本文研究具有Holling-III型食饵自食性的Leslie-Gower时滞捕食模型的周期解,了解食饵与捕食者之间的动态关系。利用重合度理论的连续性定理以及比较定理,如果满足条件
牛璐*,王晓云#
太原理工大学数学学院,山西 太原
收稿日期:2020年7月18日;录用日期:2020年8月4日;发布日期:2020年8月11日
本文研究具有Holling-III型食饵自食性的Leslie-Gower时滞捕食模型的周期解,了解食饵与捕食者之间的动态关系。利用重合度理论的连续性定理以及比较定理,如果满足条件 γ 1 + c 1 ¯ > α 1 ¯ e β 2 + ( f d 2 ) ¯ e β 1 ,则系统存在一个 ω -周期正解。
关键词 :时滞捕食模型,同类相食,连续性定理,周期解
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生态系统中存在多种捕食行为,捕食关系是生物数学界研究的一个重要课题。近几十年来,传统捕食模型由于其非常丰富的动态和在可再生资源管理中的重要作用受到了广泛的关注和研究 [
{ H ′ ( t ) = H ( t ) [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) P ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) H ( t ) ] − f ( t ) H ( t ) H ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + H 2 ( t − σ ( t ) ) , P ′ ( t ) = P ( t ) [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) P ( t − τ 2 ( t ) ) H ( t − τ 2 ( t ) ) ] , (1)
其中 H ( t ) , P ( t ) 分别表示在时间t时食饵和捕食者的密度, γ 1 ( t ) , i = 1 , 2 分别是食饵和捕食者的内在
增长率, γ 1 ( t ) b 1 ( t ) 是食饵的环境承载力, f ( t ) 表示食饵的同类相食率, C ( H ) ( t ) = f ( t ) × H ( t ) × H ( t ) H 2 ( t ) + d 2 ( t )
是同类相食行为, c 1 ( t ) × H ( t ) 是由于自相残杀而产生的新后代。因为食饵会掠夺许多食饵以产生一个新后代,所以 c 1 ( t ) < f ( t ) 。 α 1 ( t ) , α 2 ( t ) , b 1 ( t ) , d ( t ) , σ ( t ) , τ i ( t ) , i = 1 , 2 均为严格正的 ω -周期连
续函数 ( ω > 0 ) , γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) , c 1 ( t ) 是 ω -周期连续函数,假设 ∫ 0 ω c 1 ( t ) d t > 0 , ∫ 0 ω γ i ( t ) d t > 0 , i = 1 , 2 。
设 X , Z 为实Banach空间, L : Dom L ⊂ X → Z 为线性映射, N : X → Z 为连续映射,且记 K P 为 L P 的倒数。如果满足条件 dim Ker L = codimIm L < + ∞ , Im L 在 Z 中为闭,则称 L 为指标为零的Fredholm映射。如果映射 L 是指标为零的Fredholm映射,则存在连续的投影 P : X → X 、 Q : Z → Z 有 Ker Q = Im L = Im ( I − Q ) , Im P = Ker L 。可见 L 对 Dom L ∩ Ker P 的限制性 L P : ( I − P ) X → Im L 是可逆的。如果 Ω 是 X 的一个开放边界子集, Q N ( Ω ¯ ) 有界, K P ( I − Q ) N : Ω ¯ → X 紧,那么可知 Z 在 Ω ¯ 上是L-紧。根据 Im Q 与 Ker L 是同构性,可知存在同构映射 J : Im L → Ker L 。
引理2.1 [
(i) 对于任意的 λ ∈ ( 0 , 1 ) , x ∈ ∂ Ω ∩ Dom L , L x ≠ λ N x ;
(ii) 对于任意的 x ∈ ∂ Ω ∩ Ker L , Q N x ≠ 0 ;
(iii) deg { J Q N , Ω ∩ Ker L , 0 } ≠ 0 。
那么 L x = N x 在 Ω ¯ ∩ Dom L 内至少有一个解。
引理2.2 [
0 ≤ max s ∈ [ 0 , ω ] y ( s ) − min s ∈ [ 0 , ω ] y ( s ) ≤ 1 2 ∫ 0 ω | y ′ ( s ) | d s .
