本文讨论一类带Lévy跳和Markov切换的随机互惠系统的渐近性态。利用Lyapunov函数和随机分析工具,建立了系统的随机持久性、灭绝性和平均意义下的持续性。数值模拟验证了理论结果的合理性。 This paper is concerned with the asymptotic behavior of a stochastic mutualism system driven by Lévy jumps under Markovian switching. By using Lyapunov functions and some techniques in sto-chastic calculus, the sufficient conditions for stochastic permanence, extinction, and persistence in mean are established respectively. Finally, some numerical simulations are given to illustrate our theoretical results.
刘丹丹,丁孝全*
河南科技大学数学与统计学院,河南 洛阳
收稿日期:2020年5月30日;录用日期:2020年6月21日;发布日期:2020年6月28日
本文讨论一类带Lévy跳和Markov切换的随机互惠系统的渐近性态。利用Lyapunov函数和随机分析工具,建立了系统的随机持久性、灭绝性和平均意义下的持续性。数值模拟验证了理论结果的合理性。
关键词 :互惠系统,Markov切换,Lévy跳,随机持久,灭绝
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
近年来,带有高斯白噪声扰动的种群模型受到广泛关注,并取得了丰富的研究成果 [
为探讨各种噪声对互惠种群模型的动力学行为的综合影响,受文献 [
{ d x 1 ( t ) = x 1 ( t ) [ a 1 ( r ( t ) ) − b 1 ( r ( t ) ) e − k 1 ( r ( t ) ) x 2 ( t ) − c 1 ( r ( t ) ) x 1 ( t ) ] d t + σ 1 ( r ( t ) ) x 1 ( t ) d B 1 ( t ) + ∫ Y γ 1 ( r ( t ) , u ) x 1 ( t − ) N ˜ ( d t , d u ) , d x 2 ( t ) = x 2 ( t ) [ a 2 ( r ( t ) ) − b 2 ( r ( t ) ) e − k 2 ( r ( t ) ) x 1 ( t ) − c 2 ( r ( t ) ) x 2 ( t ) ] d t + σ 2 ( r ( t ) ) x 2 ( t ) d B 2 ( t ) + ∫ Y γ 2 ( r ( t ) , u ) x 2 ( t − ) N ˜ ( d t , d u ) , (1.1)
其中 x l ( t ) ( l = 1 , 2 ) 表示第l个种群在时刻t的密度, x l ( t − ) 表示 x l ( t ) 的左极限; ( B 1 , B 2 ) 是定义在带流概率空间 ( Ω , F , { F t } t ≥ 0 , ℙ ) 上的二维标准Brown运动,r是状态空间为S的连续时间Markov链;N是特征测度 λ 在 ( 0 , ∞ ) 的可测子集Y上满足 λ ( Y ) < ∞ 的Poisson计数测度, N ˜ ( d t , d u ) = N ( d t , d u ) − λ ( d u ) d t 是其补偿测度。对任意 i ∈ S , l = 1 , 2 , σ l 2 ( i ) 为高斯白噪声的强度;函数 γ l ( i , ⋅ ) : Y → ℝ 有界可测且 γ l ( i , u ) > − 1 ; a l ( i ) , c l ( i ) , b l ( i ) 为正常数,相应的生物意义参见文献 [
我们指出,与系统(1.1)对应的确定性自治模型最早由Graves等人 [
本文后续内容安排如下:第2节,给出一些准备工作;第3节,证明正解的全局存在唯一性;第4节,建立系统的随机持久性;第5节,讨论灭绝性和平均意义下的持续性;最后,数值模拟验证理论结果的合理性。
本节介绍一些定义、引理、假设和记号。
为方便讨论,给出以下记号:
1) ℝ + 2 = { ( x 1 , x 2 ) : x 1 > 0 , x 2 > 0 } ;
2) α l ( i ) = a l ( i ) − 1 2 σ l 2 ( i ) − ∫ Y [ γ l ( i , u ) − ln ( 1 + γ l ( i , u ) ) ] λ ( d u ) , i ∈ S , l = 1 , 2 ;
3) β l ( i ) = a l ( i ) − b l ( i ) − 1 2 σ l 2 ( i ) − ∫ Y γ l 2 ( i , u ) 1 + γ l ( i , u ) λ ( d u ) , i ∈ S , l = 1 , 2 。
设 ( Ω , F , { F t } t ≥ 0 , ℙ ) 是带流完备概率空间,其中流 { F t } t ≥ 0 满足通常条件。Markov链 r ( t ) , t ≥ 0 的状态空间 S = { 1 , 2 , ⋯ , m } ,其生成元 Q = ( q i j ) m × m 由
ℙ { r ( t + Δ t ) = j | r ( t ) = i } = { q i j Δ t + ο ( Δ t ) , if j ≠ i , 1 + q i j Δ t + ο ( Δ t ) , if j = i ,
