肖寒月，贺小航

西华大学理学院，四川 成都

收稿日期：2020年4月17日；录用日期：2020年5月7日；发布日期：2020年5月14日

本文讨论了无穷维序列空间的线性n-宽度，并估计其精确渐近阶。

关键词 :无穷维序列空间，线性n-宽度，渐近阶

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自1936年，A.N. Kolmogorov提出宽度以来，重要的函数类空间的n-宽度都得到比较深入的研究 [1] - [7]。而其方法基本都是将函数空间的n-宽度问题，转化为序列空间的宽度问题。因此，研究序列空间的宽度问题，有比较重要的意义。本文研究无穷维序列空间的宽度问题。

用 l p ( 1 ≤ p ≤ ∞ ) 表示赋予范数 ‖   •   ‖ p 的经典无序维实序列空间，其中 x = { x k } k = 1 ∞ ，

‖ x ‖ p = { ( ∑ k = 1 ∞ | x k | p ) 1 p ,               1 ≤ p < ∞ sup k ≥ 1 | x k | ,                                     p = ∞

众所周知， l p 空间界有以下性质：

1) 对 1 ≤ p < q ≤ ∞ ，有 l p ⊂ l q ，而 l q ⊄ l p ；

2) 对 1 ≤ p < ∞ ， { e k } k = 1 ∞ 为 l p 的Schauder基。其中， 表示第k个分量为1，其余分量为0的实序列。

对 ， x = { x k } ∈ l p ， r ∈ ℝ ，令

x ( r ) = { k r x k } k = 1 ∞ ,

l p , r : = { x ∈ l p | x ( r ) ∈ l p } .

对 x ∈ l p , r ，记

‖ x ‖ p , r = ‖ x ( r ) ‖ p

易见， ‖   •   ‖ p , r 为 l p , r 上的范数， ( l p , r , ‖   •   ‖ p , r ) 为赋范线性空间，以下总把 ( l p , r , ‖   •   ‖ p , r ) 简记为 l p , r ，用 B p , r 表示 l p , r 中的单位球。

对 1 ≤ q < p < ∞ ，由Hȍlder不等式知，当 r > 1 q − 1 p 时， l p , r ⊂ l q 。本文讨论 l p , r 在

中的线性n-宽度，为此介绍线性n-宽度的定义。

定义1 设 ( X , ‖   •   ‖ ) 为赋范线性空间，A为X中非空子集， n ∈ ℕ ∗ = { 0 , 1 , 2 , ⋯ } ，称

λ n ( A , X ) : = inf T n sup x ∈ A ‖ x − T n x ‖

为A在X中的线性n-宽度，其中 T n 取遍从X到X上的秩不超过n的所有有界线性算子。

关于线性n-宽度的性质，可参阅Pinkus专著 [8]。

本文主要讨论 l p , r 在 l q ( 1 ≤ q < p < ∞ , r > 1 q − 1 p ) 中的线性n-宽度，并估计其精确阶，这也是本文的主要结果。

定理1 设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ，，则

λ n ( B p , r , l q ) ≻ ≺ n − ( r − 1 q + 1 p ) .

其中，“ ≻ ≺ ”定义如下： c , c i , i = 0 , 1 , ⋯ ，表示仅与参数p，q，r相关的正常数。若对于正函数 μ ( y ) 和 ν ( y ) ， y ∈ B (B是正函数 μ ( y ) 和 ν ( y ) 的定义域)，存在正常数 c 1 , c 2 ，使得对任意的，有 μ ( y ) ≥ c 1 ν ( y ) 或者 μ ( y ) ≤ c 1 ν ( y ) ，则将其记为： μ ( y ) ≫ ν ( y ) 或者 μ ( y ) ≪ ν ( y ) 。若存在正常数 c 3 , c 4 ，使得对任意的 y ∈ B ，有 c 3 ≤ μ ( y ) / ν ( y ) ≤ c 4 ，则记为： μ ( y ) ≻ ≺ ν ( y ) ，即对任意的 y ∈ B ，若 μ ( y ) ≫ ν ( y ) 和 μ ( y ) ≪ ν ( y ) 同时成立，则有 μ ( y ) ≻ ≺ ν ( y ) 。

