本文利用Littlewood-Paley分解和交换子估计,建立了无粘准地转方程在Besov-Herz空间上的局部适定性,推广了和的结果。 In this paper, using the Littlewood-Paley decomposition and commutator estimates, we establish the local well-posedness for the quasi-geostrophic equation without viscosity in Besov-Herz spaces, which improves the results in and.
徐艳霞,陈晓莉*
江西师范大学数学与信息科学学院,江西 南昌
收稿日期:2020年4月22日;录用日期:2020年5月14日;发布日期:2020年5月25日
本文利用Littlewood-Paley分解和交换子估计,建立了无粘准地转方程在Besov-Herz空间上的局部适定性,推广了 [
关键词 :局部适定性,Besov-Herz空间,准地转方程
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本文研究带有非线性项的热方程
{ ∂ t θ − κ Δ θ = − u ⋅ ∇ θ , ( x , t ) ∈ ℝ 2 × [ 0 , T ) , div u = 0 , θ ( 0 , x ) = θ 0 ( x ) , x ∈ ℝ 2 , (1.1)
即标准的准地转(quasi-geostrophic)方程,其中 κ > 0 是粘性系数, θ ( t , x ) 是关于t和x的实值函数。函数 θ 表示位势温度,流速u与流函数 Ψ 和 θ 的关系如下
u = ( − ∂ x 2 Ψ , ∂ x 1 Ψ ) , ( − Δ ) 1 2 Ψ = − θ . (1.2)
分数阶Laplace ( − Δ ) − α 按Fourier定义为 ( − Δ ) α f ^ ( ξ ) = | ξ | 2 α f ^ ( ξ ) ,这里 f ^ ( ξ ) 表示f的Fourier变换。
关于第j个分量的Riesz变换 R j ,其Fourier变换 R j f ^ ( ξ ) = − i ξ j | ξ | f ^ ( ξ ) , j = 1 , ⋯ , N ,其中N表示空间维数。
因此利用Riesz变换的定义,可将(1.2)式改写成
u = ( ∂ x 2 ( − Δ ) − 1 2 θ , ∂ x 1 ( − Δ ) − 1 2 θ ) = ( − R 2 θ , R 1 θ ) .
除了本身有地球流体力学的相关背景外,二维准地转方程可以看成是三维Navier-Stokes方程在二维空间的模型。Constantin,Majda和Tabak在文献 [
为了得到一类Lipschitz函数做Fourier变换后的像函数的Bernsttein型定理,Herz在 [
定义1.1 [
A − 1 = B ( 0 , 1 2 ) , A k = { x ∈ R N : 2 k − 1 ≤ | x | < 2 k } , k ≥ 0 ,
其中 B ( x 0 , r ) = { x ∈ ℝ N : | x − x 0 | < r } 。设 1 ≤ p , q ≤ ∞ , α ∈ ℝ 。Herz空间 K p , q α = K p , q α ( ℝ N ) 定义为
K p , q α : = { ( ∑ k ≥ − 1 2 k α q ‖ f ‖ L p ( A k ) q ) 1 q , q < ∞ , sup k ≥ − 1 2 k α ‖ f ‖ L p ( A k ) , q = ∞ 1 q .
定义1.2 [
B K p , q , r α , s = { f ∈ S ′ ( ℝ n ) : ‖ f ‖ B K p , q , r α , s < ∞ } ,
其中
‖ f ‖ B K p , q , r α , s : = { ( ∑ j ≥ − 1 2 j s r ‖ Δ j f ‖ K p , q α r ) 1 r , 若 r < ∞ , sup j ≥ − 1 2 j s ‖ Δ j f ‖ K p , q α , 若 r = ∞ .
根据Besov-Herz空间的定义可知对任意
这一节的主要目的是在Besov-Herz空间建立无粘准地转方程(1.1)的局部适定性。下面给出当 κ = 0 时准地转方程的局部适定性结果。
定理1 假设 κ = 0 , 1 ≤ p < ∞ , 1 ≤ r , q ≤ ∞ , s ≥ 2 p + 1 , 0 ≤ α < 2 ( 1 − 1 p ) 。若 θ 0 ∈ B K p , q , r α , s ,则存在时间 T = T ( ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s ) 使得方程(1.1)有一个唯一的解 θ ∈ C ( [ 0 , T ) ; B K p , q , r α , s ) 。
注 由于 K p , p 0 ( ℝ n ) = L p ( ℝ n ) ,空间 B K p , q , r α , s ( ℝ N ) 包含经典的Besov空间。因此定理改进了文 [
首先给出Fourier变换和Fourier逆变换的定义。设 f ∈ S ′ ( ℝ N ) ,其Fourier变换为
f ^ ( ξ ) = F f ( ξ ) = ∫ ℝ N e − i x ⋅ ξ f ( x ) d x .