给出。其中, Δ t > 0 , q i j ≥ 0 ( i ≠ j ) 是从i到j的转移速率,并且 ∑ j = 1 m q i j = 0 。本文假定随机过程r,N和 ( B 1 , B 2 ) 是相互独立的,并且对任意的 i ≠ j ,有 q i j > 0 。因此,Q不可约,r是遍历的Markov链,Q存在唯一的不变分布 π = ( π 1 , ⋯ , π m ) ∈ ℝ m 满足 π Q = 0 及 ∑ i = 1 m π i = 1 , π i > 0 , i ∈ S 。
考虑线性方程
Q c = η , (2.1)
其中 c , η ∈ ℝ m 为列向量。
引理2.1. ( [
1) 方程(2.1)有解的充要条件是 π η = 0 。
2) 若 c 1 和 c 2 是(2.1)的两个解,则存在 γ 0 ∈ ℝ 使得 c 1 − c 2 = γ 0 1 m ,其中 1 m 为m个元素全为1的列向量。
3) 方程(2.1)的任意解可以表示成 c = γ 0 1 m + h 0 ,其中 γ 0 ∈ ℝ 是任意常数, h 0 ∈ ℝ m 是方程(2.1)满足 π h 0 = 0 的唯一解。
再考虑带有Lévy跳和Markov切换的随机微分方程:
d x ( t ) = f ( x ( t ) , r ( t ) ) d t + g ( x ( t ) , r ( t ) ) d B ( t ) + ∫ Y h ( x ( t ) , r ( t ) , u ) N ˜ ( d t , d u ) , (2.2)
其中
f : ℝ × S → ℝ , g : ℝ × S → ℝ , h : ℝ × S × Y → ℝ .
若对任意 i ∈ S ,函数 V ( t , x , i ) 关于t连续可微,关于x二次连续可微,则由Itô公式可知
d V ( t , x , i ) = G V ( t , x , i ) d t + V x g ( x , i ) d B ( t ) + ∫ Y [ V ( t , x + h ( x , i , u ) , i ) − V ( t , x , i ) ] N ˜ ( d t , d u ) ,
其中
G V ( t , x , i ) = L V ( t , x , i ) + ∫ Y [ V ( t , x + h ( x , i , u ) , i ) − V ( t , x , i ) − V x h ( x , i , u ) ] λ ( d u ) ,
L V ( x , i ) = V t + V x f ( x , i ) + 1 2 V x x g 2 ( x , i ) + ∑ j = 1 m q i j V ( t , x , j ) .
下面给出随机最终有界、随机持久、灭绝以及平均意义下持续的定义。
定义2.1. 若对任意 ε ∈ ( 0 , 1 ) ,存在正常数 δ 1 : = δ 1 ( ε ) ,使得对初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 , r ( 0 ) ∈ S ,系统(1.1)的解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) 满足
lim inf t → ∞ ℙ { x l ( t ) ≤ δ 1 } ≥ 1 − ε , l = 1 , 2
则称系统(1.1)的解是随机最终有上界的。
定义2.2. 若对任意的 ε ∈ ( 0 , 1 ) ,存在正常数 δ 2 : = δ 2 ( ε ) ,使得对初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 , r ( 0 ) ∈ S ,系统(1.1)的解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) 满足
lim inf t → ∞ ℙ { x l ( t ) ≥ δ 2 } ≥ 1 − ε , l = 1 , 2
则称系统(1.1)的解是随机最终有下界的。
定义2.3. 如果系统(1.1)的解既随机最终有上界又随机最终有下界,则称系统(1.1)是随机持久的。
定义 2.4. 设 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) 是系统(1.1)的正解, l = 1 , 2 。
1) 若 lim t → ∞ x l ( t ) = 0 a.s.,则称种群 x l ( t ) 是灭绝的;
2) 若 lim t → ∞ 1 t ∫ 0 t x l ( s ) d s = 0 a.s.,则称种群 x l ( t ) 在平均意义下是非持续的;
3) 若 lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t x l ( s ) d s > 0 a.s.,则称种群 x l ( t ) 在平均意义下是强持续的。
下面是带有Lévy跳的指数鞅不等式。
引理 2.2. ( [
∫ 0 T | g ( t ) | 2 d t < ∞ a .s . , ∫ 0 T ∫ Y | h ( t , u ) | 2 λ ( d u ) d t < ∞ a .s . ,
则对任意 α , β > 0 ,有
ℙ { sup 0 ≤ t ≤ T [ ∫ 0 t g ( s ) d B ( s ) − α 2 ∫ 0 t | g ( s ) | 2 d s + ∫ 0 t ∫ Y h ( s , u ) N ˜ ( d s , d u ) − 1 α ∫ 0 t ∫ Y [ e α h ( s , u ) − 1 − α h ( s , u ) ] λ ( d u ) d s ] > β } ≤ e − α β .