方便起见,记 f ¯ = 1 ω ∫ 0 ω f ( t ) d t ,其中 f ( t ) 是 ω -周期连续函数。
定理3.1 如果条件 γ 1 + c 1 ¯ > α 1 ¯ e β 2 + ( f d 2 ) ¯ e β 1 成立,那么系统(1)至少存在一个 ω -周期正解。
证明 令 H ( t ) = e x 1 ( t ) , P ( t ) = e x 2 ( t ) ,则系统(1)变为
{ x ′ 1 ( t ) = γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) , x ′ 2 ( t ) = γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) , (2)
从上可知系统(2)具有一个以 ω 为周期的解 ( x 1 ∗ ( t ) , x 2 ∗ ( t ) ) T ,则 ( H ∗ ( t ) , P ∗ ( t ) ) T = ( e x 1 ∗ ( t ) , e x 2 ∗ ( t ) ) T
是系统(1)的一个以 ω 为周期的周期正解。所以,在这里只要证明系统(2)至少有一个 ω -周期解即可。
令 X = Z = { x ( t ) = ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ) T ∈ C ( R , R 2 ) : x ( t + ω ) = x ( t ) } ,且 ‖ x ‖ = max s ∈ [ 0 , ω ] { | x 1 ( t ) + x 2 ( t ) | } ,那么在 ‖ ⋅ ‖ 范数下, X 和 Z 为Banach空间。
定义映射 L , P , Q 分别为
L : Dom L ∩ X → Z , L x = x ′ ;
P ( x ) = 1 ω ∫ 0 ω x ( t ) d t , x ∈ X ;
Q ( x ) = 1 ω ∫ 0 ω z ( t ) d t , z ∈ Z .
其中 D o m L = { x ∈ X : x ( t ) ∈ c 1 ( R , R 2 ) } 。
定义变换 N : X → Z
N x = [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ,
显然, Ker L = R 2 , Im L = { z | z ∈ Z , ∫ 0 ω z ( t ) d t = 0 } 为 Z 中的闭集, Ker L = codimIm I = 2 , P , Q 是满足 Im P = Ker L , Ker Q = Im L = Im ( I − Q ) 的连续映射,故L是指标为零的Fredholm算子,而且 K P 为 K P ( z ) = ∫ 0 t z ( s ) d s − 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t z ( s ) d s d t ,于是
Q N x = [ 1 ω ∫ 0 ω [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] 1 ω ∫ 0 ω [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ] ,
K P ( I − Q ) N x = ( ∫ 0 t [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] ∫ 0 t [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ) − ( 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ) − ( ( t ω − 1 2 ) ∫ 0 ω [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] ( t ω − 1 2 ) ∫ 0 ω [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ) .
易证, Q N 和 K P ( I − Q ) N 都是连续的。对于任意的有界开集 Ω ⊂ X , Q N ( Ω ¯ ) , K P ( I − Q ) N ( Ω ¯ ) 紧,所以有 N 在 Ω ¯ 上是L-紧的。
对应方程 L x = λ N x , λ ∈ ( 0 , 1 ) ,有
{ x ′ 1 ( t ) = λ [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] , x ′ 2 ( t ) = λ [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] , (3)
将(3)式从 [ 0 , ω ] 积分有
{ ∫ 0 ω [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] d t = 0 , ∫ 0 ω [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] d t = 0 , (4)
由(4)得
∫ 0 ω [ α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) + b 1 ( t ) e x 1 ( t ) + f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] d t = γ 1 + c 1 ¯ ω , (5)
∫ 0 ω [ α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] d t = γ 2 ¯ ω , (6)
(3)结合(5)有
∫ 0 ω | x 1 ( t ) | d t = λ ∫ 0 ω | γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) | d t ≤ ( | γ 1 + c 1 | ¯ + γ 1 + c 1 ¯ ) ω . (7)
