H-张量在科学和工程实际中具有重要应用,但在实际中要判定H-张量是比较困难的。通过构造不同的正对角阵,结合不等式的放缩技巧,给出了一些比较实用的新判别条件。作为应用,给出了判定偶数阶实对称张量正定性的条件,相应数值算例说明了新结果的有效性。 H-tensors have wide applications in science and engineering, but it is difficult to determine whether a given tensor is an H-tensor or not in practice. In this paper, we give some practical conditions for H-tensors by constructing different positive diagonal matrices and applying some techniques of inequalities. As an application, some sufficient conditions of the positive definiteness for an even-order real symmetric tensor are given. Advantages of results obtained are illustrated by numerical examples.
柏冬健*,徐玉梅,吴念
贵州民族大学数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳
收稿日期:2020年5月1日;录用日期:2020年5月14日;发布日期:2020年5月21日
H -张量在科学和工程实际中具有重要应用,但在实际中要判定 H -张量是比较困难的。通过构造不同的正对角阵,结合不等式的放缩技巧,给出了一些比较实用的新判别条件。作为应用,给出了判定偶数阶实对称张量正定性的条件,相应数值算例说明了新结果的有效性。
关键词 : H -张量,实对称张量,不可约,非零元素链,正定性
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
张量是矩阵的高阶推广,广泛出现在图像处理、自动控制、医疗成像、超图论、高阶统计、弹性材料研究和数据分析等学科和工程中。近年来,很多专家和学者都对其进行了广泛探讨 [
记 ℂ ( ℝ ) 为复(实)数域, [ n ] : = { 1 , 2 , ⋯ , n } 。一个复(实)m阶n维张量 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 由 n m 个复(实)元素构成 [
a i 1 i 2 ⋯ i m ∈ ℂ ( ℝ ) , i j ∈ [ n ] , j ∈ [ m ] .
显然,2阶张量即为矩阵。此外,张量
a i 1 i 2 ⋯ i m = a π ( i 1 i 2 ⋯ i m ) , ∀ π ∈ Π m ,
其中 Π m 为m个指标的置换群。若 a i 1 i 2 ⋯ i m ≥ 0 ,那么称张量 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 为非负张量。
定义2.1 [
δ i 1 i 2 ⋯ i m = { 1 , i 1 = i 2 = ⋯ = i m 0 , 其 它
定义2.2 [
A x m − 1 = λ x [ m − 1 ] ,
那么称
( A x m − 1 ) i = ∑ i 2 , ⋯ , i m ∈ [ n ] a i i 2 ⋯ i m x i 2 ⋯ x i n , ( x [ m − 1 ] ) i = x i m − 1 .
记m阶n次齐次多项式 f ( x ) 为
f ( x ) = ∑ i 1 , ⋯ , i m ∈ [ n ] a i 1 i 2 ⋯ i m x i 1 ⋯ x i m , (1)
其中 x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∈ ℝ n 。当m为偶数时, f ( x ) 是正定的,若
式(1)中的齐次多项式 f ( x ) 可以表示为m阶n维对称张量 A 与 x m 的乘积 [
f ( x ) = A x m = ∑ i 1 , ⋯ , i m ∈ [ n ] a i 1 i 2 ⋯ i m x i 1 ⋯ x i m , (2)
当 f ( x ) 是正定时,对称张量 A 也是正定的。
定义2.3 [
则称 A 是对角占优张量。若对于任意的 i ∈ [ n ] ,
| a i i ⋯ i | > ∑ i 2 , ⋯ , i m ∈ [ n ] δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | , (4)
则称 A 是严格对角占优张量。
定义2.4 [
B = ( b i 1 ⋯ i m ) = A X m − 1 , b i 1 i 2 ⋯ i m = a i 1 i 2 ⋯ i m x i 2 x i 3 ⋯ x i m , i j ∈ [ n ] , j ∈ [ m ] .
假设 Λ 表示 [ n ] 的任意非空子集,令
Λ m − 1 : = { i 2 i 3 ⋯ i m : i j ∈ Λ , j = 2 , 3 , ⋯ , m } ,
[ n ] \ Λ m − 1 : = { i 2 i 3 ⋯ i m : i 2 i 3 ⋯ i m ∈ [ n ] m − 1 且 i 2 i 3 ⋯ i m ∉ Λ m − 1 } .