本节建立系统(1.1)的全局正解的存在唯一性,这是本文后续工作的基础。
定理3.1. 对任意初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 , r ( 0 ) ∈ S ,系统(1.1)存在唯一的全局解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) ,并且该解以概率1停留在 ℝ + 2 中。
证明:易知系统(1.1)的系数满足局部Lipschitz条件,由随机微分方程解的存在唯一性定理可知,系统(1.1)在区间 [ 0 , τ e ) 上存在唯一的局部解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) ,其中 τ e 是爆破时刻。下面证明 x ( t ) 是全局
的,即证明 τ e = ∞ 几乎必然成立。取充分大的正整数 k 0 ,使 x 1 ( 0 ) ∈ ( 1 k 0 , k 0 ) 和 x 2 ( 0 ) ∈ ( 1 k 0 , k 0 ) 。对任意
正整数 k > k 0 ,定义停时:
τ k = inf { t ∈ [ 0 , τ e ) : x 1 ( t ) ∉ ( 1 k , k ) 或 者 x 2 ( t ) ∉ ( 1 k , k ) } .
对于空集 ∅ ,规定 inf ∅ = ∞ 。易知 { τ k } 是一个单调递增序列。令 τ ∞ = lim k → ∞ τ k ,则 τ ∞ ≤ τ e 。若证明 τ ∞ = ∞ ,则 τ e = ∞ 。
下面用反证法证明 τ e = ∞ 几乎必然成立。若该结论不成立,则存在常数 T > 0 和 ε ∈ ( 0 , 1 ) ,使得
P { τ ∞ ≤ T } > ε .
从而存在正整数 k 1 ≥ k 0 ,对任意正整数 k ≥ k 1 ,有
P { τ k ≤ T } ≥ ε . (3.1)
定义Lyapunov函数:
V ( x 1 , x 2 , i ) = ( x 1 − 1 − ln x 1 ) + ( x 2 − 1 − ln x 2 ) , ( x 1 , x 2 ) ∈ ℝ + 2 × S .
显然,对任意 ( x 1 , x 2 ) ∈ ℝ + 2 , V ( x 1 , x 2 , i ) > 0 。由Itô公式可得
d V ( x 1 , x 2 , i ) = G V ( x 1 , x 2 , i ) d t + ( x 1 − 1 ) σ 1 ( i ) d B 1 ( t ) + ( x 2 − 1 ) σ 2 ( i ) d B 2 ( t ) + ∫ Y [ γ 1 ( i , u ) x 1 ( t ) − ln ( 1 + γ 1 ( i , u ) ) ] N ˜ ( d s , d u ) + ∫ Y [ γ 2 ( i , u ) x 2 ( t ) − ln ( 1 + γ 2 ( i , u ) ) ] N ˜ ( d s , d u ) , (3.2)
其中
G V ( x 1 , x 2 , i ) = ( x 1 − 1 ) [ a 1 ( i ) − b 1 ( i ) e − k 1 ( i ) x 2 − c 1 ( i ) x 1 ] + 1 2 σ 1 2 ( i ) + ∫ Y [ γ 1 ( i , u ) − ln ( 1 + γ 1 ( i , u ) ) ] λ ( d u ) + ( x 2 − 1 ) [ a 2 ( i ) − b 2 ( i ) e − k 2 ( i ) x 1 − c 2 ( i ) x 2 ] + 1 2 σ 2 2 ( i ) + ∫ Y [ γ 2 ( i , u ) − ln ( 1 + γ 2 ( i , u ) ) ] λ ( d u ) ≤ x 1 ( a 1 ( i ) + c 1 ( i ) − x 1 ) + b 1 ( i ) + 1 2 σ 1 2 ( i ) + ∫ Y [ γ 1 ( i , u ) − ln ( 1 + γ 1 ( i , u ) ) ] λ ( d u ) + x 2 ( a 2 ( i ) + c 2 ( i ) − x 2 ) + b 2 ( i ) + 1 2 σ 2 2 ( i ) + ∫ Y [ γ 2 ( i , u ) − ln ( 1 + γ 2 ( i , u ) ) ] λ ( d u ) . (3.3)
记
M : = max i ∈ S , l = 1 , 2 { sup x > 0 { x ( a l ( i ) + c l ( i ) − x ) + b l ( i ) + 1 2 σ l 2 ( i ) + ∫ Y [ γ l ( i , u ) − ln ( 1 + γ l ( i , u ) ) ] λ ( d u ) } } ,
