余环宇

华南理工大学数学学院，广东 广州

收稿日期：2020年4月21日；录用日期：2020年5月12日；发布日期：2020年5月20日

本文主要研究了一类四维的self-exciting Faraday圆盘发电机，它描述了azimuthal eddy流的作用。首先通过计算Lyapunov指数，发现该系统是一个超混沌的系统。然后研究了系统的zero-zero-Hopf分支。利用平均理论，获得了在zero-zero-Hopf分支点存在两个周期解的充分条件，并进一步讨论了周期解的稳定性。

关键词 :Faraday圆盘发电机，超混沌，Zero-Zero-Hopf分支，周期解，平均理论

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1996年，Hide等提出了一个self-exciting Faraday圆盘单极发电机，它是一个非线性的三维动力系统 [1]。在此基础上，逐渐发展了很多改进的模型 [2] - [10]，其中Hide和Moroz提出了一类四维的发电机，它描述了方位涡流(azimuthal eddy currents)的作用。其模型如下：

其中x和y分别表示圆盘和线圈的磁通量，z表示电动机电枢的角转速，w表示圆盘的角转速。

Moroz在文献 [11] 中已经做了一些数值分析去研究系统(1.1)的zero-zero-Hopf分支，然而并没有严格的证明。本文将给出系统存在zero-zero-Hopf分支的证明，并把相应的周期解求出来。

一个zero-Hopf或zero-zero-Hopf奇点意味着可能出现混沌。近年来，虽有一些文献研究三维混沌系统的zero-Hopf分支 [12] [13] [14]，但由于高维系统的复杂性，对四维及以上系统的zero-zero-Hopf分支的研究非常少 [15]。Cid-Montiel等在文献 [15] 中研究了一个四维超混沌的Lorenz系统的zero-Hopf分支。Chen 等在文献 [16] 中研究了一个广义Lorenz-Stenflo超混沌系统zero-zero-Hopf分支。

系统(1.1) 总有一个奇点 E 0 = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) 。当 k ( b d − c − d ) r d > 0 时，还有如下的两个奇点：

E ± = ( ± x 1 , ± x 1 , ± x 1 d , r x 1 2 k ) ,

其中 x 1 = k ( b d − c − d ) r d 。

对初始值 ( 0 , 0 , 0.2511 , 0 ) 和参数 ( a , b , c , d , k , r , μ ) = ( 16 , 60 , 15 , 0.1 , 1 , 6 , 0.5 ) ，我们计算出来Lyapunov指数是0.2927，0.1826，0，−19.0777。因此系统是超混沌的，图1显示了一个超混沌吸引因子。

图1是系统(1.1)的超混沌吸引因子，其中初始值 ( 0 , 0 , 0.2511 , 0 ) ，参数 ( a , b , c , d , k , r , μ ) = ( 16 , 60 , 15 , 0.1 , 1 , 6 , 0.5 ) 。

图1. 系统(1.1)的超混沌吸引因子

下面我们应用平均理论去研究系统(1.1)的zero-zero-Hopf分支。当 μ ≠ − a ，一些表达式过于庞大。为了表达的方便，我们令 μ = − a 。

理论1 对 c = 1 − b , d = − 1 , k = 0 , b < 0 ，原点 E 0 是系统(1.1)的一个zero-zero-Hopf奇点。在 E 0 的特征值是0，0， ± ω i ，其中 ω = − b 。

证明. 在 E 0 的特征方程是

λ 4 + ( k + 1 + d ) λ 3 + ( k + a + c + d + k d − a b − a c ) λ 2 + ( a c + a d + a k + c k + k d − a b d − a b k − a c k ) λ − k a ( k d − c − d ) = 0 (2.1)

当 c = 1 − b , d = − 1 , k = 0 , b < 0 时，(2.1)有根0，0， ± ω i ，其中 ω = − b 。

利用平均理论，我们能证明下面的定理。

理论2 令

( c , d , k ) = ( 1 − b + ε c 1 , − 1 + ε d 1 , ε k 1 ) ,   ρ = c 1 + d 1 − b d 1 , N = ρ 2 + 2 d 1 ( a + b − a b ) ρ + d 1 2 ( b − 1 ) ( b ( a − 1 ) 2 − a 2 ) ,

这里 c 1 d 1 k 1 ≠ 0 。

假设 a N ≠ 0 , k 1 ρ r > 0 , b < 0 ，那么系统(1.1)有一个zero-zero-Hopf分支。当 ε > 0 且 ε 足够小时，在 E 0 产生两个周期解。如果 d 1 > 0 , k 1 > 0 , a ρ < 0 , N > 0 ，那么这两个周期解是稳定的。