f ∈ S ′ ( ℝ N ) ,其Fourier逆变换为
f ⌣ ( x ) = F − 1 f ( x ) = ( 2 π ) − N 2 ∫ ℝ N e i x ⋅ ξ f ( ξ ) d ξ .
下面回顾一下Littlewood-Paley分解。假设 φ ∈ S ( ℝ N ) 满足
0 ≤ φ ≤ 1 , supp ( φ ) ⊂ { ξ ∈ ℝ N : 3 4 ≤ | ξ | ≤ 8 3 } 且当 ξ ≠ 0 时 ∑ j ∈ ℤ φ ( 2 − j ξ ) = 1.
记
φ j ( ξ ) = φ ( 2 − j ξ ) , ψ j ( ξ ) = ∑ k ≤ j − 1 φ k ( ξ ) , ψ j ( ξ ) = ∑ k ≤ j − 1 φ k ( ξ ) ,
h ( x ) = F − 1 φ ( x ) , g ( x ) = F − 1 ψ 0 ( x ) .
下面给出几个频率局部化算子
Δ ˙ j f = φ j ( D ) f = 2 N j ∫ h ( 2 j y ) f ( x − y ) d y
和
S ˙ j f = ∑ k ≤ j − 1 Δ ˙ k f = ψ j ( D ) f = 2 N j ∫ ℝ d g ( 2 j y ) f ( x − y ) d y .
根据定义,可推得
Δ ˙ j Δ ˙ k f = 0 , 若 | j − k | ≥ 2 ,
Δ ˙ j ( S ˙ k − 1 f Δ ˙ k f ) = 0 , 若 | j − k | ≥ 5.
下面给出Bony仿积分解的定义
u v = T ˙ u v + T ˙ v u + R ( u , v ) ,
其中
T ˙ u v = ∑ j ∈ ℤ S ˙ j − 1 u Δ ˙ j v , R ˙ ( u , v ) = ∑ j ∈ ℤ Δ ˙ j u Δ ˙ ˜ j v , Δ ˙ ˜ j v = ∑ | j ′ − j | ≤ 1 Δ ˙ j ′ v .
引理2.1 设 1 ≤ p < ∞ ,则有 L p ( ℝ N ) ⊂ K p , ∞ 0 ( ℝ N ) 。
下面几个引理在定理的证明过程中起到关键的作用(见 [
引理2.2 [
紧支集的函数f满足
| T f ( x ) | ≤ C ∫ R n | f ( y ) | | x − y | n d y , x ∈ supp f .
则算子T一定在Herz空间 K p , q α ( ℝ N ) 上有界。
显然算子T包含Hardy-Littlewood极大函数M和Riesz变换 R j , j = 1 , ⋯ , N 。
引理2.3 [
函数 Ψ 是可积的,即
Ψ ( x ) = sup | y | ≥ | x | | φ ( y ) | 且 ∫ ℝ d Ψ ( x ) d x = A < ∞ .