则M为正常数。对(3.2)两边从0到 τ k ∧ T 积分,然后取数学期望,再结合(3.3)可得
0 ≤ E V ( x 1 ( τ k ∧ T ) , x 2 ( τ k ∧ T ) , r ( τ k ∧ T ) ) ≤ V ( x 1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) , r ( 0 ) ) + 2 M T . (3.4)
对 k ≥ k 1 ,记 Ω k = { ω ∈ Ω | τ k ≤ T } 。由 τ k 的定义可知,对每个 ω ∈ Ω k , x 1 ( τ k , ω ) 和 x 2 ( τ k , ω ) 中至少有一个等于k或1/k。由(3.1)和(3.4)可知
V ( x 1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) , r ( 0 ) ) + 2 M T ≥ E [ I Ω k V ( x 1 ( τ k ) , x 2 ( τ k ) , r ( τ k ) ) ] ≥ ε [ ( k − 1 − ln k ) ∧ ( 1 k − 1 − ln 1 k ) ] ,
其中 I Ω k 是 Ω k 的示性函数。令 k → ∞ ,可得
∞ > V ( x 1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) , r ( 0 ) ) + 2 M T = ∞ .
矛盾。所以 τ ∞ = ∞ 几乎必然成立。证毕。
本节利用系统(1.1)的解的矩估计,证明其解的随机最终有界性,并进而得到系统的随机持久性。
引理4.1. 对任意 p ∈ ( 0 , 1 ) ,存在正常数 K l ( l = 1 , 2 ) ,使得对任意初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 , r ( 0 ) ∈ S ,系统(1.1)的解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) 满足
lim sup t → ∞ E ( x l p ) ≤ K l , l = 1 , 2. (4.1)
证明:由定理3.1知,对于任意初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 , r ( 0 ) ∈ S ,系统(1.1)存在全局唯一解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) ,且以概率1停留在 ℝ + 2 中。定义Lyapunov函数
V 1 ( x 1 , t , i ) = e t x 1 p ( t ) , ( x 1 , t , i ) ∈ ℝ + × ℝ + × S .
由Itô公式可得
d V 1 ( x 1 , t , i ) = G V 1 ( x 1 , t , i ) d t + p V 1 ( x 1 , t , i ) σ 1 ( i ) d B 1 ( t ) + ∫ Y V 1 ( x 1 , t , i ) [ ( 1 + γ 1 ( i , u ) ) p − 1 ] N ˜ ( d t , d u ) , (4.2)
其中
G V 1 ( x 1 , t , i ) = e t x 1 p ( t ) + p e t x 1 p ( t ) [ a 1 ( i ) − b 1 ( i ) e − k 1 ( i ) x 2 ( t ) − c 1 ( i ) x 1 ( t ) + p − 1 2 σ 1 2 ( i ) ] + e t x 1 p ( t ) ∫ Y [ ( 1 + γ 1 ( i , u ) ) p − 1 − p γ 1 ( i , u ) ] λ ( d u ) ≤ e t { − p c 1 ( i ) x 1 p + 1 ( t ) + x 1 p ( t ) [ 1 + p a 1 ( i ) + ∫ Y [ ( 1 + γ 1 ( i , u ) ) p − 1 − p γ 1 ( i , u ) ] λ ( d u ) ] ] } . (4.3)
记
G ( x , i ) : = − p c 1 ( i ) x p + 1 + x p [ 1 + p a 1 ( i ) + ∫ Y [ ( 1 + γ 1 ( i , u ) ) p − 1 − p γ 1 ( i , u ) ] λ ( d u ) ] ] .