给定一个m阶n维张量 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) ,令
R i ( A ) = ∑ i 2 , ⋯ , i m ∈ [ n ] δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | = ∑ i 2 , ⋯ , i m ∈ [ n ] | a i i 2 ⋯ i m | − | a i i ⋯ i | ,
Λ 1 : = { i ∈ [ n ] : 0 < | a i i ⋯ i | = R i ( A ) } , Λ 2 = { i ∈ [ n ] : 0 < | a i i ⋯ i | < R i ( A ) } ,
Λ 3 = { i ∈ [ n ] : | a i i ⋯ i | > R i ( A ) } , Λ 0 m − 1 = Λ m − 1 \ ( Λ 2 m − 1 ∪ Λ 3 m − 1 ) .
引理2.1 [
引理2.2 [
| a i i ⋯ i | ≥ R i ( A ) , ∀ i ∈ [ n ] ,
且至少有一个i使得严格不等式成立,则 A 为 H -张量。
引理2.3 [
引理2.4 [
(i)
(ii) Λ 3 = { i ∈ [ n ] : | a i i ⋯ i | > R i ( A ) } ≠ ∅ ,
(iii)
则 A 为 H -张量。
为了叙述方便,引入以下符号:对 ∀ i ∈ Λ 2 ,记
α i = ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | , β i = ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ,
x i = { | a i i ⋯ i | − α i β i , | a i i ⋯ i | > α i , | a i i ⋯ i | − β i α i , | a i i ⋯ i | > β i , | a i i ⋯ i | R i ( A ) , | a i i ⋯ i | ≤ min { α i , β i } . δ = max i ∈ Λ 2 ( x i )
再记
r = max i ∈ Λ 3 ( δ ( ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) | a i i ⋯ i | − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) ,
P i , r ( A ) = δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + r ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ( i ∈ Λ 3 ) ,
h = max i ∈ Λ 3 ( δ ( ∑ i 2 , i 3 , ⋯ , i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) P i , r ( A ) − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ) .
易知 0 ≤ r < 1 ,且对任意的 i ∈ Λ 3 ,
r | a i i ⋯ i | ≥ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + r ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | = P i , r ( A ) ,
从而有 0 ≤ P i , r ( A ) | a i i ⋯ i | ≤ r < 1 , ∀ i ∈ Λ 3 。注意到
δ ( ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) P i , r ( A ) − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | = P i , r ( A ) − r ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | P i , r ( A ) − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ≤ 1.
故 0 ≤ h ≤ 1 ,进而由h的定义可知,对于任意 i ∈ Λ 3 ,有
h P i , r ( A ) ≥ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | . (5)
定理3.1:设 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 为m阶n维张量。若对任意的 i ∈ Λ 2 , A 满足
| a i i ⋯ i | x i > δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | , (6)
且对 ∀ i ∈ Λ 1 ,存在 i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 ,使得
证明:由(6)式知,对对任意的 i ∈ Λ 2 ,
令
T i ≡ | a i i ⋯ i | x i − δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | . (7)
当 ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | = 0 时,记 T i = + ∞ 。由(7)式知 T i > 0 ( ∀ i ∈ Λ 2 ) ,且
0 ≤ h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | < 1 ( ∀ j ∈ Λ 3 ) ,
从而必有充分小的正数 ε ,使 0 < ε < min i ∈ Λ 2 T i ≤ + ∞ ,且 max j ∈ Λ 3 { h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | + ε } < 1 。
构造正对角矩阵 D = d i a g ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) ,记
d i = { ( δ ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 1 , ( x i ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 2 , ( h P i , r ( A ) | a i i ⋯ i | + ε ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 3 .
(a) 对 ∀ i ∈ Λ 1 ,存在 i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 ,使得 a i i 2 ⋯ i m ≠ 0 ,且对任意 j ∈ Λ 3 ,总可以取到充分小的正数
R i ( B ) ≤ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ( ε + max j ∈ { i 2 i 3 ⋯ i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | ) < δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 , ⋯ , i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 , ⋯ , i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) = δ R i ( A ) = | a i i ⋯ i | δ = | b i i ⋯ i | .
(b) 对 ∀ i ∈ Λ 2 ,由 (7)式知
R i ( B ) ≤ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ( ε + max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | ) = ε ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + h ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | < T i ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + μ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + h ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | = | a i i ⋯ i | x i = | b i i ⋯ i | .
(c) 对 ∀ i ∈ Λ 3 ,由(5)式知
R i ( B ) ≤ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ( ε + max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | ) = ε ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | + δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + h ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ≤ ε ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | + h P i , r ( A ) < ε | a i i ⋯ i | + h P i , r ( A ) = | b i i ⋯ i | .
