雷靖靖，杨晓燕

西北师范大学，数学与统计学院，甘肃 兰州

收稿日期：2020年7月15日；录用日期：2020年8月5日；发布日期：2020年8月12日

本文介绍了Gorenstein内射模的类GI上的严格的Mittag-Leffler模，并用余挠对证明了GI-投射模在Gorenstein内射模的类GI上的严格的Mittag-Leffler模的一些同调性质。

关键词 :严格的Mittag-Leffler模，GI-投射模，Gorenstein内射模

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设 ( F α , u α β ) α , β ∈ I 是abelian群上的逆向系统， u α β : A β → A α 是R-模同态，其中 α ≤ β 。考虑 ( F α , u α β ) α , β ∈ I 的逆向极限A，它是由典范映射 S i : A → A i ， i ∈ I 诱导的。称逆向系统 ( F α , u α β ) α , β ∈ I 满足严格的Mittag-Leffler条件，如果对于任意的 α ∈ I ，存在 j = j ( α ) ，其中 j ≥ i ，使得 Im ( A j → A i ) → Im ( A → A i ) 。

设M是左R-模，假定 M = lim → F α ，其中 F = ( F α , u β β : F α → F β ) α , β ∈ I 是有限表示模的正向系统。设B是左R-模类，如果 H o m R ( F , B ) 满足严格的Mittag-Leffler条件，那么称M在B上是严格的Mittag-Leffler模。Raynaud和Gruson在文献 [1] 中定义了Mittag-Leffler模和严格的Mittag-Leffler条件。Zimmermann在文献 [2] 中进一步定义了严格的Mittag-Leffler模。近年来，严格的Mittag-Leffler条件成功地解决了同调代数和表示论中的一些问题。

Enochs和Jenda在文献 [3] 中研究了Gorenstein内射模。Enochs和Iacob在文献 [4] 中证明了如果R是交换Noetherian环，使得任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，那么Gorenstein内射模的类GI是包络类。其后，Iacob在文献 [5] 中将该结果推广到双边Noetherian环上，证明了如果R是双边Noetherian环，使得任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，那么Gorenstein内射模的类GI是包络类。杨彦炯，朱晓胜和颜晓光在文献 [6] 中证明了如果R是左Noetherian环，使得所有内射模在GI上是严格的Mittag-Leffler模，那么任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模。杨彦炯和颜晓光在文献 [7] 中研究了GI上严格的Mittag-Leffler模并引入GI-投射模，并且在Noetherian上证明了有限表示GI-投射模的正向极限在GI上是严格的Mittag-Leffler模。受以上工作启发，我们在余挠对和对偶对上进一步研究了Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模。

本文所提到的环均指有单位元的结合环，模均指左R-模。用I，P，F分别表示内射，投射，平坦左R-模的类，用R-Mod表示R-模范畴。

引理1.1 [7] 设M和N是左R-模，则以下条件等价：

(1) 设 ( F α , u β α ) α , β ∈ I 是任意有限表示模的正向系统，且 M = lim → F α ，则对任意的 α ∈ I ，存在 β ≥ α ，使得对任意同态 f : F β → N ，存在同态 β : M → N ，满足 f u β α = β u α 。见下图1。

图1

(2) 对任意可除Abelian群D ，自然变 ϕ : H o m Z ( N , D ) R ⊗ M → H o m Z ( H o m R ( M , N ) , D ) 被定义为 ϕ ( f ⊗ m ) : g ↦ f ( g ( m ) ) ，其中 f ∈ H o m Z ( N , D ) ， m ∈ M ， g ∈ H o m R ( M , N ) ，则 ϕ 是单的。

定义1.2 称模M是N上的严格的Mittag-Leffler模，如果满足以上等价条件之一。

我们用SML(N)表示N上严格的Mittag-Leffler模的类。设N是左R-模的类，如果对任意的 B ∈ N ，有 M ∈ SML ( B ) ，那么 M ∈ SML ( N ) 。称M是严格的Mittag-Leffler模，如果 N = R - M o d 。

注记1.3 (1) 如果模M是有限表示的，那么由( [8]，定理3.2.11)知，引理1.1(2)中自然变换 ϕ 是同构的。

(2) 由( [9]，引理8.9)知，SML(N)关于直和封。

定义1.4 设D是R-模的类。称 ( A , B ) 是余挠对，如果 A = B ⊥ 且 B = A ⊥ 。称 ( A , B ) 是完备的余挠对，如果对任意的模M，存在正合列 0 → M → B 1 → A 1 → 0 和 0 → B 2 → A 2 → M → 0 ，其中 A 1 , A 2 ∈ A ， B 1 , B 2 ∈ B 。称 ( A , B ) 是完全的余挠对，如果B是包络类，A是覆盖类。称 ( A , B ) 是遗传的余挠对，如果对任意的 A 1 ∈ A ， B 1 ∈ B ， i ≥ 1 ，有 E x t R i ( A 1 , B 1 ) = 0 。