由Bernoulli不等式可知
∫ Y [ ( 1 + γ 1 ( i , u ) ) p − 1 − p γ 1 ( i , u ) ] λ ( d u ) ≤ 0 ,
从而
G ( x , i ) ≤ − p c 1 ( i ) x p + 1 + ( 1 + p a 1 ( i ) ) x p ≤ max i ∈ S { sup x > 0 { − p c 1 ( i ) x p + 1 + ( 1 + p a 1 ( i ) ) x p } } = : K 1 . (4.4)
易知, K 1 是与p有关的正常数。对(4.4)两边从0到t积分,然后取数学期望,再利用(4.2)和(4.3)可得
E V 1 ( x 1 ( t ) , t , r ( t ) ) = V 1 ( x 1 ( 0 ) , 0 , r ( 0 ) ) + E ∫ 0 t G V 1 ( x 1 ( s ) , s , r ( s ) ) d s ≤ V 1 ( x 1 ( 0 ) , 0 , r ( 0 ) ) + K 1 e t .
从而
E ( x 1 p ( t ) ) ≤ x 1 p ( 0 ) e t + K 1 ,
令 t → ∞ 可得
lim sup t → ∞ E ( x 1 p ( t ) ) ≤ K 1 .
对 x 2 ( t ) 的情况,同理可证。证毕。
定理4.1. 系统(1.1)的解是随机最终有上界的。
证明:记 K = max { K 1 , K 2 } ,对任意 ε ∈ ( 0 , 1 ) ,令 δ 1 = ( K ε ) 1 p ,由Chebyshev不等式可得
ℙ { x l ( t ) > δ 1 } ≤ E ( x l p ( t ) ) δ 1 p , l = 1 , 2.
结合引理4.1中的(4.1)可得
lim sup t → ∞ ℙ { x l ( t ) > δ 1 } ≤ K δ 1 p = ε , l = 1 , 2 ,
从而
lim inf t → ∞ ℙ { x l ( t ) ≤ δ 1 } ≥ 1 − ε , l = 1 , 2.
证毕。
下面证明系统(1.1)的解是随机最终有下界的。为此,令
v l ( t ) : = 1 x l ( t ) , l = 1 , 2 , (4.5)
由Itô公式可得
{ d v 1 = − v 1 { [ a 1 ( r ( t ) ) − b 1 ( r ( t ) ) e − k 1 ( r ( t ) ) v 2 − 1 − c 1 ( r ( t ) ) v 1 − 1 − σ 1 2 ( r ( t ) ) − ∫ Y γ 1 2 ( r ( t ) , u ) 1 + γ 1 ( r ( t ) , u ) λ ( d u ) ] d t + σ 1 ( r ( t ) ) d B 1 ( t ) + ∫ Y γ 1 ( r ( t ) , u ) 1 + γ 1 ( r ( t ) , u ) N ˜ ( d t , d u ) } , d v 2 = − v 2 { [ a 2 ( r ( t ) ) − b 2 ( r ( t ) ) e − k 2 ( r ( t ) ) v 1 − 1 − c 2 ( r ( t ) ) v 2 − 1 − σ 2 2 ( r ( t ) ) − ∫ Y γ 2 2 ( r ( t ) , u ) 1 + γ 2 ( r ( t ) , u ) λ ( d u ) ] d t + σ 2 ( r ( t ) ) d B 2 ( t ) + ∫ Y γ 2 ( r ( t ) , u ) 1 + γ 2 ( r ( t ) , u ) N ˜ ( d t , d u ) } . (4.6)
引理4.2. 若 min { π β 1 , π β 2 } > 0 ,则对任意充分小的 θ > 0 ,存在正常数L,使得对任意初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 , r ( 0 ) ∈ S ,系统(1.1)的解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) 满足
lim sup t → ∞ E [ 1 x l θ ( t ) ] ≤ L , l = 1 , 2. (4.7)
证明:由(4.5),只需证明
lim sup t → ∞ E ( v l θ ( t ) ) ≤ L , l = 1 , 2.
注意到
π [ − β l + ( π β ) 1 m ] = 0 , ∑ i = 1 m π i = 1 , l = 1 , 2 ,
由引理2.1可知方程
Q d l = − β l + ( π β ) 1 m
有解 d l = ( d l 1 , ⋯ , d l m ) T ∈ ℝ m , l = 1 , 2 。因此
β l ( i ) + ∑ j = 1 m q i j d l j = π β l > 0 , i ∈ S , l = 1 , 2.