则对任意 f ∈ L p ( ℝ N ) , 1 ≤ p ≤ ∞ ,存在常数 C > 0 使得
其中M为Hardy-Littlewood极大函数。
证明定理1.1之前,先给出几个重要引理的证明。
引理3.1 设 1 ≤ p < ∞ , 1 ≤ r , q ≤ ∞ , α ≥ 0 以及f是一螺线向量场. 则当 s ≥ 0 时,有
‖ 2 k s ‖ [ f , Δ k ] ⋅ ∇ g ‖ K p , q α ( A k ) ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ g ‖ B K p , q , r α , s + ‖ ∇ g ‖ ∞ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s . (3.1)
证明 根据Einstein关于哑指标 i ∈ [ 1 , N ] 求和的习惯以及Bony仿积分解可得
[ f , Δ k ] ⋅ ∇ g = [ f i , Δ k ] ∂ i g = f i Δ k ∂ i g − Δ k ( f i ∂ i g ) = [ T f i , Δ k ] ∂ i g + T ′ Δ k ∂ i g f i − Δ k ( T ∂ i g f i ) − Δ k ( R ( f i , ∂ i g ) ) : = I + I I + I I I + I V ,
其中 T ′ u v 表示 T u v + R ( u , v ) 。结合支集条件,分部积分和散度条件 div f = 0 ,可得
| I | = | ∑ | k ′ − k | ≤ 4 [ S k ′ − 1 f i , Δ k ] ∂ i Δ k ′ g | = | ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∫ ℝ d ( S k ′ − 1 f i ( x ) − S k ′ − 1 f i ( y ) ) 2 N k h ( 2 k ( x − y ) ) ∂ i Δ k ′ g ( y ) d y | = | ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∫ ℝ d ( S k ′ − 1 f i ( x ) − S k ′ − 1 f i ( y ) ) 2 k ( N + 1 ) ( ∂ i ) h ( 2 k ( x − y ) ) Δ k ′ g ( y ) d y | ≤ C ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ ∇ S k ′ − 1 f ‖ ∞ ∫ ℝ d 2 k | x − y | 2 N k | ∇ h ( 2 k ( x − y ) ) Δ k ′ g ( y ) | d y . (3.2)
注意到 h ( x ) ∈ S ( ℝ d ) ,容易验证 | x ∇ h ( x ) | 满足引理2.3的条件,因此
| I | ≤ C ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ ∇ S k ′ − 1 f ‖ ∞ M ( | Δ k ′ g ( ⋅ ) | ) ( x ) . (3.3)
在(3.3)式两边取 K p , q α 范数并用引理2.2可得
在(3.4)式两边同时乘以 2 k s ,然后取 l r ( k ≥ − 1 ) 范数可得
‖ 2 k s ‖ I ‖ K p , q α ‖ l r ( k ≥ − 1 ) ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 2 ( k − k ′ ) s 2 k ′ s ‖ Δ k ′ g ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 k ′ s ‖ Δ k ′ g ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 k s ‖ Δ k g ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ g ‖ B K p , q , r α , s . (3.5)
下面估计II项。根据II的定义有
| I I | = | ∑ k ′ ≥ k − 2 S k ′ + 2 ∂ i Δ k g Δ k ′ f i ( x ) | ≤ ∑ k ′ ≥ k − 2 ‖ ∇ Δ k g ‖ ∞ | Δ k ′ f ( x ) | . (3.6)
当 s > 0 时,利用离散形式的卷积不等式可得
‖ 2 k s ‖ I I ‖ K p , q α ‖ l r ( k ≥ − 1 ) ≲ ‖ ∇ g ‖ ∞ ‖ ∑ k ′ ≥ k − 2 2 ( k − k ′ ) s 2 k ′ s ‖ Δ k ′ f ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ g ‖ ∞ ‖ 2 − k s χ { k ≥ − 2 } ‖ l 1 ‖ 2 k ′ s ‖ Δ k ′ f ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 k s ‖ Δ k g ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ g ‖ ∞ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s . (3.7)
对于III项,
‖ I I I ‖ K p , q α = ‖ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 Δ k ( S k ′ − 1 ∂ i g Δ k ′ f i ) ( x ) ‖ K p , q α ≲ ‖ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 M ( S k ′ − 1 ∂ i g Δ k ′ f i ) ‖ K p , q α ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ M ( | Δ k ′ f | ) ‖ K p , q α ‖ S k ′ − 1 ∇ g ‖ ∞ ≲ ‖ ∇ g ‖ ∞ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ Δ k ′ f ‖ K p , q α . (3.8)
因此类似于(3.5)可得
利用