证明. 作变换

c = 1 − b + ε c 1 ,   d = − 1 + ε d 1 ,   k = ε k 1 ,

系统(1.1)变成

{ x ˙ = a ( y − x ) , y ˙ = ( b − a ) x − ( 1 − a ) y + ( b − 1 ) z − x w − c 1 z ε , z ˙ = a x + ( 1 − a ) y + z − d 1 z ε , w ˙ = r a x 2 + r ( 1 − a ) x y − k 1 w ε . (2.2)

令 ( x , y , z , w ) T = ( ε u , ε v , ε p , ε q ) T 。我们把 ( u , v , p , q ) T 又表示为 X = ( x , y , z , w ) T ，那么系统(2.2)变为

X ˙ = F 0 ( t , X ) + ε F 1 ( t , X ) = ( a ( y − x ) ( b − a ) x + ( a − 1 ) y + ( b − 1 ) z a x + ( 1 − a ) y + z 0 ) − ε ( 0 c 1 z + x w d 1 z k 1 w − r a x 2 + r ( a − 1 ) x y ) . (2.3)

下面利用平均理论来研究系统(2.2)的动力学行为。首先我们考虑下面这个未扰动系统的初值问题

X ˙ = F 0 ( t , X ) ,     X 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) . (2.4)

系统(2.4)的解是 X ( t , X 0 ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , w ( t ) ) ，其中

m = b ( 1 − a ) x 0 + a y 0 + a ( 1 − b ) z 0 b , x ( t ) = ( a b x 0 − a y 0 + a ( b − 1 ) z 0 ) cos ( ω t ) b + + ω a ( x 0 − y 0 ) sin ( ω t ) b + m ,

y ( t ) = ( b ( a − 1 ) x 0 + ( b − a ) y 0 + ( b − 1 ) a z 0 ) cos ( ω t ) b + ( ( b − a ) x 0 + ( a − 1 ) y 0 + ( b − 1 ) z 0 ) sin ( ω t ) ω + m , z ( t ) = ( b ( 1 − a ) x 0 + a y 0 + ( a + b − a b ) z 0 ) cos ( ω t ) b + ( a x 0 + ( 1 − a ) y 0 + z 0 ) sin ( ω t ) ω − m , w ( t ) = w 0 .

当 X 0 ≠ 0 时，系统(2.4)的所有解 X ( t , X 0 ) 是周期的，其中周期为 T = 2 π ω 。沿着一个周期解 X ( t , X 0 ) ，

其线性化系统 Y ˙ = D X F 0 ( t , X ( t , X 0 ) ) Y 的基解矩阵 M X 0 ( t ) 是

M X 0 ( t ) = 1 b ( a 11 a 12 a 13 0 a 21 a 22 a 23 0 a 31 a 32 a 33 0 0 0 0 b ) ,

其中

a 11 = a b cos ( ω t ) + ω a sin ( ω t ) + b ( 1 − a ) , a 12 = − a cos ( ω t ) − ω a sin ( ω t ) + a , a 13 = a ( b − 1 ) ( cos ( ω t ) − 1 ) , a 21 = ( a − 1 ) b cos ( ω t ) + ω ( a − b ) sin ( ω t ) + b ( 1 − a ) , a 22 = ( b − a ) cos ( ω t ) + ω ( 1 − a ) sin ( ω t ) + a ,

a 23 = ( b − 1 ) ( a cos ( ω t ) − ω sin ( ω t ) − a ) , a 31 = b ( 1 − a ) cos ( ω t ) − ω a sin ( ω t ) − b ( 1 − a ) , a 32 = a cos ( ω t ) − ω ( 1 − a ) sin ( ω t ) − a , a 33 = ( b + a − a b ) cos ( ω t ) − ω sin ( ω t ) + a ( b − 1 ) .