综上所述,
定理3.2:设 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 为m阶n维张量, A 不可约,若对任意的 i ∈ Λ 2 ,
| a i i ⋯ i | x i ≥ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | , (8)
且(8)中至少有一个严格不等式成立,则 A 是 H -张量。
证明:类似定理3.1的证明方法。由于 A 是不可约的,则
δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) ≠ 0 , ∀ i ∈ Λ 3 .
构造正对角矩阵 D = d i a g ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) ,其中
d i = { ( δ ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 1 , ( x i ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 2 , ( h P i , r ( A ) | a i i ⋯ i | + ε ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 3 .
令
定理3.3:设 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 为m阶n维张量。若对任意的 i ∈ Λ 2 ,
| a i i ⋯ i | x i ≥ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ,
K ( A ) = [ i ∈ Λ 2 : | a i i ⋯ i | x i > δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 , i 3 , ⋯ , i m } h P j , r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ] ≠ ∅ ,
且对 ∀ i ∈ [ n ] \ K ,存在从i到j的非零元素链使得
证明:构造正对角矩阵 D = d i a g ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) ,记
d i = { ( δ ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 1 , ( x i ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 2 , ( h P i , r ( A ) | a i i ⋯ i | ) 1 m − 1 , i ∈ Λ 3 .
类似于的定理3.1的证明,可得 | b i i ⋯ i | ≥ R i ( B ) ( ∀ i ∈ [ n ] ) ,至少存在一个 i ∈ Λ 2 ,使得 | b i i ⋯ i | > R i ( B ) 。另外,如果 | b i i ⋯ i | = R i ( B ) ,那么 i ∈ [ n ] \ K 。假设 A 中存在一个从i到j非零元素链使得 k ∈ K ,那么
例3.1:给定
A ( 1 , : , : ) = ( 12 1 0 1 6 0 1 0 12 ) , A ( 2 , : , : ) = ( 1 0 0 0 10 2 0 2 2 ) , A ( 3 , : , : ) = ( 0 0 0 1 1 0 0 0 8 ) .
由张量 A 的元素得到
| a 111 | = 12 , R 1 = 21 , | a 222 | = 10 , R 2 = 7 , | a 333 | = 8 , R 3 = 2 ,
所以 Λ 1 = ∅ , Λ 2 = { 1 } , Λ 3 = { 2 , 3 } 。计算得
α 1 = 3 + 0 = 3 , β 1 = 12 + 6 = 18 ,
x 1 = 12 − 3 18 = 1 2 , δ = 1 2 , r i = 2 = 1 2 ( 0 + 1 ) 10 − 6 = 1 8 , r i = 3 = 1 2 ( 1 + 0 ) 8 − 1 = 1 14 ,
P 2 , r ( A ) = 1 2 ( 0 + 1 ) + 1 8 × 6 = 5 4 , P 3 , r ( A ) = 1 2 ( 1 + 0 ) + 1 8 × 1 = 5 8 ,
P 2 , r ( A ) | a 222 | = 5 4 10 = 1 8 , P 3 , r ( A ) | a 333 | = 5 8 8 = 5 64 , h i = 2 = 1 2 ( 0 + 1 ) 5 4 − 1 8 × 6 = 1 , h i = 3 = 1 2 ( 1 + 0 ) 5 8 − 1 8 × 1 = 1.
当 i = 1 时,有
δ ( ∑ k l ∈ Λ 0 2 | a 1 k l | + ∑ k l ∈ Λ 2 2 δ 1 k l = 0 | a 1 k l | ) + h ∑ k l ∈ Λ 3 2 max j ∈ { k , l } P j , r ( A ) | a j j j | | a 1 k l | = 1 2 ( 3 + 0 ) + 1 × 1 8 × ( 12 + 6 ) = 15 4 < 6 = 12 × 1 2 = | a 111 | x 1 .
所以张量 A 满足本文定理3.1的条件,故 A 是 H -张量。但
∑ k l ∈ [ n ] 2 \ Λ 3 2 δ 1 k l = 0 | a 1 k l | + ∑ k l ∈ Λ 3 2 max j ∈ { k , l } R j ( A ) | a j j ⋯ j | | a 1 k l | = 3 + 7 10 × ( 12 + 6 ) = 78 5 > 12 = | a 111 | .