存在 ξ i , η i , i = 1 , 2 满足
x i ( ξ i ) = sup s ∈ [ 0 , ω ] x i ( t ) , x i ( η i ) = inf s ∈ [ 0 , ω ] x i ( t ) , (8)
由(5)和(8)得
γ 1 + c 1 ¯ ω ≥ ∫ 0 ω b 1 ( t ) e x 1 ( t ) d t ≥ ω b 1 ¯ e x 1 ( η 1 ) , (9)
化简有
x 1 ( η 1 ) ≤ ln γ 1 + c 1 ¯ b 1 ¯ . (10)
结合(7),(10)和引理2.2得
x 1 ( t ) ≤ x 1 ( η 1 ) + 1 2 ∫ 0 ω | x 1 ( t ) | d t ≤ ln γ 1 + c 1 ¯ b 1 ¯ + 1 2 ( | γ 1 + c 1 | ¯ + γ 1 + c 1 ¯ ) ω = : β 1 . (11)
根据(3)和(6)有
∫ 0 ω | x 2 ( t ) | d t = λ ∫ 0 ω | γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) | d t ≤ ( | γ 2 | ¯ + γ 2 ¯ ) ω , (12)
由(6),(8)和(11)得
ω α 2 ¯ e x 2 ( η 2 ) e β 1 ≤ ∫ 0 ω [ α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] d t = γ 2 ¯ ω , (13)
化简得
x 2 ( η 2 ) ≤ ln γ 2 ¯ e β 1 α 2 ¯ = ln γ 2 ¯ α 2 ¯ + β 1 , (14)
结合(12),(14)和引理2.2得
x 2 ( t ) ≤ x 2 ( η 2 ) + 1 2 ∫ 0 ω | x 2 ( t ) | d t ≤ ln γ 2 ¯ α 2 ¯ + β 1 + 1 2 ( | γ 2 | ¯ + γ 2 ¯ ) ω = : β 2 . (15)
由(4)和(8)得
ω b 1 ¯ e x 1 ( ξ 1 ) ≥ γ 1 + c 1 ¯ ω − ∫ 0 ω α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) d t − ∫ 0 ω f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) d t ≥ γ 1 + c 1 ¯ ω − α 1 ¯ ω e β 2 − ( f d 2 ) ¯ ω e β 1 , (16)
即
x 1 ( ξ 1 ) ≥ ln γ 1 + c 1 ¯ − α 1 ¯ e β 2 − ( f d 2 ) ¯ e β 1 b 1 ¯ . (17)
由(7),(17)和引理2.2得
x 1 ( t ) ≥ x 1 ( ξ 1 ) − 1 2 ∫ 0 ω | x 1 ( t ) | d t ≥ ln γ 1 + c 1 ¯ − α 1 ¯ e β 2 − ( f d 2 ) ¯ e β 1 b 1 ¯ − 1 2 ( | γ 1 + c 1 | ¯ + γ 1 + c 1 ¯ ) ω = : β 3 . (18)
结合(6),(8)和(18)得
α 2 ¯ ω e x 2 ( ξ 2 ) e β 3 ≥ ∫ 0 ω [ α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] d t = γ 2 ¯ ω , (19)
化简有
x 2 ( ξ 2 ) ≥ ln γ 2 ¯ e β 3 α 2 ¯ = ln γ 2 ¯ α 2 ¯ + β 3 . (20)
根据(12),(20)和引理2.2得
x 2 ( t ) ≥ x 2 ( ξ 2 ) − 1 2 ∫ 0 ω | x 2 ( t ) | d t ≥ ln γ 2 ¯ α 2 ¯ + β 3 − 1 2 ( | γ 2 | ¯ + γ 2 ¯ ) ω = : β 4 . (21)
结合(11),(15),(18),(21)有 ‖ x ‖ ≤ | β 1 | + | β 2 | + | β 3 | + | β 4 | = : β 0 ( β 0 与 λ 无关)。
考虑下面方程组
{ γ 1 + c 1 ¯ − α 1 ¯ e x 2 − b 1 ¯ e x 1 − 1 ω ∫ 0 ω f ( t ) e x 1 d 2 ( t ) + e 2 x 1 d t = 0 , γ 2 ¯ − 1 ω ∫ 0 ω α 2 e x 2 e x 1 d t = 0 , (22)
若(22)有解 x ∗ = ( x 1 ∗ , x 2 ∗ ) T ,则满足 ‖ ( x 1 ∗ , x 2 ∗ ) T ‖ = max { | x 1 ∗ | + | x 2 ∗ | } < β 0 。当 x ∈ ∂ Ω ,且 λ ∈ ( 0 , 1 ) ,满足引理2.1 (i)。假设当 x ∈ ∂ Ω ∩ Ker L 且 ‖ x ‖ = β 0 , Q N x ≠ 0 ,满足引理2.1 (ii)。定义 J : Im Q → ker L , ( x 1 , x 2 ) T = ( x 1 , x 2 ) T ,可直接算得 deg { J Q N , Ω ∩ Ker L , 0 } ≠ 0 ,满足引理2.1 (iii)。因此,(2)至少一个 ω -周期解。所以,系统(1)至少有一个 ω -周期正解。即可证定理3.1。
国家自然科学基金青年项目(No. 11801398)。
牛 璐,王晓云. 具有Holling-III型食饵自食性的Leslie-Gower时滞捕食模型的周期解Periodic Solution for a Delayed Leslie-Gower and Holling-Type III Predator-Prey Model Incorporating Prey Cannibalism[J]. 应用数学进展, 2020, 09(08): 1170-1176. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.98136