取 θ 0 ∈ ( 0 , 1 ) ,使得对每一 θ ∈ ( 0 , θ 0 ) ,有
1 − d l i θ > 0 , i ∈ S , l = 1 , 2.
定义Lyapunov函数
V 2 ( v 1 , v 2 , i ) = ∑ l = 1 2 ( 1 − d l i θ ) ( 1 + v l ) θ ,
由(4.6)可得
G V 2 ( v 1 , v 2 , i ) ≤ ∑ l = 1 2 θ ( 1 − d l i θ ) ( 1 + v l ) θ − 1 { − v 1 [ a l ( i ) − b l ( i ) − σ l 2 ( i ) − c l ( i ) v l − 1 − ∫ Y γ l 2 ( i , u ) 1 + γ l ( i , u ) λ ( d u ) ] } + ∑ l = 1 2 θ ( θ − 1 ) 2 ( 1 − d l i θ ) ( 1 + v l ) θ − 2 v l 2 σ l 2 ( i ) + ∑ l = 1 2 ∑ j = 1 m q i j ( 1 − d l j θ ) ( 1 + v l ) θ + ∫ Y ∑ l = 1 2 ( 1 − d l i θ ) { [ 1 + v l ( 1 + 1 1 + γ l ( i , u ) − 1 ) ] θ − ( 1 + v l ) θ − θ ( 1 + v l ) θ − 1 v l ( 1 1 + γ l ( i , u ) − 1 ) } λ ( d u ) . (4.8)
根据生成元Q的性质可知
1 θ ( 1 − d l i θ ) ∑ j = 1 m q i j ( 1 − d l j θ ) = − 1 ( 1 − d l i θ ) ∑ j = 1 m q i j d l j = − ( ∑ j = 1 m q i j d l j + d l i θ ( 1 − d l i θ ) ∑ j = 1 m q i j d l j ) . (4.9)
由Bernoulli不等式可知
将(4.9)和(4.10)代入(4.8)可得
取常数
再取充分小常数
记
由(4.12)易知,H是与
由Itô公式,并结合(4.14)可知
从而
其中
因此
令
证毕。
定理4.2. 若
证明:对任意
结合引理4.2中的(4.7)可得
从而
证毕。
联合定理4.1与定理4.2即得
定理4.3. 若
本节讨论系统(1.1)的灭绝性和平均意义下的持续性。为此,先利用引理2.2建立如下引理。
引理 5.1. 对任意初值
证明:对任意
注意到对任意
由(5.1)可知
根据引理2.2,对任意
取
引理,存在
由Bernoulli不等式可知
(5.2)式两边同除
令
再令
从而
对
下面依次给出灭绝性、平均意义下的非持续性和强持续性。
定理5.1. 对任意初值
特别的,如果
证明:记
由定理3.1知,对于任意初值
其中
是局部平方可积鞅,并且
根据局部鞅的大数定律 [
(5.6)式两边同除t,然后取上极限,再利用(5.7)和Markov链
同理可知
特别的,若
从而
即种群
定理5.2. 若
证明:若
任给
代入(5.6)可知,对任意
设
或者
两边从T到t积分可得
从而
两边同除t,再取上极限可得
由
从而
同理可证,若
证毕。
定理5.3. 若
证明:由Itô公式可知
两边同除t,并移项可得
两边取下极限,并利用引理5.1和(5.7)式可得
若
对
为验证理论分析结果,本节采用Milstein方法 [
例6.1 在系统(1.1)中,设Markov链
易知Q存在唯一不变分布
给定初值
经简单计算可知
满足定理4.3的条件。从图1可知系统(1.1)是随机持久的。
例6.2 在系统(1.1)中,设Markov链
易知Q存在唯一不变分布
图1. 当
图2. 当
给定初值
经简单计算可知
满足定理5.1的条件。从图2可知系统(1.1)是灭绝的。
本文得到国家自然科学基金项目(11271110)和河南省教育厅科技攻关项目(15A120009)的支持。
刘丹丹,丁孝全. 一类带Lévy跳的随机混杂互惠系统的渐近性态Asymptotic Behavior of a Stochastic Hybrid Mutualism System with Lévy Jumps[J]. 理论数学, 2020, 10(06): 605-621. https://doi.org/10.12677/PM.2020.106074