定义1.5 设D是R-模的类，则

D ⊥ = { M ∈ R - M o d | E x t R 1 ( M , A ) = 0 , A ∈ D }

D ⊥ = { C ∈ R - M o d | E x t R 1 ( A , C ) = 0 , A ∈ D }

定义1.6 称左R-模M是Gorenstein内射模，如果存在内射左R-模的正合序列

I : ⋯ → I 1 → I 0 → I 0 → I 1 → ⋯

使得 M = K e r ( I 0 → I 1 ) ，且对任意内射左R-模 I ′ ，序列 H o m ( I ′ , I ) 正合。

定义1.7 称左R-模N是Gorenstein平坦模，如果存在平坦左R-模的正合序列

F : ⋯ → F 1 → F 0 → F 0 → F 1 → ⋯

使得 N = K e r ( F 0 → F 1 ) ，且对任意内射左R-模 I ″ ，有 I ″ ⊗ R F 正合。

我们用GI和GF分别表示Gorenstein内射模类和Gorenstein平坦模类。

定义1.8 [5] 设M是左R-模类，C是右R-模类。称 ( M , C ) 是对偶对，如果满足以下条件：

(1) 对任意的R-模A， A ∈ M ⇔ A 的特征模属于C。

(2) C关于直和项和有限直和封闭。

引理1.9 [5] [6] 设R是双边Noetherian环，使得 I ⊆ SML ( G I ) ，则GI是包络类。

引理1.10 [10] 设D是R-模类。若D关于直积和正向极限封闭，则 ⊥ D ⊆ SML ( D ) 。

引理2.1 设F是有限表示模的正向系统 ( F α , u β α ) α , β ∈ I 的正向极限。若 F ∈ SML ( I ) ，对任意的 β ∈ I ，有 F β ∈ G ⊥ I ，则 F ∈ SML ( G I ) 。

证明对任意的Gorenstein内射模M，我们有短正合列 0 → A → B → M → 0 ，其中 B ∈ I ， A ∈ G I 。又因为 F β ∈ G ⊥ I ，即 E x t R 1 ( F β , G I ) = 0 ，所以对上述的 A ∈ G I ，有 E x t R 1 ( F β , A ) = 0 。我们用函子 H o m ( F β , − ) 作用短正合列 0 → A → B → M → 0 ，则有正合列 0 → H o m ( F β , A ) → H o m ( F β , B ) → H o m ( F β , M ) → 0 。因此对任意同态 h : F β → M ，以及满同态 Π : B → M ，存在同态 g : F β → B ，满足等式 h = Π g 。又因为 F ∈ SML ( I ) ，所以由引理1.1(1)知，对上述同态g，存在同态 u : F → B ，满足等式 g u β α = u u α 。考虑以下交换图2。

我们令 Φ = Π u : F → M ，那么有 Φ u α = Π u u α = Π g u = β α h u β α ，由引理1.1(1)知， F ∈ SML ( M ) ，再由M的任意性知，有 F ∈ SML ( G I ) 。

定义2.2 [7] 称左R-模M是GI-投射模，如果 M ∈ G ⊥ I 。

我们用 P G I 表示GI-投射模的类。

注记2.3 (1) P G I = G ⊥ I 。

(2) I ∈ P G I 。

(3) 设 0 → A → B → C → 0 是左R-模短正合列。若 A , C ∈ P G I ，则 B ∈ P G I ；若R是左Noetherian环， B , C ∈ P G I ，则 A ∈ P G I 。

证明 (3)设 A , C ∈ P G I ，由定义知， E x t R 1 ( A , G I ) = 0 ， E x t R 1 ( C , G I ) = 0 ，则有 E x t R 1 ( B , G I ) = 0 ，即 B ∈ P G I 。因为 B , C ∈ P G I ，所以由定义有 E x t R 1 ( B , G I ) = 0 ， E x t R 1 ( C , G I ) = 0 。又因为R是左Noetherian环，所以由( [5]，引理1)和(1)知， ( P G I , G I ) 是完备遗传的余挠对，即当 i ≥ 1 时，上述等式仍然成立。则对任意的模 M ∈ G I ，我们用函子 H o m ( − , M ) 去作用短正合列 0 → A → B → C → 0 ，则有短正合列 0 = E x t R 1 ( B , M ) → E x t R 1 ( A , M ) → E x t R 2 ( C , M ) = 0 ，因此 E x t R 1 ( A , M ) = 0 ，即 A ∈ P G I 。