| I V | = | ∑ k ′ ≥ k − 3 Δ k ( Δ k ′ f i ∂ i Δ ˜ k ′ g ) | = | ∑ k ′ ≥ k − 3 ∫ ℝ d 2 k d h ( 2 k ( x − y ) ) Δ k ′ f i ( y ) ∂ i Δ ˜ k ′ g ( y ) d y | = | ∑ k ′ ≥ k − 3 ∫ ℝ d 2 k d + k ( ∂ i h ) ( 2 k ( x − y ) ) Δ k ′ f i ( y ) ∂ i Δ ˜ k ′ g ( y ) d y | ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k M ( Δ k ′ f Δ ˜ k ′ g ) ( x ) ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k M ( Δ ˜ k ′ g ) ( x ) ‖ Δ k ′ f ‖ ∞ ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k M ( Δ ˜ k ′ g ) ( x ) 2 − k ′ ‖ ∇ Δ k ′ f ‖ ∞ ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k − k ′ M ( Δ ˜ k ′ g ) ( x ) , (3.10)
利用离散形式的卷积不等式和引理2.2,可得当 s + 1 > 0 时有
‖ 2 k s ‖ I V ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k − k ′ 2 k s ‖ M ( Δ ˜ k ′ g ) ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 k − k ′ 2 k s 2 − k ′ s 2 k ′ s ‖ M ( Δ ˜ k ′ g ) ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 ( k − k ′ ) ( s + 1 ) 2 k ′ s ‖ Δ k g ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ g ‖ B K p , q , r α , s . (3.11)
结合不等式(3.5)、(3.7)、(3.9)和(3.11)可得不等式(3.1)。
引理3.2 设 1 ≤ p < ∞ , 1 ≤ r , q ≤ ∞ , α ≥ 0 以及f是一螺线向量场。设 s ≥ n p + 1 且当 s = n p + 1 时 r=1 ,则
存在常数 C > 0 使得
‖ 2 k s ‖ [ f , Δ k ] ⋅ ∇ g ‖ K p , q α ( A k ) ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s ‖ g ‖ B K p , q , r α , s , (3.12)
‖ 2 k s ‖ [ f , Δ k ] ⋅ ∇ g ‖ K p , q α ( A k ) ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s ‖ g ‖ B K p , q , r α , s , (3.13)
‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ [ f , Δ k ] ⋅ ∇ g ‖ K p , q α ( A k ) ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s ‖ g ‖ B K p , q , r α , s − 1 . (3.14)
当 r = ∞ 时,按通常的定义做相应的改动即可。
证明 根据Ein stein关于哑指标 i ∈ [ 1 , N ] 求和的习惯以及Bony仿积分解可得
[ f , Δ k ] ⋅ ∇ g = [ f i , Δ k ] ∂ i g = f i Δ k ∂ i g − Δ k ( f i ∂ i g ) = [ T f i , Δ k ] ∂ i g + T ′ Δ k ∂ i g f i − Δ k ( T ∂ i g f i ) − Δ k ( R ( f i , ∂ i g ) ) : = I + I I + I I I + I V ,
类似引理3.1中的(3.3)可得
| I | ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ ∇ S k ′ − 1 f ‖ ∞ M ( | Δ k ′ g ( ⋅ ) | ) ( x ) ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∑ m ≤ k ′ − 2 ‖ ∇ Δ m f ‖ ∞ M ( | Δ k ′ g ( ⋅ ) | ) ( x ) , (3.15)
取 K p , q α 范数得
‖ I ‖ K p , q α ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∑ m ≤ k ′ − 2 ‖ ∇ Δ m f ‖ ∞ ‖ M ( | Δ k ′ g | ) ‖ K p , q α ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∑ m ≤ k ′ − 2 ‖ ∇ Δ m f ‖ ∞ ‖ Δ k ′ g ‖ K p , q α . (3.16)
对任意 ρ ,按照文献 [
‖ 2 k ρ ‖ I ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s ‖ g ‖ B K p , q , r α , ρ . (3.17)
当 r = ∞ 时,做相应的改动即可。特别地,在(3.17)中取 ρ = s 和 ρ = s − 1 可得,对I可得
‖ 2 k s ‖ I ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s ‖ g ‖ B K p , q , r α , s , (3.18)
‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ I ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s ‖ g ‖ B K p , q , r α , s − 1 . (3.19)
利用(3.3)和(3.16),按照文献 [
‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ I ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s − 1 ‖ g ‖ B K p , q , r α , s . (3.20)
下面,对II利用(3.6)和文献 [
‖ 2 k s ‖ I I ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s ‖ g ‖ B K p , q , r α , ρ , (3.21)
‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ I I ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s ‖ g ‖ B K p , q , r α , s − 1 . (3.22)
此外,类似(3.20)可得
‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ I I ‖ K p , q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p , q , r α , s − 1 ‖ g ‖ B K p , q , r α , s . (3.23)
按照(3.17)的方法,对III,(3.12)~(3.14)右端的不等式也一样成立。对IV,利用(3.10)可得
‖ I V ‖ K p , q α ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 ‖ 2 k M ( Δ k ′ f Δ ˜ k ′ g ) ( x ) ‖ K p , q α ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 ‖ 2 k M ( Δ k ′ f ) ‖ K p , q α ‖ Δ ˜ k ′ g ‖ ∞ ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k − k ′ ‖ Δ k ′ f ‖ K p , q α 2 k ′ ( n p + 1 ) ‖ Δ k ′ g ‖ K p , q α ≲ ‖ f ‖ B K p , q , ∞ α , s ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k − k ′ 2 k ′ ( n p + 1 − s ) ‖ Δ k ′ g ‖ K p , q α . (3.24)
因此,利用(3.6)和文献 [
在这一节,考虑方程
{ ∂ t θ + u ⋅ ∇ θ = 0 , ( x , t ) ∈ ℝ 2 × [ 0 , T ) , div u = 0 , θ ( 0 , x ) = θ 0 ( x ) , x ∈ ℝ 2 . (4.1)
定理1.1的证明分成下面的五步。
第一步 先验界估计。用算子 Δ k 作用在方程(4.1)的两边得
∂ t Δ θ + u ⋅ ∇ θ = [ u , Δ k ] ⋅ ∇ θ . (4.2)
假设 X t ( α ) 是下面的常微分方程的解
{ ∂ t X t ( α ) = u ( X t ( α ) , t ) , X t ( α ) | t = 0 = α . (4.3)
则从(4.2)可得
d d t Δ k θ ( X t ( α ) , t ) = [ u , Δ k ] ⋅ ∇ θ ( X t ( α ) , t ) ,
因此可推得
| Δ k θ ( X t ( α ) , t ) | ≤ | Δ k θ 0 ( α ) | + ∫ 0 t | [ u , Δ k ] ⋅ ∇ θ ( X t ( α ) , t ) | d τ . (4.4)
在(4.4)式两边先取
‖ 2 k s ‖ Δ θ ( X t ( α ) , t ) ‖ K p . q α ‖ l r ≤ ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s + ∫ 0 t ‖ 2 k s ‖ [ u , Δ k ] ⋅ ∇ θ ( X t ( α ) , t ) ‖ K p . q α ‖ l r d τ .
因为 div u = 0 ,故 X t ( α ) 是保体积的微分同胚。再结合引理3.2,从上面的不等式可得
‖ θ ‖ B K p , q , r α , s ≤ ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s + ∫ 0 t ‖ 2 k s ‖ [ u , Δ k ] ⋅ ∇ θ ‖ K p . q α ‖ l r d τ ≤ ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s + ∫ 0 t ‖ u ‖ B K p , q , r α , s ‖ θ ‖ B K p , q , r α , s d τ ≤ ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s + ∫ 0 t ‖ θ ‖ B K p , q , r α , s 2 d τ , (4.5)
这里用到了
‖ u ‖ B K p , q , r α , s = ‖ R ⊥ θ ‖ B K p , q , r α , s ≤ C ‖ θ ‖ B K p , q , r α , s .
因此利用Gronwall不等式,存在 T 0 = T ( ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s ) ,当 t ∈ [ 0 , T 0 ) 时有
‖ θ ‖ B K p , q , r α , s ≲ ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s . (4.6)
第二步 逼近解和一致界估计。先构造问题(4.1)的逼近解,通过解方程组
{ ∂ t θ ( n + 1 ) + u ( n ) ⋅ ∇ θ ( n + 1 ) = 0 , ( x , t ) ∈ ℝ 2 × [ 0 , T ) , div u ( n ) = 0 , θ ( n + 1 ) ( 0 , x ) = S n + 2 θ 0 ( x ) , x ∈ ℝ 2 (4.7)
来定义序列 { θ ( n ) , u ( n ) } N 0 = N ∪ { 0 } ,其中
‖ θ ( n + 1 ) ( t ) ‖ B K p , q , r α , s ≲ ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s + ∫ 0 t ‖ u ( n ) ‖ B K p , q , r α , s ‖ θ ( n + 1 ) ‖ B K p , q , r α , s d τ ≲ ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s + ∫ 0 t ‖ θ ( n ) ‖ B K p , q , r α , s ‖ θ ( n + 1 ) ‖ B K p , q , r α , s d τ , (4.8)
其中用到事实
‖ S n + 2 θ 0 ‖ B K p , q , r α , s ≲ ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s 和 u = R ⊥ θ .
