利用符号计算软件Mathematics和Hirota双线性算子,研究了Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解。我们得到了该方程的7类lump解,选取一类lump解,当参数取特值时,给出了不同的t值对应的3D图形和等高线图。由此可以观察到这个lump解随时间t的增加而变化的特性。 Using the symbolic calculation software Mathematics and the Hirota bilinear operator, the lump solutions of the Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili equation are discussed. We have obtained 7-case lump solutions. We choose one-kind lump solution of them. Its 3D graphics and contour maps are given, when the parameters included in the lump solution take special values. From those graphics, one can observe the characteristics of this lump solution with the increase of time t.
徐慧琴,银山
内蒙古工业大学理学院,内蒙古 呼和浩特
收稿日期:2020年7月5日;录用日期:2020年7月21日;发布日期:2020年7月28日
利用符号计算软件Mathematics和Hirota双线性算子,研究了Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解。我们得到了该方程的7类lump解,选取一类lump解,当参数取特值时,给出了不同的t值对应的3D图形和等高线图。由此可以观察到这个lump解随时间t的增加而变化的特性。
关键词 :Lump解,Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili方程
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许多物理和力学现象都是非线性的。例如,1895年D. J. Korteweg和G. de Vries [
其中,Hirota双线性方法是日本著名数学、物理学家Ryogo Hirota [
用Hirota双线性方法从一个非线性微分方程出发,构造一个具有物理意义的非线性微分方程也是可能的。基于Hirota双线性方法,Wazwaz [
( u t + 15 u u x x x + 15 u x u x x + 45 u 2 u x + u x x x x x ) x + u y y = 0 (1)
在变换 u = 2 ( ln f ) x x 下SK-KP方程变为以下Hirota双线性形式:
B SK-KP ( f ) : = ( D x D t + D x 6 + D y 2 ) f ⋅ f = 2 ( − f y 2 − f t f x − 10 f x x x 2 + 15 f x x f x x x x − 6 f x f x x x x x ) + f ( f y y + f x f t + f x x x x x x ) = 0 (2)
其中双线性算子如下: D t n D x m a ⋅ b = ( ∂ ∂ t − ∂ ∂ t ′ ) n ( ∂ ∂ x − ∂ ∂ x ′ ) m a ( x , t ) ⋅ b ( x ′ , t ′ ) | x ′ = x , t ′ = t 。
基于双线性方程(2),Wazwaz [
基于上述变换,本文利用Hirota双线性方法和符号计算系统Mathematics将研究SK-KP方程(1)的lump解。具体内容如下:第二节在Hirota双线性方法的基础上,讨论了SK-KP方程的lump解,得到了七类lump解;第三节给出了结论。
为了讨论(1)中的Lump解,我们假设方程(2)中的f为:
f = g 2 + h 2 + a 9 , (3)
其中, g = a 1 x + a 2 y + a 3 t + a 4 , h = a 5 x + a 6 y + a 7 t + a 8 , a i ( i = 1 , 2 , ⋯ , 9 ) 都是实数。将(3)代入式(2),得到了关于 a i ( i = 1 , 2 , ⋯ , 9 ) 的代数方程组。在求解该代数方程组,得到以下七组解和相应的方程(1)的Lump解:
第一组:
a 1 = a 1 , a 2 = 0 , a 3 = 0 , a 4 = a 4 , a 5 = a 5 , a 6 = 0 , a 7 = 0 , a 8 = a 8 , a 9 = a 9 (4)
其中 a i ( i = 1 , 4 , 5 , 8 , 9 ) 是任意实数,对应SK-KP方程的lump解如下:
u ( x , y , t ) = p q (5)
这里 p = 2 ( 2 ( a 1 2 + a 5 2 ) ( ( a 1 x + a 4 ) 2 + ( a 5 x + a 8 ) 2 + a 9 ) − 4 ( a 1 2 x + a 5 ( a 5 x + a 8 ) + a 4 a 1 ) 2 ) ,
q = ( ( a 1 x + a 4 ) 2 + ( a 5 x + a 8 ) 2 + a 9 ) 2 .