为证定理1，首先介绍有限维空间的线性n-宽度的相关结论。

1 ≤ p ≤ ∞ ，用 l p m 表示在 ℝ m 上赋予通常范数 ‖   •   ‖ l p m 的Banach空间，其中

‖ x ‖ l p m = { ( ∑ k = 1 ∞ | x n | p ) 1 p ,                       1 ≤ p < ∞ max 1 ≤ k ≤ m | x k | ,                                                                 p = ∞ ,                                                 x = ( x 1 , ⋯ , x m ) ∈ ℝ m .

用 B p m 表示 l p m 中的单位球。

易见， { e ′ k } k = 1 m 为 l p m 的基，其中 e ′ k ∈ ℝ m 表示第k个分量为1，其余分量为0的向量。

有限维空间 l p m 的线性n-宽度有如下结果：

命理2 [8] 设 1 ≤ q < p ≤ ∞ ， n ∈ ℕ ∗ ，则

λ n ( B p m , l q m ) = { ( m − n ) 1 q − 1 p   ,                         0 ≤ n ≤ m , 0   ,                                                                                                               n > m .

下面，分别建立估计定理1上、下界的离散化空间。

对 k ∈ ℕ = { 1 , 2 , 3 , ⋯ } ，令

S k = { n ∈ ℕ | 2 n − 1 ≤ n < 2 k } .

则 m k : = | S k | = 2 k − 1 。

引理3 设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， n ∈ ℕ ∗ ， { n k } k = 1 ∞ 为非负整数序列，且 n k ≤ m k ， ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n ，则

λ n ( B p , r , l q ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − r k λ n k ( B p m k , l q m k )     .

证明：对 ∀ k ∈ ℕ ，令

F k = s p a n { e n | n ∈ S k } .

易见 F k 为线性空间，且 dim F k = m k 。令

I k : F k → ℝ m k

x = ∑ j ∈ S k x j e j ↦ ∑ j = 1 m k x 2 k − 1 + j − 1 e ′ j

则 I k 为 F k 到 ℝ m k 上的同构映射。

对 ∀ x = ∑ j ∈ S k x j e j ∈ F k ， ∀ y = ∑ j ∈ S k y j e j ∈ F k ，则

‖ x ‖ p , r = ( ∑ j = 2 k − 1 2 k − 1 | j r x j | p ) 1 p ≻ ≺ 2 k r ( ∑ j = 2 k − 1 2 k − 1 | x j | p ) 1 p = 2 k r ‖ I k x ‖ l p m k , (1)

‖ y ‖ q = ‖ I k y ‖ l q m k . (2)

从而

λ n k ( B p , r ∩ F k , l q ∩ F k ) ≪ 2 − r k λ n k ( B p m k , l q m k )

因此

λ n ( B p , r , l q ) ≤ ∑ k = 1 ∞ λ n k ( B p , r ∩ F k , l q ∩ F k ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − r k λ n k ( B p m k , l q m k )       ．

引理3得证。

引理4 设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， n ∈ ℕ ∗ ，记。令 k = k ′ + 2 ，则

λ n ( B p , r , l q ) ≫ 2 − r k ′ λ n ( B p m k , l q m k )

证明：易见 m k ≥ n ，且由(1)、(2)可知

λ n ( B p , r , l q ) ≥ λ n ( B p , r ∩ F k , l q ∩ F k ) ≥ 2 − r k λ n ( B p m k , l q m k ) .

肖寒月,贺小航. 无穷维序列空间的线性n-宽度Linear n-Width of Infinite-Dimensional Sequence Space[J]. 理论数学, 2020, 10(05): 458-462. https://doi.org/10.12677/PM.2020.105055