利用Gronwall不等式可知存在 T 0 = T ( ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s ) 使得对任意 n , t ∈ [ 0 , T 0 ] ,
‖ θ ( n ) ( t ) ‖ B K p , q , r α , s ≲ 2 ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s .
第三步 存在性。现在将证明存在与n无关的时间 T 1 ( ≤ T 0 ) 使得 { θ ( n ) } 是 X T s − 1 ≜ C ( [ 0 , T 1 ] ; B K p , q , r α , s − 1 ) 中的柯西序列。为此令
δ θ ( n + 1 ) = θ ( n + 1 ) − θ ( n ) , δ u ( n + 1 ) = u ( n + 1 ) − u ( n ) .
则不难验证差分
用 Δ k 作用在(4.9)的第一个方程可得
∂ t Δ k δ θ ( n + 1 ) + u ( n ) ⋅ ∇ Δ k δ θ ( n + 1 ) = [ u ( n ) , Δ k ] ⋅ ∇ δ θ ( n + 1 ) − Δ k ( δ u ( n ) ⋅ ∇ θ ( n ) ) .
类似(4.5)可得
‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ B K p , q , r α , s − 1 ≤ ‖ Δ n + 1 θ 0 ‖ B K p , q , r α , s − 1 + ∫ 0 t ‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ [ u ( n ) , Δ k ] ⋅ ∇ δ θ ( n + 1 ) ‖ K p , q α ‖ l r d τ + ∫ 0 t ‖ δ u ( n ) ⋅ ∇ θ ( n ) ‖ B K p , q , r α , s − 1 d τ . (4.10)
利用
‖ Δ n + 1 θ 0 ‖ B K p , q , r α , s − 1 ≤ C 2 − ( n + 1 ) ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s .
利用文献 [
‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ B K p , q , r α , s − 1 ≤ C 2 − ( n + 1 ) ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s − 1 + C ∫ 0 t ‖ u ( n ) ‖ B K p , q , r α , s ‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ B K p , q , r α , s − 1 d τ + C ∫ 0 t ‖ δ u ( n ) ‖ B K p , q , r α , s − 1 ‖ θ ( n ) ‖ B K p , q , r α , s d τ ≤ C 1 2 − ( n + 1 ) + C 1 T ‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ X T s − 1 + C 1 T ‖ δ u ( n ) ‖ X T s − 1 , (4.11)
其中 C 1 = C 1 ( ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s ) 。因此若 C 1 T ≤ 1 8 ,则利用T的小性以及 ‖ δ u ( n ) ‖ X T s − 1 的有限性可得 ‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ X T s − 1 ≤ 2 C 1 2 − ( n ) 。因此 { θ ( n ) } n ∈ N 0 是 X T s − 1 中的一个柯西序列。按照标准的讨论,当 T 1 ≤ min { T 0 , 1 8 C 1 } 时,
极限函数 θ ∈ X T s − 1 是方程(4.1)以 θ 0 为初值的解。此外, θ 还满足
‖ θ ‖ L T 1 ∞ ( B K p , q , r α , s ) ≤ C ‖ θ 0 ‖ B K p , q , r α , s .
第四步 唯一性。假设 θ ′ ∈ C T 1 ( B K p , q , r α , s ) 是满足相同初值的另外一个解。令 δ θ = θ − θ ′ , δ u = u − u ′ 。则 ( δ θ , δ u ) 满足方程
{ ∂ t δ θ + u ⋅ ∇ δ θ + δ u ⋅ ∇ θ ′ = 0 , ∇ ⋅ δ u = 0. (4.13)
按第一步的方法类似的可得当T充分小时
‖ δ θ ‖ X T s − 1 ≤ C 2 T ‖ δ θ ‖ X T s − 1 ,
这意味着 ( δ θ , δ u ) ≡ 0 即 θ ′ = θ 。
江西省自然科学基金(项目编号:20192BAB201003)。
徐艳霞,陈晓莉. 准地转方程在Besov-Herz空间上的局部适定性On the Well-Posedness of the Quasi-Geostrophic Equation in the Besov-Herz Spaces[J]. 理论数学, 2020, 10(05): 530-539. https://doi.org/10.12677/PM.2020.105065