第二组:当 a 7 ≠ 0 时,
a 1 = 0 , a 2 = 0 , a 3 = 0 , a 4 = a 4 , a 5 = − a 6 2 a 7 , a 6 = a 6 , a 7 = a 7 , a 8 = a 8 , a 9 = a 9 (6)
相应方程的解如下:
u ( x , y , t ) = 4 a 6 2 ( − ( a 7 t − a 6 2 x a 7 + a 6 y + a 8 ) 2 + a 4 2 + a 9 ) a 7 2 ( ( a 7 t − a 6 2 x a 7 + a 6 y + a 8 ) 2 + a 4 2 + a 9 ) . (7)
第三组:
a 1 = a 1 , a 2 = 0 , a 3 = a 3 , a 4 = a 4 , a 5 = − a 1 a 7 a 3 , a 6 = − a 1 a 7 2 a 3 + a 3 , a 7 = a 7 , a 8 = a 8 , a 9 = 0 (8)
其中 a 3 ≠ 0 , a 1 ≥ 0 。相应的lump解为:
u ( x , y , t ) = p q (9)
这里
p = 4 a 1 2 [ a 3 2 ( a 3 2 + a 7 2 ) ( ( x a 1 + t a 3 + a 4 ) 2 + ( x a 1 a 7 + y a 1 a 3 a 3 + a 7 2 a 3 − a 3 ( t a 7 + a 8 ) ) 2 a 3 2 ) − 2 ( x a 1 ( a 3 2 + a 7 2 ) + y a 1 a 3 a 7 a 3 + a 7 2 a 3 + a 3 ( t a 3 2 + a 3 a 4 − a 7 ( t a 7 + a 8 ) ) ) 2 ] ,
q = a 3 4 ( ( x a 1 + t a 3 + a 4 ) 2 + ( x a 1 a 7 + y a 1 a 3 a 3 + a 7 2 a 3 − a 3 ( t a 7 + a 8 ) ) 2 a 3 2 ) 2 .
第四组:当 a 3 ≠ 0 , a 1 ≥ 0 时,
a 1 = a 1 , a 2 = 0 , a 3 = a 3 , a 4 = a 4 , a 5 = − a 1 a 7 a 3 , a 6 = a 1 a 7 2 a 3 + a 3 , a 7 = a 7 , a 8 = a 8 , a 9 = 0
方程的解为:
u ( x , y , t ) = p q
这里
p = 4 a 1 2 [ a 3 2 ( a 3 2 + a 7 2 ) ( ( x a 1 + t a 3 + a 4 ) 2 + ( − x a 1 a 7 + y a 1 a 3 a 3 + a 7 2 a 3 + a 3 ( t a 7 + a 8 ) ) 2 a 3 2 ) − 2 ( x a 1 ( a 3 2 + a 7 2 ) − y a 1 a 3 a 7 a 3 + a 7 2 a 3 + a 3 ( t a 3 2 + a 3 a 4 − a 7 ( t a 7 + a 8 ) ) ) 2 ] ,
q = a 3 4 ( ( x a 1 + t a 3 + a 4 ) 2 + ( − x a 1 a 7 + y a 1 a 3 a 3 + a 7 2 a 3 + a 3 ( t a 7 + a 8 ) ) 2 a 3 2 ) 2 .
第五组:当 a 6 ≠ 0 和 a 6 ≠ 0 时,
a 1 = − a 2 a 6 a 7 , a 2 = a 2 , a 3 = a 2 a 7 a 6 , a 4 = a 4 , a 5 = − a 6 2 a 7 , a 6 = a 6 , a 7 = a 7 , a 8 = a 8 , a 9 = a 9
方程的解为:
u ( x , y , t ) = p q
其中,
p = − 4 [ 2 a 2 3 a 4 a 6 a 7 ( − x a 6 2 + y a 6 a 7 + t a 7 2 ) + a 2 4 ( − x a 6 2 + y a 6 a 7 + t a 7 2 ) 2 + 2 a 2 a 4 a 6 3 a 7 ( − x a 6 2 + y a 6 a 7 + a 7 ( t a 7 + 2 a 8 ) ) + a 2 2 a 6 2 ( 2 x 2 a 6 4 − 4 x y a 6 3 a 7 + 2 y a 6 a 7 2 ( 2 t a 7 + a 8 ) − 2 a 6 2 a 7 ( ( 2 t x − y 2 ) a 7 + x a 8 ) + a 7 2 ( a 4 2 + 2 t 2 a 7 2 + 2 t a 7 a 8 − a 8 2 − a 9 ) ) + a 6 4 ( x 2 a 6 4 − 2 x y a 6 3 a 7 + 2 y a 6 a 7 2 ( t a 7 + a 8 ) + a 6 2 a 7 ( ( − 2 t x + y 2 ) a 7 − 2 x a 8 ) + a 7 2 ( − a 4 2 + t 2 a 7 2 + 2 t a 7 a 8 + a 8 2 − a 9 ) ) ] ,
q = a 7 4 ( ( a 4 a 6 a 7 + a 2 ( − x a 6 2 + y a 6 a 7 + t a 7 2 ) ) 2 a 6 2 a 7 2 + ( y a 6 − x a 6 2 a 7 + t a 7 + a 8 ) 2 + a 9 ) 2 .