计算积分

G ( X 0 ) = 1 T ∫ 0 T M X 0 − 1 ( t ) F 1 ( t , X ( t , x 0 ) ) d t = 1 2 b 2 ( G 1 ( X 0 ) , G 2 ( X 0 ) , G 3 ( X 0 ) , G 4 ( X 0 ) ) ,

其中

G 1 ( X 0 ) = 2 a b ( 2 a − 1 ) x 0 w 0 − a 2 ( b + 3 ) y 0 w 0 − 3 a 2 ( 1 − b ) z 0 w 0 − ( ( 4 a − 3 ) ρ + a d 1 ( b − 1 ) ) a b x 0         + ( 3 a ρ + b c 1 ( a − 1 ) ) a y 0 − a ( ( 3 a b − 3 a − b ) ρ + c 1 b ) z 0 , G 2 ( X 0 ) = a b ( 4 a − b − 3 ) x 0 w 0 − a ( a b + 3 a − 2 b ) y 0 w 0 + a ( b − 1 ) ( 3 a − b ) z 0 w 0         − b ( a ( 3 a − 4 ) ρ + c 1 ( a 2 − a b + b ) ) x 0 + ( ( 3 a 2 − a b + b ) ρ + a b c 1 ( a − 2 ) ) y 0         + ( b − 1 ) ( ( a b − 3 a 2 − b ) ρ + b d 1 ( a b − 2 a − b ) ) z 0 ,

G 3 ( X 0 ) = a b ( 3 − 4 a ) x 0 w 0 + a ( a b + 3 a − b ) y 0 w 0 − 3 a 2 ( b − 1 ) z 0 w 0         + ( 4 a b ρ ( a − 1 ) + b d 1 ( a 2 b − a 2 − b ) ) x 0 − ( ( a − 1 ) 2 b c 1 + 3 a 2 ρ + b d 1 ) y 0         − ( ( b − 3 a 2 b + 3 a 2 ) ρ − 2 b d 1 ( a b − a − b ) ) z 0 , G 4 ( X 0 ) = b r ( 3 a 2 b − a 2 − 4 a b + 2 b ) x 0 2 − a 2 r ( b − 3 ) y 0 2 + 3 a 2 r ( b − 1 ) 2 z 0 2 − 4 a b r ( a − 1 ) x 0 y 0         + 2 a b r ( b − 1 ) ( 3 a − 2 ) x 0 z 0 − 6 a 2 r ( b − 1 ) y 0 z 0 − 2 k 1 b 2 w 0

解方程 G ( X 0 ) = 0 ，我们得到下面的解

S 0 = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) , S 1 = ( k 1 ρ r , k 1 ρ r , − k 1 ρ r , ρ ) , S 2 = ( − k 1 ρ r , − k 1 ρ r , k 1 ρ r , ρ ) .

S 0 对应奇点 E 0 = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) 。对其他两个解 S 1 和 S 2 ，我们有

G ( S 1 ) = G ( S 2 ) = 0 ,

det ( ( ∂ G / ∂ X 0 ) ( S 1 ) ) = det ( ( ∂ G / ∂ X 0 ) ( S 2 ) ) = − a k 1 ρ N 2 b 2 .

因此根据平均理论，系统(2.3)存在的两个周期为T的解 X 1 ( t , ε ) 和 X 2 ( t , ε ) ，当时，有 X 1 ( t , ε ) → S 1 和 X 2 ( t , ε ) → S 2 。考虑到系统(2.2)和(2.3)的关系，系统(2.3)的两个周期解分别对应系统(2.2)的两个周期解 ε X 1 ( t , ε ) 和 ε X 2 ( t , ε ) 。

最后，我们计算Jacobian矩阵 ( ∂ G / ∂ X 0 ) ( S 1 ) 和 ( ∂ G / ∂ X 0 ) ( S 2 ) 的特征值来判断两个周期解的稳定性。对这两个矩阵而言，特征多项式是相同的，如下

( b λ 2 + k 1 b λ + 2 a k 1 ρ ) ( 4 b λ 2 + 4 b d 1 λ − N ) = 0. (2.5)

当 d 1 > 0 , k 1 > 0 , a ρ < 0 , N > 0 时，方程(2.5)的根都有负实部，这意味着在 E 0 产生的两个周期解 X 1 ( t , ε ) 和 X 2 ( t , ε ) 是稳定的。

通过选取适当的参数，我们计算发现系统有两个正的Lyapunov指数，是一个超混沌的系统。不同于前人的数值工作，本文对系统存在zero-zero-Hopf分支给出了严格的证明，并给出了周期解的表达式，以及周期解稳定的条件。

余环宇. 一类超混沌的Faraday圆盘发电机的Zero-Zero-Hopf分支Zero-Zero-Hopf Bifurcation of a Hyperchaotic Faraday Disk Dynamo[J]. 理论数学, 2020, 10(05): 518-523. https://doi.org/10.12677/PM.2020.105063