命题2.4 设GI关于正向极限封闭。则 P G I ⊆ SML ( G I ) 。

证明因为GI关于直积封闭，所以由题设和引理1.10知， G ⊥ I ⊆ SML ( G I ) ，再由注记2.3知， P G I ⊆ SML ( G I ) 。

定理2.5 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，则GI是关于纯商模封闭的包络类。

证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，所以由( [6]，定理4.3)知， I ⊆ SML ( G I ) 。又因为R是双边Noetherian环，所以由引理1.9知，GI是包络类。再由( [5]，定理4)知， ( G I , G F ) 是对偶对。再次由( [11]，定理3.1)知，GI关于纯商模封闭。

推论2.6 设R是n-Gorenstein环，则GI是关于纯商模封闭的包络类。

证明因为R是n-Gorenstein环，所以由( [8]，引理11.1.2)知，GI关于正向极限封闭。又由注记2.3知， I ∈ P G I 。再由命题2.4知， P G I ⊆ SML ( G I ) ，则 I ⊆ SML ( G I ) 。再次由定理2.5的证明知，GI是关于纯商模封闭的包络类。

定理2.7 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模， G ⊥ I 关于直积封闭，则 G I ⊆ SML ( P G I ) 。

证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，所以由( [5]，定理2)知， ( G ⊥ I , G F ⊥ ) 是对偶对，由( [11]，定理3.1)知， G ⊥ I 关于纯商模和纯子模封闭。由定义知， G ⊥ I 关于扩张封闭。再由( [4]，命题1)知， ( G ⊥ I , G I ) 是完全的余挠对，即 G ⊥ I 是覆盖类。又因为 G ⊥ I 关于直积封闭。所以由( [12]，定理3.4)知， G ⊥ I 关于正向极限封闭。再次由引理1.10以及注记2.3知， G I ⊆ SML ( P G I ) 。

我们用 I n 表示内射维数小于等于n的模类。

推论2.8 设R是n-Gorenstein环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模， G ⊥ I 关于直积封闭，则 G I ⊆ SML ( I n ) 。

证明因为R是n-Gorenstein环，所以 P G I = I n 。再由定理2.7知， G I ⊆ SML ( P G I ) ，则有 G I ⊆ SML ( I n ) 。

命题2.9 设R是双边Noetherian环，使得对任意的正整数n，有 i d R O P R ≤ n 。则对任意的可除abelian群D，有 T o r i R ( H o m Z ( G I , D ) , P G I ) = 0 ，其中 i ≥ 1 。

证明 因为R是双边Noetherian环，使得对任意的正整数n，有 i d R O P R ≤ n ，所以由( [5]，定理8)知，任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，由( [5]，定理4)知， ( G I , G F ) 是对偶对，再由( [11]，定理3.1)知，GI关于纯商模和纯子模封闭，再次由( [4]，引理2)知，GI关于正向极限封闭。又因为GI关于直积封闭，所以由命题2.4知， P G I ⊆ SML ( G I ) 。由注记2.3和( [5]，引理1)知， ( P G I , G I ) 是遗传的余挠对，即 P G I 是可解的，则 P G I 中有足够的投射对象，且它关于满同态的核封闭。对任意的模 M ∈ P G I ，则M有投射分解 ⋯ → P 1 → P 0 → M → 0 ，其中 P i ∈ P 。我们记 Ω i ( M ) = K e r ( P n − 1 → P n − 2 ) 是M的第i个合冲，其中 i ≥ 1 ，由 P G I 是可解的知， Ω i ( M ) ∈ P G I 。又因为 P G I ⊆ SML ( G I ) ，所以有 Ω i ( M ) ∈ SML ( G I ) 。再由( [10]，引理2.5)知，对任意的可除abelian群D，以及任意的模 B ∈ G I ，我们有映射 Φ M i : T o r i R ( H o m Z ( B , D ) , M ) → H o m Z ( E x t R i ( M , B ) , D ) 是单的，其中 i ≥ 1 。则有 T o r i R ( H o m Z ( B , D ) , M ) = 0 ，再次由B和M的任意性，则有 T o r i R ( H o m Z ( G I , D ) , P G I ) = 0 。

推论2.10 设R是双边Noetherian 环，使得对任意的正整数n，有 i d R O P R ≤ n ，则GI是覆盖类。

证明由命题2.9的证明知， P G I ⊆ SML ( N ) ，再由注记2.3知， I ⊆ SML ( G I ) 。再次由( [7]，引理2.6)知，GI是覆盖类。

国家自然科学基金项目(11761060)。

雷靖靖,杨晓燕. Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模Strict Mittag-Leffler Modules over Gorenstein Injective Modules[J]. 理论数学, 2020, 10(08): 695-700. https://doi.org/10.12677/PM.2020.108082