第六组:当 a 3 ≠ 0 时,
a 1 = − a 2 2 a 3 , a 2 = a 2 , a 3 = a 3 , a 4 = a 4 , a 5 = 0 , a 6 = 0 , a 7 = 0 , a 8 = a 8 , a 9 = a 9
方程的解为:
u ( x , y , t ) = 4 a 2 2 ( − ( a 3 t − a 2 2 x a 3 + a 2 y + a 4 ) 2 + a 8 2 + a 9 ) a 3 2 ( ( a 3 t − a 2 2 x a 3 + a 2 y + a 4 ) 2 + a 8 2 + a 9 ) 2 .
第七组:当 a 3 2 + a 7 2 ≠ 0 时,
a 1 = − a 3 a 2 2 − 2 a 6 a 7 a 2 + a 3 a 6 2 a 3 2 + a 7 2 , a 2 = a 2 , a 3 = a 3 , a 4 = a 4 , a 5 = a 7 a 2 2 − 2 a 3 a 6 a 2 − a 7 a 6 2 a 3 2 + a 7 2 , a 6 = a 6 , a 7 = a 7 , a 8 = a 8 , a 9 = 0
方程的解为:
u ( x , y , t ) = p q ,
其中,
p = 4 { − 2 [ − x a 2 4 + y a 2 3 a 3 + a 2 2 ( t a 3 2 + a 3 a 4 − 2 x a 6 2 + y a 6 a 7 − a 7 ( t a 7 + a 8 ) ) + a 6 2 ( − t a 3 2 − a 3 a 4 − x a 6 2 + y a 6 a 7 + a 7 ( t a 7 + a 8 ) ) + a 2 a 6 ( 2 a 4 a 7 + a 3 ( y a 6 + 4 t a 7 + 2 a 8 ) ) ] 2 + ( a 2 2 + a 6 2 ) 2 [ ( x 2 a − 2 4 2 x y a 2 3 a 3 + t 2 a 3 4 + 2 t a 3 3 a 4 + x 2 a 6 4 − 2 x y a 6 3 a 7 + a 4 2 a 7 2 − 2 t x a 6 2 a 7 2 + y 2 a 6 2 a 7 2 + 2 t y a 6 a 7 3 + t 2 a 7 4 + 2 a 3 a 4 ( x a 6 2 + t a 7 2 ) − 2 x a 6 2 a 7 a 8 + 2 y a 6 a 7 2 a 8 + 2 t a 7 3 a 8
+ a 7 2 a 8 2 + a 3 2 ( a 4 2 + ( 2 t x + y 2 ) a 6 2 + 2 t 2 a 7 2 + 2 t a 7 a 8 + a 8 2 + 2 y a 6 ( t a 7 + a 8 ) ) + a 2 2 ( ( − 2 t x + y 2 ) a 3 2 − 2 x a 3 a 4 + 2 x 2 a 6 2 − 2 x y a 6 a 7 + a 7 ( ( 2 t x + y 2 ) a 7 + 2 x a 8 ) ) + 2 a 2 ( t y a 3 3 + y a 3 2 a 4 + a 4 a 7 ( − 2 x a 6 + y a 7 ) − a 3 ( x y a 6 2 − t y a 7 2 + 2 x a 6 ( 2 t a 7 + a 8 ) ) ) ] }
q = ( a 3 2 + a 7 2 ) 2 [ ( − x a 2 2 a 3 + t a 3 3 + a 3 2 a 4 + a 4 a 7 2 + a 3 ( x a 6 2 + t a 7 2 ) + a 2 ( y a 3 2 + a 7 ( − 2 x a 6 + y a 7 ) ) ) 2 ( a 3 2 + a 7 2 ) 2 + ( y a 6 + t a 7 + x ( − 2 a 2 a 3 a 6 + a 2 2 a 7 − a 6 2 a 7 ) a 3 2 + a 7 2 + a 8 ) 2 ] 2 .
本文借助于符号计算系统Mathematics和双线性算子,研究了SKKP方程的Lump解。我们得到了7组lump解。由此说明SKKP方程的解的丰富性和部分解的特征以便理解该方程的可积性。当 a 1 = 4 , a 3 = 3 , a 4 = 2 , a 7 = 0 , a 8 = 3 时,解(9)的3D图和等高线图如图1所示,可以观察到随着时间该lump解沿着 轴向正方向移动。
图1. 解(9)的3D图和等高线图( a 1 = 4 , a 3 = 3 , a 4 = 2 , a 7 = 0 , a 8 = 3 )
感谢银山老师的支持与帮助。
徐慧琴,银 山. Sawada-Kotera-Kadovtsev-Petviashvili方程的Lump解Lump Solution for Sawada-Kotera-Kadovtsev Petviashvili Equation[J]. 应用数学进展, 2020, 09(07): 1084-1091. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.97128