温度测量手段的研究具有重要意义。
光子器件的出现在技术发展中提供了解决方向与途径。在1987年Yablonovich [
三维光子晶体相对于一维,二维光子晶体,它独特的地方是它在三个方向上都有着周期性结构,所以它可以容易的构成各个方位的光子带隙,因此可以有效控制着光的传播,所以说三维光子的结构会更为复杂 [
图1. 钻石晶体结构示意图
本文选用高介电材料Si作为背景材料,用空气小球来构成的钻石结构的三维光子晶体。我们假设这种结构是在介电材料Si中钻孔来形成的 [
图2. 介质硅折射率与温度的关系
由图可知,Si的折射率随着温度的增而增大,折射率和温度成比例关系。环境的温度变化可以由材料的折射率来体现。折射率和材料Si介电常数的数量关系如式(1)所示:
n 2 = ε (1)
根据公式(1)我们可以知道,环境的温度变化是可以通过三维光子晶体的介电材料的介电常数来反应的。
现在我们知道的计算三维光子晶体的方法有这几种:传输矩阵法、时域有限差分法、平面波展开法等等 [
1 X d ( r ) ∇ × [ ∇ × E d ( r , t ) ] = − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 E ( r , t ) (2)
∇ × [ 1 X d ( r ) ∇ × H d ( r , t ) ] = − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 H d ( r , t ) (3)
式中,X(r)是一种线性的,各项周期性的函数和同性的函数,假如光子晶体是一种非磁性的介质,那么磁导率(r) = 1,假如方程有波动形式的解,则方程可以写成:
θ E E d ( r , t ) = 1 X d ( r ) ∇ × [ ∇ × E d ( r ) ] = k 2 c 2 E d ( r ) (4)
θ H H d ( r , t ) = 1 X d ( r , t ) ∇ × [ ∇ × H d ( r , t ) ] = k 2 c 2 H d ( r ) (5)
通过傅里叶变换,得到公式如下:
1 X d ( r ) = ∑ G 1 X d ( r ) ( G ) e i G ° r , H d ( r ) = ∑ k , λ e ^ ( k , λ ) h ( k , λ ) e i k ° r (6)
根据布里赫定理得到:
E d ( x , t ) = exp [ i ( k ° x − k t ) ] ∑ G E d ( G ) exp [ i G ° x ] (7)
H d ( x , t ) = exp [ i ( k ° x − k t ) ] ∑ G H d ( G ) exp [ i G ° x ] (8)
将公式(6),(7),(8)带入到(2),(3)得到以下方程式:
( K d + G d ) × [ ( K d + G d ) × E G d ] + K 2 G 2 ∑ E G d = 0 (9)
( K d + G d ) × [ ∑ G 1 X ( r ) ( K d + G d ) × H G d ] + K 2 C 2 H G d = 0 (10)
公式(9)、(10)是三维光子晶体中光传播的本征方程式,K和k通过解方程式(9),(10)就可以得出K和k的关系,就可以算出三维光子的带隙结构。
本文用MALTAB软件来模拟,分析三维光子晶体的带隙结构。从而分析三维光子晶体的带隙结构和环境温度变化之间的关系。
选用晶格常数a = 1,空气介电常数 = 1,介质球半径r = 0.31的情况下,温度为0℃和80℃时的三维光子晶体的带隙结构分别如图3和图4所示。横坐标是波矢量,单位是rad/m,纵坐标是归一化频率。可以用归一化转换式计算波长:
a ⋅ 2 ⋅ π w = λ a (11)
公式中:a——晶格常数;
w——角频率;
λ ——波长。
图3. 温度为0℃时带隙结构图
图4. 温度为80℃时带隙结构图
通过公式(11)求出三维光子晶体的起始波长,终止波长和禁带宽度,并分析环境温度与其关系 [
λ 2 = 0.5075 t + 2077.15 (12)
式中, λ 2 为终止波长,单位为nm;t为环境温度,单位为℃。
图5. 终止波长与温度关系
测量晶体的灵敏度,可以通过测量光子禁带的起始波长 [
λ 1 = 1.0475 t + 3064.45 (13)
式中, λ 1 为起始波长,单位为nm;t为环境温度,单位为℃。
图6. 起始波长与温度关系
三维光子晶体带隙结构的禁带宽度与环境温度变化之间的关系如图7所示。由图7可知,三维光子晶体带隙结构的禁带宽度随着环境温度的升高而升高,三维光子晶体带隙结构的禁带宽度的变化与环境温度的变化呈线性关系。表明随着环境温度升高,背景介质材料的介电常数增大,随之禁带宽度也增大了。经过研究分析得出,温度从0℃增加到80℃时,禁带宽度从987.3 nm增加到1020.5 nm。光子带隙的宽度越宽时,光子晶体的温度敏感性能越好。禁带宽度和和环境温度呈线性关系,其关系如下式:
λ 0 = 0.415 t + 1020.5 (14)
式中, λ 0 为起始波长,单位为nm;t为环境温度,单位为℃。
图7. 禁带宽度与温度关系图
本文对三维光子晶体的带隙结构与温度变化之间的关系进行了研究,随着环境温度的变化,三维光子晶体的禁带起始波长、终止波长和禁带宽度都随温度的变化而变化。研究结果表明,三维光子晶体的禁带起始波长、终止波长和禁带宽度与温度都呈线性关系。
浙江省科技创新活动计划资助项目(2018R428006)。
龚艳芬,李紫琼,嵇潇烽,武校刚. 一种三维光子晶体温度特性研究Temperature Characteristics of Three-Dimensional Photo Crystal[J]. 应用物理, 2020, 10(04): 262-268. https://doi.org/10.12677/APP.2020.104033