因此,
在这一节中,基于 H -张量的准则,我们提出了偶数阶实对称张量正定的一些新条件(多元形式的正定)。首先,我们给出以下引理:
引理4.1 [
如果 A 是 H -张量,则 A 是正定的。
根据引理4.1,定理3.1~3.3,得到以下结果:
定理4.1:设m阶n维张量 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 为偶数阶实对称张量,对任意的 i ∈ [ n ] 都满足 a i i ⋯ i > 0 。
如果 A 满足下列条件之一:
i) 定理3.1的所有条件;
ii) 定理3.2的所有条件;
iii) 定理3.3的所有条件;
则 A 是正定的。
例4.1:设四次齐次多项式
f ( x ) = A x 4 = 15 x 1 4 + 23 x 2 4 + 26 x 3 4 + 18 x 4 4 + 12 x 1 2 x 2 x 3 − 12 x 2 x 3 2 x 4 − 24 x 1 x 2 x 3 x 4 ,
其中 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 是一个4阶4维的实对称张量,且
a 1111 = 15 , a 2222 = 23 , a 3333 = 26 , a 4444 = 18 ,
a 2113 = a 2131 = a 2311 = a 3112 = a 3121 = a 3211 = 1 ,
a 2334 = a 2343 = a 2433 = a 4233 = a 4323 = a 4332 = − 1 ,
a 3234 = a 3243 = a 3324 = a 3342 = a 3423 = a 3432 = − 1 ,
a 2134 = a 2143 = a 2314 = a 2341 = a 2413 = a 2431 = − 1 ,
a 3124 = a 3142 = a 3214 = a 3241 = a 3412 = a 3421 = − 1 ,
a 4123 = a 4132 = a 4213 = a 4231 = a 4312 = a 4321 = − 1 ,
其余的 a i 1 i 2 i 3 i 4 = 0 。计算得
a 1111 = 15 < 18 = R 1 ( A ) ,
a 4444 ( a 1111 − R 1 ( A ) + | a 1444 | ) = − 54 < 0 = R 4 ( A ) | a 1444 | .
因此, A 既不是严格对角占优张量也不是拟双严格对角占优张量,所以不能用 [
所以 Λ 1 = ∅ , Λ 2 = { 1 } , Λ 3 = { 2 , 3 , 4 } 。计算得
α 1 = 6 + 0 = 6 , β 1 = 6 , x 1 = 10 − 6 6 = 2 3 , δ = 2 3 ,
r i = 2 = 2 3 ( 9 + 0 ) 23 − 3 = 3 10 , r i = 3 = 2 3 ( 9 + 0 ) 26 − 6 = 3 10 , r i = 4 = 2 3 ( 6 + 0 ) 18 − 3 = 4 15 , r = 3 10 ,
P 2 , r ( A ) = 2 3 ( 9 + 0 ) + 3 10 × 3 = 69 10 , P 3 , r ( A ) = 2 3 ( 9 + 0 ) + 3 10 × 6 = 39 5 ,
P 4 , r ( A ) = 2 3 ( 6 + 0 ) + 3 10 × 3 = 49 10 , P 2 , r ( A ) | a 2222 | = 69 10 23 = 3 10 ,
P 3 , r ( A ) | a 3333 | = 39 5 26 = 3 10 , P 4 , r ( A ) | a 4444 | = 49 10 18 = 49 180 ,
h i = 2 = 2 3 ( 9 + 0 ) 69 10 − 3 10 × 3 = 1 , h i = 3 = 2 3 ( 9 + 0 ) 39 5 − 3 10 × 6 = 1 , h i = 4 = 2 3 ( 6 + 0 ) 49 10 − 3 10 × 3 = 1.
所以可得,当 i = 1 时,
δ ( ∑ j k o ∈ Λ 0 3 | a 1 j k o | + ∑ j k o ∈ Λ 2 3 δ 1 j k o = 0 | a 1 j k o | ) + h ∑ j k o ∈ Λ 3 3 max l ∈ { j , k , o } P l , r ( A ) | a l l l l | | a 1 j k o | = 2 3 ( 6 + 0 ) + 1 × 3 10 × 6 = 29 5 < 20 3 = 10 × 2 3 = | a 1111 | x 1 .
根据定理4.1,张量 A 是正定的,即 f ( x ) 是正定的。
本文讨论了 H -张量的判定问题,得到了几个新的判定不等式,并给出了其在偶数阶实对称张量,即偶次齐次多项式正定性判定中的应用。数值算例表明了本文所得结论的有效性。
感谢审稿老师和编辑老师提出了宝贵意见。
贵州省科学技术基金(20181079, 20191161),贵州民族大学自然科学基金(GZMU[
柏冬健,徐玉梅,吴 念. H-张量的新判定及其应用New Criteria for H-Tensors and Its Application[J]. 应用数学进展, 2020, 09(05): 742-751. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.95088